COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO

Apresentação em tema: "COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO"— Transcrição da apresentação:

1 COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO
DAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DO CALOR Nomes: Renato José Martini Filho, Moisés Antônio Basso Professora Orientadora: Eleni Bisognin Órgão Financiador: Fapergs

2 Tópicos : O que é uma Equação Diferencial Parcial
A Equação Diferencial Parcial da Condução do Calor Demonstração da Solução da Equação do Calor Exemplo do comportamento da Solução

3 O que é uma Equação Diferencial Parcial - EDP
Definição: Uma equação diferencial parcial é uma equação da forma onde F, é uma função definida em Rn. A solução da equação é uma função da forma: u=u(x)=u(x1,x2,....,xn). A ordem de uma EDP é dada pela ordem da derivada de maior grau

4 A Equação Diferencial Parcial da condução do Calor
Considere o problema: x Barra Sólida condutora de calor Nosso Objetivo: Estudar a variação de temperatura u(x,t) ao longo da barra no instante t e no ponto x. Para determinar esta variação, iremos utilizar a equação diferencial parcial da condução do calor, que tem a forma: Onde: é a constante de difusividade térmica Condições Iniciais Condições de Fronteira

5 Demonstração da Solução da Equação do Calor
Para deduzirmos a Equação da Condução do Calor, iremos utilizar o Método de Fourier ou Método de Separação de Variáveis, que consiste em escrever u(x,t) na forma do produto de duas funções, isto é, de uma função que só depende de x e outra que só dependa de t, da forma: Resolução: Substituindo Ut e Uxx na equação do calor temos: EDO’S e tomando

6 Resolvendo o Problema 1:
Notamos: e as soluções são triviais, o que não nos interessa. Para foi encontrada a solução não trivial Resolvendo o Problema 2: Solução:

7 Finalizando: Fazendo o produto da fn (x) pela gn (t), e usando o princípio da superposição encontramos a solução u(x,t) Onde Cn é o coeficiente da Série de Fourier :

8 Comportamento da Solução
Determinar a temperatura u(x,t) em qualquer instante de tempo t de uma barra de comprimento L. Vamos supor uma barra cuja a parte central esta inicialmente a uma temperatura constante de c°C e suas extremidades são mantidas a 0°C. 0°C Comprimento L da barra = 50 cm 60°C Para determinarmos a temperatura u(x,t), iremos utilizar a solução da Equação da Condução do Calor, com L = 50 e h(x) = 60 e a constante de difusividade térmica = 1.14 (Cobre) para 0 < x < 50.

9 Comportamento Gráfico da Solução

10 Conclusão: Quando o tempo t tende ao infinito a solução u(x,t) tende
a zero. t=0 t=20 t=100 t=150 t=200 t=300 t=400 t=600