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Escola Secundária de Alberto Sampaio Braga Braga PRODEP OFICINA MULTIMÉDIA MEDIDA 3 ACÇÃO 3.1 Intersecção de sólidos geométricos por planos by Jorge Freitas.

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1 Escola Secundária de Alberto Sampaio Braga Braga PRODEP OFICINA MULTIMÉDIA MEDIDA 3 ACÇÃO 3.1 Intersecção de sólidos geométricos por planos by Jorge Freitas

2 Intersecção de poliedros Intersecção de sólidos de revolução

3 Intersecção de cubos Intersecção de pirâmides Intersecção de prismas

4 Plano passando por três pontos dados (triângulo) Plano passando por três pontos dados (trapézio) Plano passando por três pontos dados (pentágono) Plano passando por três pontos dados (hexágono) Plano perpendicular à diagonal espacial Plano perpendicular a uma das faces (rectângulo) Cubos

5 Intersecção de cubos por planos Planos perpendiculares a uma diagonal espacial

6 Desta intersecção resulta um triângulo equilátero Desta intersecção resulta um triângulo equilátero Exemplo 1 Plano perpendicular a uma diagonal espacial 1º - Traçar o segmento de recta M 1 M 3. recta M 1 M 3. 2º - Traçar o segmento de recta M 3 M 2. recta M 3 M 2. 5º - Desenhar a secção M 2 M 1 M 3 3º - Traçar o segmento de recta M 2 M 1. recta M 2 M 1.

7 Exemplo 2 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero Desta intersecção resulta um triângulo equilátero

8 Exemplo 3 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero Desta intersecção resulta um triângulo equilátero

9 X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z. 4º - Prolongar a aresta CG. 5º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG intersecção de XY com CG I 6º - Unir o ponto I com o ponto J, determinando o ponto K determinando o ponto K 3º - Determinar o ponto J, da aresta BF J 7º - Unir os pontos K e Y K 8º - Traçar uma recta paralela a K Y, passando em Z definindo o ponto L passando em Z definindo o ponto L 9º - Unir os pontos L e X L 10º -Está determinada a secção [XYKJZL] [XYKJZL] Plano perpendicular a uma diagonal espacial Passando pelo centro Exemplo 4 Desta intersecção resulta um hexagono regular

10 X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z. 4º - Prolongar a aresta CG. 5º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG intersecção de XY com CG I 6º - Unir o ponto I com o ponto J, determinando o ponto K determinando o ponto K 3º - Determinar o ponto J, da aresta BF J 7º - Unir os pontos K e Y K 8º - Traçar uma recta paralela a K Y, passando em Z definindo o ponto L passando em Z definindo o ponto L 9º - Unir os pontos L e X L 10º -Está determinada a secção [XYKJZL] [XYKJZL] Plano perpendicular a uma diagonal espacial Exemplo 5 Desta intersecção resulta um hexágono

11 Exemplo 6 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero Desta intersecção resulta um triângulo equilátero

12 Exemplo 7 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero Desta intersecção resulta um triângulo equilátero

13 Intersecção de cubos por planos perpendiculares a uma face Intersecção de cubos por planos perpendiculares a uma face

14 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 2

15 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 3

16 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 4

17 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 5

18 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 6

19 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 7

20 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 8

21 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 9

22 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 10

23 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 11

24 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 12

25 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 13

26 Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) (RECTÂNGULO) Exemplo 14

27 Intersecção do cubo com um plano perpendicular á base e paralelo a uma facea uma face (QUADRADO) Intersecção do cubo com um plano perpendicular á base e paralelo a uma facea uma face (QUADRADO) Exemplo 15

28 Intersecção de cubos por planos definidos por três pontos Intersecção de cubos por planos definidos por três pontos

29 Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G) e o ponto X (TRIÂNGULO) definido por dois vértices (D e G) e o ponto X (TRIÂNGULO) Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G) e o ponto X (TRIÂNGULO) definido por dois vértices (D e G) e o ponto X (TRIÂNGULO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 3º -Traçar o segmento [XD] 4º - Desenhar a secção DGX Exemplo 1

30 Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 3º -Traçar o segmento [XD] 4º - Desenhar a secção DGX Exemplo 2

31 Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 3º -Traçar o segmento [XD] 4º - Desenhar a secção DGX Exemplo 3 X

32 Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e B ) (TRIÂNGULO) definido por três vértices (D, G e B ) (TRIÂNGULO) Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e B ) (TRIÂNGULO) definido por três vértices (D, G e B ) (TRIÂNGULO) 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GB] 3º -Traçar o segmento [BD] 4º - Desenhar a secção DGB Exemplo 4

33 Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento [XY]. 2º -Traçar o segmento paralelo a [XY] passando em Z, a [XY] passando em Z, determinando os pontos I e J determinando os pontos I e J 3º -Traçar o segmento [XI] 5º - Desenhar a secção XYIJ ZJ I 4º -Traçar o segmento [YJ] Exemplo 12

34 Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (QUADRILÁTERO) definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (QUADRILÁTERO) Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (QUADRILÁTERO) definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (QUADRILÁTERO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 4º -Traçar o segmento [ID] 5º - Desenhar a secção DGXI 3º -Traçar o segmento paralela a [DG], passando em X, a [DG], passando em X, determinando o ponto I determinando o ponto I I Exemplo 5

35 Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e F) (RECTÂNGULO) definido por três vértices (D, G e F) (RECTÂNGULO) Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e F) (RECTÂNGULO) definido por três vértices (D, G e F) (RECTÂNGULO) 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GF] 4º -Traçar a aresta [AD] 5º - Desenhar a secção DGFA 3º -Traçar o segmento paralelo a[DG], passando em F a[DG], passando em F Exemplo 6

36 Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRAPÉZIO) definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRAPÉZIO) Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRAPÉZIO) definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRAPÉZIO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 3º -Traçar o segmento [DX] 4º -Traçar o segmento [IG] 5º - Desenhar a secção DGIX 2º -Traçar o segmento paralelo a [DG], passando em X, a [DG], passando em X, determinando o ponto I determinando o ponto I I Exemplo 7

37 Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2º -Traçar a o segmento paralelo a XY passando em Z, a XY passando em Z, determinando os pontos I e F determinando os pontos I e F 3º -Traçar o segmento IX 5º - Desenhar a secção XYFI Z I 4º -Traçar o segmento YF Exemplo 13

38 Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2º -Traçar o segmento paralelo a XY passando em Z, a XY passando em Z, determinando os pontos I e J determinando os pontos I e J 4º -Traçar o segmento YJ 5º - Desenhar a secção XYJI Z I J 3º -Traçar o segmento IX Exemplo 14

39 Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2º -Traçar o segmento paralelo a XY passando em Z, a XY passando em Z, determinando os pontos I e J determinando os pontos I e J 3º -Traçar o segmento XI 5º - Desenhar a secção XYJI Z I 4º -Traçar o segmento YJ 4º -Traçar o segmento YJ J Exemplo 15

40 X Y Z 1º - Traçar a recta XZ. 2º - Traçar a recta YZ. 4º - Traçar uma paralela a YZ, passando por J e encontrar K passando por J e encontrar K 5º - Unir o ponto K com o ponto X, 3º - Traçar uma paralela a XZ, passando por Y e encontrar J passando por Y e encontrar J J 6º - Está determinada a secção [XYJZK] [XYJZK] K Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ (PENTÁGONO) Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ (PENTÁGONO) Exemplo 16

41 X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Prolongar a aresta CG. 4º - Unir o ponto Z com o ponto I, determinando o ponto J na aresta GF determinando o ponto J na aresta GF 5º - Unir o ponto J com o ponto Y, I 6º - Traçar uma recta paralela a J Y, passando em Z definindo o ponto K passando em Z definindo o ponto K na aresta AD na aresta AD 3º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG intersecção de XY com CG J 7º - Unir os pontos K e X 8º - Está determinada a secção [XYJZK] [XYJZK] K Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ (PENTÁGONO) Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ (PENTÁGONO) Exemplo 17

42 Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ (HEXÁGONO) Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ (HEXÁGONO) X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z. 4º - Prolongar a aresta CG. 5º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG intersecção de XY com CG I 6º - Unir o ponto I com o ponto J, determinando o ponto K determinando o ponto K 3º - Determinar o ponto J, da aresta BF J 7º - Unir os pontos K e Y K 8º - Traçar uma recta paralela a K Y, passando em Z definindo o ponto L passando em Z definindo o ponto L 9º - Unir os pontos L e X L 10º -Está determinada a secção [XYKJZL] [XYKJZL] Exemplo 18

43 Prismas Prisma triângular Prisma pentagonal Prisma quadrângular Prisma hexagonal

44 Intersecção de prismas por planos (prisma triangular) Intersecção de prismas por planos (prisma triangular)

45 C N B F E D A 1º- Traçar um segmento paralelo a [DF] passando em N, e a [DF] passando em N, e determinar I determinar I Determinar a intersecção do prisma com o plano paralelo à face [ACFD], passando em N Determinar a intersecção do prisma com o plano paralelo à face [ACFD], passando em N 2º- Traçar um segmento paralelo a [DA] passando em N e a [DA] passando em N e determinar J determinar J I J 3º- Traçar um segmento paralelo a [FC] passando em I a [FC] passando em I 4º- Traçar um segmento paralelo a [AC] passando em J a [AC] passando em J 5º- Eis a secção

46 C N B F E D A 1º- Traçar um segmento [NA] Determinar a intersecção do prisma com o plano ACN Determinar a intersecção do prisma com o plano ACN 2º- Traçar um segmento paralelo a [AC] passando em N e a [AC] passando em N e determinar I determinar I I 3º- Traçar um segmento IC 4º- Traçar um segmento [CA] 5º- Eis a secção [ACIN]

47 P C N M B F E D A X Y 1º- Traçar o segmento [MN]. 2º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo passa por P e é paralelo a [MN] (segmento [XY]). a [MN] (segmento [XY]). 3º- Traçar o segmento [XN], (unindo X a N) (unindo X a N) 4º- Traçar o segmento [YM], (unindo Y a M) (unindo Y a M) Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 5º- O polígono [YXNM], 5º- O polígono [YXNM], é a intersecção pedida. é a intersecção pedida.

48 P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NM]. 2º- Traçar o segmento [PM] 3º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 4º- O triângulo [NMP], 4º- O triângulo [NMP], é a intersecção pedida. é a intersecção pedida.

49 P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [MN]. 2º- Traçar o segmento [MP] 3º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 4º- O triângulo [NMP], 4º- O triângulo [NMP], é a intersecção pedida. é a intersecção pedida.

50 P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NP]. 2º- Traçar o segmento [PM] 5º- Traçar o segmento [NI], determinando o ponto K determinando o ponto K Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 8º- O trapézio [NPMK], é a intersecção pedida. é a intersecção pedida. 3º- Prolongar o segmento [PM] 4º- Prolongar a aresta [CF], determinando o ponto I determinando o ponto I I K 6º- Traçar o segmento [NK] 7º- Traçar o segmento [KM]

51 P C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FN]. 2º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano FNP Determinar a intersecção do prisma com o plano FNP 4º- O triângulo [NPF], é a secção pedida. é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [PF] N

52 C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FA]. 2º- Traçar o segmento [AB] Determinar a intersecção do prisma com o plano FAB Determinar a intersecção do prisma com o plano FAB 4º- O triângulo [ABF], é a secção pedida. é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [BF]

53 P C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FN]. 2º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano FNP Determinar a intersecção do prisma com o plano FNP 4º- O triângulo [NPF], é a secção pedida. é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [PF] N

54 P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NP]. 2º- Traçar o segmento [PM] Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP paralelo à base Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP paralelo à base 4º- O triângulo [NPM], é a secção pedida. é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [MN]

55 C B F E D A Intersecção do prisma com um plano MNP paralelo às bases (caso geral) Intersecção do prisma com um plano MNP paralelo às bases (caso geral)

56 Intersecção de prismas por planos Intersecção de prismas por planos

57 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em P Determinar a intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em P P 1º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [AB], por P e é paralelo a [AB], determinando M determinando M 2º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [AD], por P e é paralelo a [AD], determinando N determinando N M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [DC], por N e é paralelo a [DC], 4º- Traçar o segmento que passa por M e é paralelo a [BC], por M e é paralelo a [BC], 5º- Eis a secção definida pelo plano MPN plano MPN

58 F E DC B AHG Intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em P Intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em P Outros exemplos

59 F E DC B AHG Exemplo 1 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P

60 F E DC B AHG Exemplo 2 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P

61 F E DC B AHG Exemplo 3 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P

62 F E DC B AHG Exemplo 4 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P

63 F E DC B AHG Exemplo 5 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P

64 F E DC B AHG Exemplo 6 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P

65 F E DC B AHG Exemplo 7 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P

66 F E DC B AHG Exemplo 7 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P

67 F E DC B AHG Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em dois vértices (E e H) Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em dois vértices (E e H) 1º- Traçar o segmento EH 2º- Traçar a aresta HC 5º- Eis a secção ACHE 3º- Traçar o segmento CA 4º- Traçar a aresta AE

68 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com o plano AMH o plano AMH Determinar a intersecção do prisma com o plano AMH o plano AMH 1º- Traçar o segmento [AM] 2º- Traçar o segmento [MH], M 3º- Traçar o segmento que passa por A e é paralelo a [MH], por A e é paralelo a [MH], 4º- Traçar o segmento que passa por H e é paralelo a [AM], por H e é paralelo a [AM], 5º- Eis a secção definida pelo plano AMH plano AMH

69 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP o plano MNP Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [MN], M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP], por N e é paralelo a [MP], 4º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [MN], por P e é paralelo a [MN], 5º- Eis a secção definida pelo plano MPN plano MPN

70 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP o plano MNP Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [MN], M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP], por N e é paralelo a [MP], 4º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [MN], por P e é paralelo a [MN], 5º-Unir as intercecções destes com as arestas com as arestas 6º- Eis a secção definida pelo plano MPN plano MPN

71 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP o plano MNP Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [PN] M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP], por N e é paralelo a [MP], determinando I determinando I 4º- Traçar o segmento [MI], 5º- Eis a secção definida pelo plano MPN plano MPN I

72 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com o plano MPG o plano MPG Determinar a intersecção do prisma com o plano MPG o plano MPG P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [PG] M 3º- Traçar o segmento [MG] 4º- Eis a secção definida pelo plano MPG plano MPG

73 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG o plano PFG Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG o plano PFG P 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [PG] 3º- Traçar o segmento [FG] 4º- Eis a secção definida pelo plano PFG plano PFG

74 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG o plano PFG Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG o plano PFG P 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [PG] 3º- Traçar o segmento [FG] 4º- Eis a secção definida pelo plano PFG plano PFG

75 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com o plano AFG o plano AFG Determinar a intersecção do prisma com o plano AFG o plano AFG 1º- Traçar o segmento [AF] 2º- Traçar o segmento [AG] 3º- Traçar o segmento [FG] 4º- Eis a secção definida pelo plano AFG plano AFG

76 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG o plano PFG Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG o plano PFG 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [FG] 3º- Traçar um segmento paralelo a [GF] passando por P, deter- a [GF] passando por P, deter- minando o ponto I minando o ponto I 5º- Eis a secção definida pelo plano PFG plano PFG P I 4º- Traçar o segmento [IG]

77 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com o plano MPH o plano MPH Determinar a intersecção do prisma com o plano MPH o plano MPH 1º- Traçar a recta MP 2º- Prolongar a aresta CB, e encontrar I encontrar I 3º- Traçar o segmento [HI], e encontrar J encontrar J 5º-Traçar um segmento paralelo a HJ, passando em M, e encontrar K a HJ, passando em M, e encontrar K P M 4º- Traçar o segmento [JP] I J 7º-Eis a secçãoPJHKM K 6º-Traçar o segmento KH

78 F E DC B AHG Determinar a intersecção do prisma com o plano MPF o plano MPF Determinar a intersecção do prisma com o plano MPF o plano MPF 1º- Traçar a recta MP 2º- Desenhar a recta paralela a MP, passando em F e encontrar I passando em F e encontrar I 3º- Prolongar [FI] e a aresta EG encontrar L encontrar L 5º-Traçar um segmento paralelo a DK, passando em F, e encontrar J a DK, passando em F, e encontrar J P M 4º- Traçar o segmento [ML] e encontrar K I J 8º -Eis a secção PJFIKM K 6º-Traçar o segmento PJ L 7º-Traçar o segmento KI

79 Alguns exemplos de intersecção de planos com um prisma pentagonal Alguns exemplos de intersecção de planos com um prisma pentagonal

80 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

81 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

82 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

83 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

84 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

85 Intersecção com plano paralelo à base Intersecção com plano paralelo à base

86 Intersecção com plano paralelo à base Intersecção com plano paralelo à base

87 Intersecção com plano paralelo à base Intersecção com plano paralelo à base

88 A B C G F N J I E D H Y Z X Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZ o plano XYZ Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZ o plano XYZ 1º-Determinar a intersecção dos planos das faces [ABGF] e [CDHI] das faces [ABGF] e [CDHI] 2º-Determinar a intersecção dos planos das faces [BCHG] e [EDIJ] das faces [BCHG] e [EDIJ] 3º-Desenhar a recta XY e encontrar K K 4º-Desenhar a recta YZ e encontrar L L 5º-Desenhar a recta KZ e encontrar M M 6º-Desenhar a recta LM e encontrar N 7º-Desenhar o segmento XN 8º- Está encontrada a secção XYZMN

89 Alguns exemplos de intersecção de planos com um prisma hexagonal Alguns exemplos de intersecção de planos com um prisma hexagonal

90 Intersecção com plano paralelo à base Intersecção com plano paralelo à base

91 Intersecção com plano paralelo à base Intersecção com plano paralelo à base

92 Intersecção com plano paralelo à base Intersecção com plano paralelo à base

93 Intersecção com plano paralelo à base Intersecção com plano paralelo à base

94 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

95 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

96 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

97 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

98 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

99 LKJ I H G F E D C B A Z X Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZ Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZ 1º-Determinar a intersecção dos planos das faces [ABHG] das faces [ABHG] 2º- Desenhar a recta XY e encontrar M 3º-Desenhar a recta MZ e encontrar N 4º-Desenhar o segmento YN 5º-Desenhar a recta paralela a XY passando em Z e encontrar O passando em Z e encontrar O 7º- Desenhar o segmento PO 8º- Está encontrada a secção XYNZOP M Y N O P 6º-Desenhar a recta paralela a NZ passando em X e encontrar P passando em X e encontrar P

100 Pirâmides Triângulares Quadrangulares

101 Alguns exemplos de intersecção de um plano com uma pirâmide triangular Alguns exemplos de intersecção de um plano com uma pirâmide triangular

102 Intersecção da pirâmide com o plano ABZ (Triângulo) Intersecção da pirâmide com o plano ABZ (Triângulo) VC BA 1º-Desenhar o segmento AB 2º-Desenhar o segmento BZ 3º-Desenhar o segmento ZA 4º- Eis a secção ABZ Z Exemplo 1

103 Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) VC BA 1º-Desenhar o segmento XY 2º-Desenhar o segmento YZ 3º-Desenhar o segmento ZX 4º- Eis a secção XYZ ZYX Exemplo 2

104 Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) VC BA Z YX Exemplo 3

105 Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) VC BA Z Y X Exemplo 4

106 Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) VC BA Z Y X Exemplo 5

107 Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) VC BA Z Y X Exemplo 1 1º-Desenhar o segmento [YZ] 2º-Desenhar o segmento [ZX] e prolongá-lo prolongá-lo 3º-Prolongar a aresta VA, e determinar k determinar k K 4º-Desenhar a recta YK, e determinar L determinar LL 5º-Eis a secção LYZX 5º-Desenhar o segmento [XL]

108 Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) VC BA Z Y X Exemplo 2 1º-Desenhar o segmento [ZY] 2º-Desenhar o segmento [ZX] 3º-Prolongar a aresta ZY K 5º-Desenhar a recta XK, e determinar L determinar L L 7º-Eis a secção XLYZ 6º-Desenhar o segmento [LY] 4º-Prolongar a aresta CB, e determinar k determinar k

109 Alguns exemplos de intersecção de um plano com uma pirâmide quadrangular Alguns exemplos de intersecção de um plano com uma pirâmide quadrangular

110 V C BA D Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) Exemplo1 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta XK 5º-Eis a secção XYZK ZYX K

111 VC BA D Exemplo 2 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta XK 5º-Eis a secção XYZK ZY X K Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB)

112 VC BA D Exemplo 3 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta XK 5º-Eis a secção XYZK Z Y X K Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB)

113 VC BA D Exemplo 4 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta XK 5º-Eis a secção XYZK Z Y X K Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB)

114 Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Exemplo 5 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Prolongar o segmento ZY e a aresta CB, determinando J aresta CB, determinando J 4º- Prolongar o segmento YX e a aresta BA determinando L aresta BA determinando L 9º-Eis a secção XYZK VC BA D Z Y X K L J 6º- Prolongar a aresta CD determinando M determinando M M 7º- Unir Z a M, determinando K 8º- Unir X a K 5º- Desenhar a recta JL

115 Intersecção de sólidos de revolução Cilindros Cones

116 Exemplos da intersecção do cilindro com um plano Exemplos da intersecção do cilindro com um plano

117 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

118 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

119 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

120 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

121 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

122 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

123 Intersecção com plano perpendicular à base Intersecção com plano perpendicular à base

124 Intersecção com plano paralelo à base Intersecção com plano paralelo à base

125 Intersecção com plano paralelo à base Intersecção com plano paralelo à base

126 Intersecção com plano paralelo à base Intersecção com plano paralelo à base

127 Intersecção com um plano oblíquo Intersecção

128 Intersecção Intersecção

129 Intersecção Intersecção

130 Intersecção Intersecção

131 Intersecção Intersecção

132 Exemplos da intersecção do cone com um plano Exemplos da intersecção do cone com um plano

133 Intersecção com plano paralelo à base (círculo) Intersecção com plano paralelo à base (círculo) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

134 Intersecção com plano paralelo à base (círculo) Intersecção com plano paralelo à base (círculo) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

135 Intersecção com plano paralelo à base (círculo) Intersecção com plano paralelo à base (círculo) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

136 Intersecção com plano paralelo à base (círculo) Intersecção com plano paralelo à base (círculo) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

137 Intersecção com plano paralelo à base (círculo) Intersecção com plano paralelo à base (círculo) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

138 Intersecção com plano oblíquo em relação à base (elipse) Intersecção com plano oblíquo em relação à base (elipse) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

139 Intersecção com plano oblíquo em relação à base (elipse) Intersecção com plano oblíquo em relação à base (elipse) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

140 Intersecção com plano oblíquo em relação à base (elipse) Intersecção com plano oblíquo em relação à base (elipse) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

141 Intersecção com plano oblíquo em relação à base (elipse) Intersecção com plano oblíquo em relação à base (elipse) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

142 Intersecção com plano oblíquo em relação à base Intersecção com plano oblíquo em relação à base Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano Elipse

143 Intersecção com plano oblíquo em relação à base (parte de uma elipse) Intersecção com plano oblíquo em relação à base (parte de uma elipse) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

144 Intersecção com plano paralelo à geratriz (parábola) Intersecção com plano paralelo à geratriz (parábola) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

145 Intersecção com plano paralelo ao eixo do duplo cone (hipérbole) Intersecção com plano paralelo ao eixo do duplo cone (hipérbole) Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano

146 Intersecção com plano paralelo ao eixo do duplo cone Intersecção com plano paralelo ao eixo do duplo cone Intersecção de um cone com um plano Intersecção de um cone com um plano Hipérbole

147 FFIIMM PRODEP OFICINA MULTIMÉDIA MEDIDA 3 ACÇÃO 3.1 PRODEP OFICINA MULTIMÉDIA MEDIDA 3 ACÇÃO 3.1 Escola Secundária de Alberto Sampaio Braga Braga 1999/ /2001


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