7 Resultados de Medições Indiretas

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1 7 Resultados de Medições Indiretas
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial

2 Motivação b ± U(b) Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas? c ± U(c) A = b . c U(A) = ? Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 2/52)

3 Considerações Preliminares
7.1 Considerações Preliminares

4 Medições indiretas O valor do mensurando é determinado a partir de operações matemáticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente. Exemplos: A área de um terreno calculada através do produto entre sua largura pelo seu comprimento. Determinação da corrente elétrica dividindo a queda de tensão sobre um resistor pelo valor da sua resistência. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 4/52)

5 O Modelo Matemático É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando. Exemplos: A = l . h V = d / t Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 5/52)

6 Dependência estatística & correlação
Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda. Exemplo: a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do dólar. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 6/52)

7 Dependência estatística
Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. Exemplos: Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar (na verdade quem mais muda é o Real). A temperatura da água do mar em duas praias próximas. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 7/52)

8 Dependência estatística
A grande maioria dos casos de interesse prático da engenharia é suficientemente bem modelada considerando medições como variáveis aleatórias independentes ou não correlacionadas. Apenas os casos que envolvem medições independentes ou não correlacionadas serão abordados no tópico seguinte: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 8/52)

9 7.2 Estimativa da Incerteza Combinada em Medições não Correlacionadas (MNC)

10 Adição e subtração de MNC
O quadrado da incerteza combinada da adição ou subtração de MNC é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão de cada termo: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 10/52)

11 Adição e subtração de MNC
Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação também pode ser escrita em termos da incerteza expandida como: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 11/52)

12 Exemplo 1: Adição de MNC mT = m1 + m2 MNC 2 1
[U(mT)]2 = [U(m1)]2 + [U(m2)]2 [U(mT)]2 = [6]2 + [8]2 = 100 m1 = (1000 ± 6) g U(mT) = 10 g m2 = (2000 ± 8) g mT = (3000 ± 10) g U(m1) = 6 g U(m2) = 8 g Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 12/52)

13 Exemplo 2: Subtração de MNC
mC = m2 – m1 MNC 1 2 [U(mc)]2 = [U(m1)]2 + [U(m2)]2 [u(mT)]2 = [6]2 + [8]2 = 100 m1 = (1000 ± 6) g U(mT) = 10 g m2 = (2000 ± 8) g mC + m1 = m2 mC = (1000 ± 10) g Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 13/52)

14 Multiplicação de MNC Na multiplicação de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada fator: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 14/52)

15 Divisão de MNC Na divisão de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas do divisor e do dividendo: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 15/52)

16 Generalizando: Multiplicação e Divisão de MNC
Na multiplicação e/ou divisão de qualquer número de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada termo por: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 16/52)

17 Generalizando: Multiplicação e Divisão de MNC
Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação também pode ser escrita em termos da incerteza expandida relativa como: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 17/52)

18 Exemplo 3: Multiplicação
Determine o volume de uma pirâmide com base retangular, cujas dimensões estão especificadas na figura, e altura h = (200,0 ± 1,0) mm. a b a = (100,0 ± 0,8) mm b = (90,0 ± 0,6) mm Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 18/52)

19 Exemplo 3: Multiplicação
Cálculo do volume: Incerteza do volume: U(V) = 6931 mm³ V = (600,0 ± 6,9) 10³ mm³ Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 19/52)

20 Exemplo 4: Divisão de MNC
Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500,0 ± 1,0)  sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150,0 ± 3,0) V. I R U(R) = 1,0 Ω U(V) = 3,0 V Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 20/52)

21 Exemplo 4: Divisão de MNC
R V = (150,0 ± 3,0) V R = (500,0 ± 1,0)  U(I) = 0,0060 A I = (300 ±6) mA Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 21/52)

22 Caso Geral de MNC = coeficiente de sensibilidade
Podem ser calculados analitica ou numericamente Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 22/52)

23 Caso Geral de MNC Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação pode ser escrita em termos da incerteza expandida como: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 23/52)

24 Exemplo: Caso Geral de MNC
Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 24/52)

25 Medições Realizadas Para a massa: m = (1580 ± 20) g Para o diâmetro:
D = (25,423 ± 0,006) mm Para a altura: h = (77,35 ± 0,10) mm h D Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 25/52)

26 Massa Específica h D Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 26/52)

27 Cálculo da incerteza combinada
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 27/52)

28 Cálculo da incerteza combinada
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 28/52)

29 Cálculo da incerteza combinada
 = (0,04024  0,00051) g/mm3 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 29/52)