Introdução a Cálculo Numérico

Apresentação em tema: "Introdução a Cálculo Numérico"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução a Cálculo Numérico
Prof. Heron jr.

2 Agenda Introdução ao Cálculo Numérico O que é Cálculo Numérico?
Exemplo Erros Tipos de erros Erros de arredondamento Erros de truncamento Erros na aritmética de Ponto Flutuante Conclusão

3 Introdução A utilização dos computadores como ferramentas auxiliares na resolução de problemas complexos é uma realidade; Computador + técnicas numéricas = possibilidade de resolver inúmeros problemas práticos de engenharia em tempo relativamente pequeno.

4 O que é Cálculo Numérico?
“O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos utilizados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente”.

5 Exemplo Calcular a derivada de f(x) = x2 no ponto x = 1.
Método Analítico: Aplicando a definição de derivada temos: Para :

6 Exemplo Método Numérico:
Escolhemos inicialmente um valor arbitrário pequeno de h (por exemplo, h = 0,01) e substituímos tanto o valor de x = 1 quanto de h = 0,01 na definição de derivada. Com isso teremos:

7 Exemplo Resultados: Verificou-se uma diferença de 0,01 entre os valores calculados analítica e numericamente. Isto se deve ao fato de termos utilizado um valor finito de em vez de Conforme mencionado, os métodos de cálculo numérico permitem a obtenção de valores aproximados que satisfaçam as necessidades reais.

8 Erros Como calcular ? Uma boa resposta seria: utilizando a calculadora ou o computador. Porém se o resultado obtido for utilizado para projetar, construir ou manter pontes, edifícios, máquinas, sistemas, dispositivos eletrônicos, etc., não poderemos aceitá-lo antes de fazer alguns questionamentos, visando comprovar que o resultado é o correto.

9 Erros Quando calculamos , qual é a precisão utilizada pelo computador ou calculadora, tendo em vista que é um número irracional? Qual é a confiabilidade do resultado que obtivemos? Quão próximo do valor real está o valor obtido?

10 Erros Erro absoluto Diferença entre o valor real da grandeza que queremos calcular e o valor aproximado que efetivamente calculamos. Porém, se estivermos trabalhando com números muito grandes, o erro pode ser grande em termos absolutos, mas o resultado ainda será preciso. E o caso inverso também pode ocorrer, um erro absoluto pequeno, mas um resultado impreciso.

11 Erros Exemplo Resultado da operação: ,7 Valor real: ,5 Erro Absoluto: 1,8 Quando comparado com o valor real, esse erro é pequeno, dessa forma podemos considerar o valor calculado como preciso.

12 Erros Em outro exemplo porém:
Resultado da operação: 0,234 Valor real: 0,128 Erro Absoluto: 0,106 Apesar do erro ser pequeno, o valor calculado é extremamente impreciso, tendo em vista os valores envolvidos.

13 Erros A fim de evitar esse tipo de ambiguidade, podemos utilizar o erro relativo, que corresponde ao quociente entre o erro absoluto e o valor real da grandeza a ser calculada:

14 Erros O erro relativo é uma forma mais interessante de se avaliar a precisão de um cálculo efetuado. Para o primeiro exemplo, teremos um erro relativo de 0, ou 0,00008% no segundo caso um erro relativo igual a 0,83 ou 83%.

15 Tipos de erros Vamos considerar os diferentes tipos de erros:
Erros iniciais do problema (são exteriores ao processo de cálculo) Erros inerentes ao modelo matemático Erros inerentes aos dado

16 Tipos de erros Erros associados ao uso de métodos numéricos (ocorrem no processo de cálculo) Erros de arredondamento Arredondar um número é guardar uma certa quantidade de dígitos, contados da esquerda para a direita, e ignorar os outros. Para que o arredondamento ocasione o menor erro possível, empregamos as seguintes regras: Se desejarmos um número com n algarismos e

17 Tipos de erros Erros de truncatura.
Muitas equações têm soluções que apenas podem ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da solução em questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completado, por isso tem de ser truncado após certo número finito de operações. Esta substituição de um processo infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros designado erro de truncatura. Em muitos casos, o erro de truncatura é precisamente a diferença entre o modelo matemático e o modelo numérico.

18 Erros na aritmética de Ponto Flutuante
Além dos erros causados pelo arredondamento e truncamento de certos valores, quando utilizamos computadores e calculadores, existe um erro causado pela conversão de números da base decimal para a binária e vice-versa.

19 Erros na aritmética de Ponto Flutuante
Exemplo: Fazer um programa para calcular: Qual será o resultado obtido?

20 Conclusão Assim como o cálculo numérico é importante para resolução de problemas complexos ou sem resolução analítica, os erros são importantes, pois permitem que avaliemos os valores obtidos através dos métodos numéricos, e dessa forma, garantir a coerência dos resultados.