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Amintas engenharia. Algoritmos e Estruturas de Dados I Prof. Amintas Paiva Afonso Sistemas de Numeração.

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1 Amintas engenharia

2 Algoritmos e Estruturas de Dados I Prof. Amintas Paiva Afonso Sistemas de Numeração

3 vBases numéricas vRepresentação de números de ponto fixo vRepresentação de números de ponto flutuante vPrefixos do Sistema Internacional de Medidas Sumário

4 vBases numéricas vRepresentação de números de ponto fixo vRepresentação de números de ponto flutuante vPrefixos do Sistema Internacional de Medidas

5 Sistemas de Numeração vUm sistema de numeração é formado por um conjunto de símbolos (alfabeto) que é utilizado para representar quantidades e por regras que definem a forma de representação. vÉ definido por sua base, a qual define o número de algarismos (ou dígitos) utilizados para representar números.

6 Sistemas de Numeração vBases mais utilizadas em computação: wB=2binária wB=8octal wB=10decimal wB=16hexadecimal

7 Sistemas Posicionais vO valor atribuído a um algarismo depende da posição em que ele ocupa no número. vNo sistema decimal, por exemplo, o símbolo 5 pode representar: wo valor 5, como em 25 wo valor 50, como em 57 (50 + 7) wo valor 500, como em 523 ( ) vQuanto mais à esquerda o símbolo está, mais ele vale (mais significativo).

8 Sistemas Não Posicionais vO valor de um símbolo é o mesmo, independentemente da posição em que ele se encontra dentro do número. vSistema de numeração romano. wOs símbolos e seus valores são sempre: §I 1 §V 5 §X 10 §L 50 §C 100 §D 500 §M 1000

9 Sistema de Numeração Genérico na base B vEm uma base B genérica, são usados B algarismos (ou dígitos) distintos: wBase 2: 0, 1 wBase 4: 0, 1, 2, 3 wBase 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 wBase 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 wBase 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

10 Introdução vSistema binário – sistema de numeração que utiliza apenas os dígitos 0 e 1. vBIT – Dígito binário (contração das palavras BInary digiT). vBYTE – Conjunto de 8 bits.

11 Sistema de Numeração Genérico na base B vDada uma base B, quanto vale seu maior dígito? E o menor? vResposta: wMaior dígito: B-1 wMenor dígito: 0 (zero)

12 Conversão da base B para a base decimal :: Parte inteira vConsidere um número na base B com: wn+1 dígitos na parte inteira (n 0) vO valor na base decimal desse número é obtido da seguinte maneira:

13 Conversão da base B para a base decimal :: Parte fracionária vConsidere um número na base B com: wn+1 dígitos na parte inteira (n 0) wk dígitos na parte fracionária (k 0): parte fracionária parte inteira

14 Conversão da base B para a base decimal vExemplos: w( ) 2 = 1· · · · · ·2 -2 = (11.75) 10 w(34.2) 8 = 3· · ·8 -1 = (28.25) 10 w(FBA) 16 = 15· · ·16 0 = (442) 10 w(34.2) 10 = 3· · ·10 -1 = (34.2) 10

15 Conversão da base decimal para a base B vÉ necessário converter separadamente a parte inteira e a parte fracionária e fazer a concatenação dos resultados vA vírgula continua separando as duas partes na nova base B.

16 Conversão da base decimal para a base B :: Conversão da parte inteira 1.Divide-se o número decimal dado e os quocientes sucessivos por B até que o quociente resulte em 0. 2.O último quociente e todos os restos, tomados no sentido ascendente (de baixo para cima), formarão o número na base B.

17 Conversão da base decimal para a base B :: Conversão da parte inteira v Exemplo: (197) 10 ( ) 2

18 Conversão da base decimal para a base B :: Conversão da parte fracionária vPara transformar a parte fracionaria de um número decimal para a base B, ela deve ser multiplicada, repetidamente, por B. vApós cada multiplicação, o dígito da parte inteira do resultado será transportado para a parte fracionária da nova base. vRepete-se o processo com a parte fracionária do resultado, até que: wAtinja-se a precisão desejada, ou wO novo resultado seja igual a zero.

19 Conversão da base decimal para a base B :: Conversão da parte fracionária v Exemplo: (.4375) 10 (.0111) 2

20 Conversão da base decimal para a base B :: Conversão da parte fracionária v Exemplo: ( ) 10 (.0F8) 16

21 Erro de arredondamento vA precisão da mudança de base de decimal para binário depende do número de bits que representam a parte fracionária. vConsidere uma fração de quatro bits na forma: vEla pode representar um número X na base 10:

22 Erro de arredondamento vConsidere as seguintes palavras binárias: vA fração decimal 0,9270 não pode ser representada de forma exata usando 4 bits. vValor binário mais próximo: X b = 0,1111. vDe quanto é o erro?

23 Erro de arredondamento vErro de arredondamento: vA única maneira de solucionar o problema é adicionar mais bits à representação binária.

24 Sumário vBases numéricas vRepresentação de números de ponto fixo vRepresentação de números de ponto flutuante vPrefixos do Sistema Internacional de Medidas

25 Representação de número de ponto fixo vTemos somente os algarismos 0 e 1 para representar todos os números inteiros. vInteiros positivos são transformados em binário: w41 = w1= w64= vEssa representação de números inteiros em binário é direta e não se preocupa com sinal, nem com formatação dos bits.

26 Representação de número de ponto fixo vComo representar inteiros negativos? vOpção natural: wAlocar um bit para guardar o sinal do número. wOpção conhecida como magnitude de sinal.

27 Ponto fixo :: Magnitude de sinal vBit mais à esquerda representa o sinal: w0 positivo w1 negativo vExemplos: w+18 = w -18 = vProblemas: wDuas representações de zero (+0 e -0). wDeve-se tomar cuidado com o bit de sinal nas operações aritméticas.

28 Ponto fixo :: Complemento de dois vNúmero negativo é assim obtido: wInverte-se os bits do número positivo equivalente: (5) dec : wSoma-se 1 ao número invertido: (-5) dec : vMais Exemplos: w+2 = w+1 = w+0 = w -1 = w -2 =

29 Ponto fixo :: Complemento de dois vPara encontrar um número positivo a partir do seu oposto, procede-se da mesma forma: wInverte-se os bits do número negativo equivalente: (-2) dec : wSoma-se 1 ao número invertido: (2) dec : vPor quê?

30 Ponto fixo :: Complemento de dois – – 3– 4– 5– 6– 7– 8– 0

31 vBenefícios: wUma representação do número zero. wFacilita-se o trabalho aritmético: a subtração é transformada em duas operações conhecidas – adição e inversão.

32 Ponto fixo :: Complemento de dois maxint minint 32 bits

33 Ponto fixo :: Extensão de sinal Como um número representado por k bits pode ser representado por k+x bits, x>0? Como um número representado por k bits pode ser representado por k+x bits, x>0? wOs bits acrescentados à esquerda não devem alterar o valor, nem o sinal do número. vSimplesmente replica-se o bit de sinal para a esquerda até completar os novos bits: wNúmeros positivos têm infinitos zeros à esquerda. wNúmeros negativos têm infinitos uns à esquerda.

34 Ponto fixo :: Extensão de sinal :: Exemplo -4 dec (16 bits) para 32 bits: bin bin bin

35 Operações com ponto fixo v Adição: wDígitos são somados bit a bit, da direita para a esquerda. wCarries (vai-um) são passados para o próximo dígito à esquerda. v Subtração: wNega-se o subtraendo e soma-se um (complemento de 2) wSoma-se o resultado anterior com o diminuendo

36 Operações com ponto fixo :: Overflow vSituação anormal que ocorre quando o resultado de uma operação não pode ser representado com um dada quantidade de bits, a depender da arquitetura de computador. vAdição: wQuando os sinais dos operandos são iguais, pode ocorrer overflow. v Subtração: wQuando os sinais dos operandos são diferentes, pode ocorrer overflow.

37 Sumário vBases numéricas vRepresentação de números de ponto fixo vRepresentação de números de ponto flutuante vPrefixos do Sistema Internacional de Medidas

38 vUm número real pode ser representado no seguinte formato: (-1) s × m × B e w s – sinal w m – significando (mantissa) w B – base w e – expoente Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)

39 v O bit mais à esquerda guarda o sinal do número: wbit = 0 número positivo wbit = 1 número negativo wNão há mais notação de complemento de 2 para o número representado! Ponto flutuante (Padrão IEEE 754) :: Sinal

40 vO significando é representado na forma normalizada (base binária): 1.xxxxx E não na forma científica: E não na forma científica:0.1xxxx vO significando é composto por: wAlgarismo 1 wPonto de separação wFração Ponto flutuante (Padrão IEEE 754) :: Fração

41 vO algarismo 1 e o ponto de numeração não precisam ser armazenados, pois são os mesmos para todos os números reais representados. vCaso a fração possua menos bits que o esperado, zeros devem ser colocados à direita, pois não têm significância bits fração fração = 1, Ponto flutuante (Padrão IEEE 754) :: Fração

42 vA base B é implícita (binária) e não precisa ser guardada, pois é a mesma para todos os números representados. Ponto flutuante (Padrão IEEE 754) :: Base

43 vO expoente é representado na notação deslocada, ou excesso de N vMaior expoente representável: 2 n-1 wRepresentado por: vMenor expoente representável: -(2 n-1 - 1) wRepresentado por: Ponto flutuante (Padrão IEEE 754) :: Expoente

44 Decimal Complemento de dois Notação excesso de N Ponto flutuante (Padrão IEEE 754) :: Notação excesso de N

45 Ponto flutuante (Padrão IEEE 754) :: Notação deslocada vRepresentação do valor zero: vRepresentação do valor um: vDemais valores: somar ao zero (deslocamento). vVantagem: facilita a comparação de expoentes entre números de mesmo sinal.

46 23 bits8 bits1 bit fraçãoexpoentesinal Ponto flutuante (Padrão IEEE 754) O formato de precisão simples ( float ) ocupa 32 bits. O formato de precisão simples ( float ) ocupa 32 bits.

47 52 bits11 bits1 bit fraçãoexpoentesinal Ponto flutuante (Padrão IEEE 754) O formato de precisão dupla ( double ) ocupa 64 bits. O formato de precisão dupla ( double ) ocupa 64 bits.

48 vExemplo: (10) bin = +1.0 × bit sinal bits fração bits expoente Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)

49 vMais exemplos: Ponto flutuante (Padrão IEEE 754) fração em binário expoente não sinalizado float fração em decimal expoente decimal

50 Inteiros representados 0 - ( ) × underflow positivo ( ) × underflow negativo números representados overflow positivo overflow negativo Ponto flutuante × Ponto fixo

51 Densidade de números de ponto flutuante vNúmeros representados em ponto flutuante não são igualmente espaçados, tal como na notação de ponto fixo. vAlguns cálculos podem produzir resultados que não são exatos e tenham de ser arredondados para a notação mais próxima n os. reais representados

52 fraçãoexpoentesinal fraçãoexpoentesinal Ponto flutuante :: Zero vComo o zero é representado em ponto flutuante?

53 fraçãoexpoentesinal fraçãoexpoentesinal - Ponto flutuante :: Infinito vNotação especial para representar eventos incomuns: wpermite que os programas possam manipulá-los sem que sejam interrompidos.

54 x xxx...xx 0 fraçãoexpoentesinal Ponto flutuante :: NaN – Not a Number vÉ uma representação do resultado de operações inválidas, tais como: w0/0 w - w - w/ w0 × w0 × wx, x < 0

55 x xxx...xx 0 fraçãoexpoentesinal Ponto flutuante :: Números desnormalizados vServem para lidar com casos de underflow. vQuando o expoente é muito pequeno para ser representado em 8 bits (menor que -127), o número é deslocado à direita até que o expoente seja igual a -127.

56 Ponto flutuante :: Números desnormalizados

57 Ponto flutuante :: Resumo

58 vAdição e subtração: wAmbos operandos precisam ter o mesmo expoente. vDivisão e multiplicação: wSão mais simples de serem calculadas. Operações com ponto flutuante

59 vOverflow: ocorre quando o expoente é muito grande para ser representado no campo expoente. vUnderflow: ocorre quando o expoente é muito pequeno (= pequena fração) para ser representado no campo expoente.

60 vPodem produzir uma das seguintes condições: wOverflow de expoente wUnderflow de expoente wUnderflow de significando wOverflow de significando Operações com ponto flutuante

61 vO valor do expoente positivo excede o maior valor possível (128 para precisão simples): s fffffffffffffffffffffff fraçãoexpoentesinal × 2 × 2 s fffffffffffffffffffffff fraçãoexpoentesinal 1 Operações com ponto flutuante :: Overflow de expoente

62 vO valor do expoente negativo é menor que o mínimo possível (-127 para precisão simples): s fffffffffffffffffffffff fraçãoexpoentesinal × 2 -1 s????!fffffffffffffffffffffff fraçãoexpoentesinal Operações com ponto flutuante :: Underflow de expoente

63 sexp sexp Operações com ponto flutuante :: Underflow de significando vNo processo de alinhamento de significandos, dígitos podem sumir na extremidade direita. vOcasiona arredondamento.

64 sexp sexp sexp sexp Operações com ponto flutuante :: Overflow de significando vAdição de dois significandos pode resultar em um carry (vai um) no bit mais significativo vPode ser resolvido com realinhamento.

65 Operações com ponto flutuante :: Adição e subtração

66 Representação de números v v Mais informações: w wWilliam Stallings. Computer Organization and Architecture: Designing for Performance. 7th Edition, Prentice Hall, w wWikipedia.

67 Sumário vBases numéricas vRepresentação de números de ponto fixo vRepresentação de números de ponto flutuante vPrefixos do Sistema Internacional de Medidas

68 Prefixos do Sistema Internacional de Medidas vSistema Internacional de Medidas: SI wPadroniza unidades de medidas e seus prefixos. vDois grandes grupos de prefixos: wMúltiplos de 10 wSubmúltiplos de 10

69 Prefixos do Sistema Internacional de Medidas PrefixoSímbolo Potência de 10 kilok 10 3 megaM 10 6 gigaG 10 9 teraT petaP exaE zettaZ yottaY 10 24

70 Prefixos do Sistema Internacional de Medidas PrefixoSímbolo Potência de 10 milim microμ nanon picop femtof attoa zeptoz yoctoy

71 Prefixos do Sistema Internacional de Medidas ou vEm Computação, costuma-se utilizar os mesmos prefixos das potências de 10 como aproximação de potências de 2. vA conversão é feita de seguinte forma: vExemplo:

72 Prefixos do Sistema Internacional de Medidas vQuando representa uma aproximação de 2 10, o prefixo kilo é escrito como Kilo, ou seja, com a inicial maiúscula. vDessa forma, quando tratamos com potências de 2, temos: wPrefixos maiúsculos: múltiplos de 2. wPrefixos minúsculos: submúltiplos de 2.

73 Prefixos do Sistema Internacional de Medidas :: Correspondência entre potências de 10 e de 2 PrefixoSímbolo Potência de 10 Potência de 2 kilok megaM gigaG teraT petaP exaE zettaZ yottaY

74 Prefixos da IEC vEm 1998, a IEC (International Electrotechnical Commission) aprovou novos prefixos especialmente dedicados a potências de 2. vDessa forma: w5 gigabytes (GB) deveriam significar exatamente 5 × 10 9 bytes. w5 gibibytes (GiB) deveriam significar exatamente 5 × 2 30 bytes. vTal convenção ainda não foi amplamente adotada no meio científico.

75 Prefixos da IEC PrefixoSímbolo Potência de 2 kibiKi 2 10 mebiMi 2 20 gibiGi 2 30 tebiTi 2 40 pebiPi 2 50 exbiEi 2 60 Prefixo de potência de 10 + bi (binário)

76 Prefixos do Sistema Internacional de Medidas v Mais informações: w wFrancois Cardarelli. Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures. Editora Springer, wWikipedia.

77 engenharia


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