Campus de Caraguatatuba Matemática Discreta 1 – MD 1

Apresentação em tema: "Campus de Caraguatatuba Matemática Discreta 1 – MD 1"— Transcrição da apresentação:

1 Campus de Caraguatatuba Matemática Discreta 1 – MD 1
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Tecnólogo em Análise e Desenvolvimento de Sistemas Semestre de 2013 Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret Aula 5: Combinatória (3)

2 Princípio das Casas de Pombos (1)
Seja o seguinte problema: Quantas pessoas (no mínimo) têm que estar presentes em uma sala para garantir que duas delas têm o último nome (sobrenome) começando com a mesma letra? Ou este outro problema: Quantas vezes é preciso jogar (no mínimo) um dado de modo a garantir que um mesmo valor apareça duas vezes?

3 Princípio das Casas de Pombos (2)
O Princípio das Casas de Pombos (Pigeonhole Principle) surgiu a partir da seguinte idéia: Se mais de k pombos entram em k casas de pombos, então pelo menos uma casa vai ter mais de um pombo. Pode ser aplicado a muitos problemas (cenários).

4 Princípio das Casas de Pombos (2)
Princípio generalizado: Se mais de k itens são colocados em k caixas, então pelo menos uma caixa contém mais de um item. Exemplos práticos de aplicação: Suponha que um departamento possui 13 professores. Então dois dos professores nasceram no mesmo mês. Suponha que um saco de lavanderia contém meias vermelhas, brancas e azuis. Então é necessário pegar apenas quatro meias para se ter certeza de obter um par com uma única cor.

5 Princípio das Casas de Pombos (2)
Achar o menor número de elementos que devem ser escolhidos em um conjunto S = {1,2,3,...,9} para se ter certeza de que dois números somem 10. Os conjuntos de dois números que somam 10 são {1,9}, {2,8}, {3,7}, {4,6}, {5,5}. Logo qualquer escolha de seis elementos de S garante que dois dos números somam 10.

6 Princípio das Casas de Pombos (1)
Exercício 1 - Seja o seguinte problema: Quantas pessoas têm que estar presentes em uma sala para garantir que duas delas têm o último nome (sobrenome) começando com a mesma letra?

7 Princípio das Casas de Pombos (1)
Exercício 1 - Seja o seguinte problema: Quantas pessoas têm que estar presentes em uma sala para garantir que duas delas têm o último nome (sobrenome) começando com a mesma letra? Resposta: O alfabeto tem 26 letras. Se a sala tiver 27 pessoas, então existem 27 letras iniciais (itens) para se colocar em 26 caixas, de modo que uma caixa vai conter mais de uma letra inicial do alfabeto.

8 Princípio das Casas de Pombos (1)
Exercício 2 - Seja o seguinte problema: Quantas vezes é preciso jogar (no mínimo) um dado de modo a garantir que um mesmo valor apareça duas vezes?

9 Princípio das Casas de Pombos (1)
Exercício 2 - Seja o seguinte problema: Quantas vezes é preciso jogar (no mínimo) um dado de modo a garantir que um mesmo valor apareça duas vezes? Resposta: Supondo que o resultado de 6 jogadas dos dados no melhor cenário seja 1,2,3,4,5 e 6, para que um valor se repita, é só jogar o dado novamente. Logo é necessário jogar o dado 7 vezes.

10 Teorema Binomial (1) O binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinômio correspondente à potência de um binômio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. A expressão para o quadrado de um binômio é bastante conhecida: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Esse é o caso particular de se elevar ao quadrado um binômio a uma potência inteira não negativa n. A fórmula genérica para (a + b)n envolve a combinação de n elementos. Há um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais (obtidos na expansão do binômio).

11 Teorema Binomial (2) O Triângulo de Pascal leva o esse nome devido ao matemático Blaise Pascal. A linha n do triângulo abaixo (n  0) consiste de todos os valores de C(n,r), 0  r  n. O triângulo tem então o seguinte formato:

12 Teorema Binomial (3) Calculando-se os valores das combinações, tem-se o triângulo com os seguintes valores: Observando atentamente o triângulo, constata-se que qualquer número que não esteja na borda pode ser obtido somando-se os dois elementos diretamente acima na linha anterior.

13 Teorema Binomial (4) A observação anterior implica que
C(n,k) = C(n - 1,k - 1) + C(n - 1,k), para 1  k  n - 1. Esta equação é conhecida como Fórmula de Pascal.

14 Teorema Binomial (5) Pesquisa (vai cair na prova): (1) (2)
Provar que C(n,k) = C(n - 1,k - 1) + C(n - 1,k), para 1  k  n - 1. (1) (2) Dica: partir de (2) e chegar em (1).

15 Teorema Binomial (6) Demonstração Combinatória de
C(n,k) = C(n - 1,k - 1) + C(n - 1,k), para 1  k  n - 1. Deseja-se calcular C(n,k), o número de maneiras de se escolher k objetos entre n objetos. Tais escolhas podem classificadas em duas categorias distintas: o objeto 1 é um dos k objetos ou não. Se o objeto 1 for um dos k objetos, então os k - 1 objetos que faltam têm que ser escolhidos entre os n - 1 objetos, retirando- se o objeto 1, e existem C(n - 1,k - 1) escolhas possíveis. Se o objeto 1 não é um dos k objetos, então todos os k objetos têm que ser escolhidos entre os outros n - 1 objetos e existem C(n - 1,k) escolhas possíveis. O número total de escolhas é a soma das escolhas desses dois casos disjuntos.

16 Teorema Binomial (7) Na expressão abaixo,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Os coeficientes da expansão 1, 2, e 1, representam a segunda linha do Triângulo de Pascal. Calcular (a + b)3 e (a + b)4 (a + b)3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2) (a + b)4 = ?

17 Teorema Binomial (8) Uma análise dos coeficientes nas expansões anteriores sugere um resultado geral, ou seja, que os coeficientes na expansão (a + b)n são os elementos na linha n no Triângulo de Pascal. Isso é formalizado no teorema abaixo. Devido a seu uso no teorema binomial, a expressão C(n, r) também é chamada de coeficiente binomial.

18 Teorema Binomial (9) Exemplo – Expandir (x -3)4

19 Teorema Binomial (10) Exercício: Expandir (x - 3)5

20 Teorema Binomial (11) Exercício: Expandir (x - 3)5 Resposta:?

21 Teorema Binomial (12) Exercício: Expandir (x + y)6

22 Teorema Binomial (13) Exercício: Expandir (x + y)6 Resposta:?