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ALGORITMOS NA ENGENHARIA DE PROCESSOS (EQE 489). MÉTODO DA BISSEÇÃO.

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1 ALGORITMOS NA ENGENHARIA DE PROCESSOS (EQE 489)

2 MÉTODO DA BISSEÇÃO

3 x ALGORITMO SE ABS(f i ) < ABS(f s ) ENTÃO Solução = x i SENÃO Solução = x s f(x) x xixi fifi xsxs fsfs x f xsxs fsfs xixi fifi x f Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s,  (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i   xf BISS f (x)

4 Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048 x i f i x f x s f s  0, , , ,51 0,5 0,307 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,43750,048 0,5 0,25 0,125 0,0625 f = x 1 x 2 * + ln x 1 x 2 * = 2 : x i = 0 : x s = 1:  = 0,1 Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s,  (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i  

5 EFICIÊNCIA DO MÉTODO N t : número total de cálculos da função para alcançar o intervalo  N m : número de cálculos da função, no meio do intervalo, necessário para alcançar o intervalo  Como o método se inicia com o cálculo da função nos limites inferior e superior, então: N t = N m + 2

6 Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048 x i f i x f x s f s  0, , , ,51 0,5 0,307 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,43750,048 0,5 0,25 0,125 0,0625  = 0,5 Nm ln  = N m ln 0,5 N t = 2 + ln  / ln 0,5 10% :  = 0,1  N = 5,3  N t = 6 1% :  = 0,01  N = 8,6  N t = 9 N t = 2 – 1,4 ln 

7 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA

8 Um método típico Método da Substituição Direta Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente: f(x i ) = 0  x i = F(x i ) Exemplo x 1 = e - x 1 x 2 * x 1 = - (1/ x 2 * ) ln x 1 F(x 1 ) x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 f(x 1 )

9 f(x i ) = 0  x i = F(x i ) F(x) x A solução é o valor de x i em que F(x i ) = x i. 0,2

10 (x 2 * = 2 : x 1 inicial = 0,5) F(x 1 ) = e - x 1 x 2 * Solução: x = 0,4263 x 1 x 3 x 2 F(x) x x F  0,50,3670,264 0,3670,4790,302 0,4790,3830,199 0,3830,4640,210 0,4640,3950,149

11 ALGORITMO Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo) Estabelecer x inicial,  (tolerância) REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir x solução = F F = x inicial Como dar a partida ?

12 ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

13 Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).

14 SIMULAÇÃO DE PROCESSOS COMPLEXOS

15 Processos Complexos *1* Abrir C 3 REPETIR Simular E 3 (C 4,C 5 ) Simular E 1 (C 2 ) REPETIR Simular E 6 (C 10,C 11 ) Simular E 4 (C 6,C 7 ) Simular E 7 (C 9, C 12 ) Simular E 5 (C 8 ) ATÉ Convergir C 8 Simular E8 (C 13, C 14 ) Simular E2 (C 3 ) ATÉ Convergir C 3 Abrir C 8 Corrente 1: única conhecida

16 ALGORITMO DA SEÇÃO ÁUREA

17 Algoritmo da Seção Áurea ÁUREA Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Convergiu Delta  Tolerância

18 ALGORITMO DE HOOKE & JEEVES

19 ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão (proximidade do ótimo): Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar

20 MÉTODO HEURÍSTICO PARA SÍNTESE DE REDES DE TROCADORES DE CALOR CRITÉRIO RPS PARA A SELAÇÃO DAS CORRENTES

21 ALGORITMO Se TEQ * - TSF <  T min então limitar TSF = TEQ * -  T min Fixar TEQ * = T o (Q) e TEF * = T o (F); Metas provisórias (temperaturas de destino) : TSQ = T d (Q) e TSF = T d (F) Selecionar um par de correntes ( QMTO x FMTO ou QmTO x FmTO ) TEQ* TEF*TSF = TEQ* - 10 TSQ? Se TSQ - TEF * <  min então limitar TSQ = TEF * +  min TEQ* TEF*TSF TSQ = TEF* + 10 TEQ* = ToQ TEF*=ToFTSF = TdF ? TSQ = TdQ? Enquanto houver trocas viáveis, ou seja: T o (Q) > T o (F)

22 Se Q = Oferta então confirmar TSQ e calcular TSF. Calcular Oferta e Demanda TEQ* TEF* TSF TSQ calcular TEQ* TEF* TSF calcular TSQ Se Q = Demanda, então confirmar TSF e calcular TSQ. Adotar a troca máxima: Q = Min (Oferta, Demanda). TEQ* TEF*TSF = TEQ* - 10 TSQ? TEQ* TEF*TSF TSQ = TEF* + 10 Atualizar a Tabela Com as metas ajustadas


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