Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME

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1 Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME
XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional ENCONTRO COM O MUNDO NÃO EUCLIDIANO Sergio Alves – IME USP Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

2 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano
Objetivos Apresentar um Modelo de Geometria Hiperbólica de forma acessível. Resgatar a Geometria Euclidiana 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

3 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano
Agenda Geometria Hiperbólica Apresentando o Modelo do Disco de Poincaré Pré-requisitos Construção de Retas Construção da perpendicular Construção da Mediatriz Comparando construções na Geometria Hiperbólica e Euclidiana (Parabólica) Aplicações 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

4 Geometria Hiperbólica
Etimologia – Origem das Palavras Hipérbole: do gr. hyper, em posição superior. Parábola: do gr.par(a), ao lado de. Elipse: gr. élleipsis, omissão. Felix Klein ( , Alemanha) Dicionário Etimológico Nova Fronteira, Antônio Geraldo da Cunha 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

5 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano
Geometria Euclidiana Dada uma reta r e um ponto P fora dela, por este ponto passa P . s uma e somente uma r reta paralela a reta r 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

6 Geometria Hiperbólica
Dada uma reta r e um ponto P fora dela, por este ponto passam P . no mínimo duas r ? retas paralelas a reta r 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

7 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano
Modelo Matemático Modelos são laboratórios para experimentarmos o Sistema Formal 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

8 Modelo do Disco de Poincaré
Universo Hiperbólico 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

9 Modelo do Disco de Poincaré
Retas / Semi-Retas / Segmentos Hiperbólicos 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

10 Modelo do Disco de Poincaré Quantidade de paralelas
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11 Modelo do Disco de Poincaré
Ângulo Hiperbólico: ângulo entre as tangentes 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

12 Modelo do Disco de Poincaré Sistema de Medidas Hiperbólico
Construir métrica infinita num disco limitado. Sempre positivo. Simétrico 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

13 Modelo do Disco de Poincaré Sistema de Medidas Hiperbólico
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14 Modelo do Disco de Poincaré Sistema de Medidas Hiperbólico
19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

15 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano
Pré-Requisito Potência de um Ponto (OP1).(OP2)=(OQ1).(OQ2) 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

16 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano
Pré-Requisito Inverso de um Ponto (OP).(OP’) = (raio OL )2 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

17 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano
Pré-Requisito Inverso de um Ponto (OP).(OP’) = (raio OL )2 P=P’ se e somente P pertence a circunferência C Se P esta no interior de C então P’ esta fora e vice-versa (P’)’ = P 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

18 Circunferências Ortogonais
Pré-Requisito Circunferências Ortogonais Ângulo  O1LO2 é reto 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

19 Circunferências Ortogonais
Pré-Requisito Circunferências Ortogonais Seja P um ponto no interior de C1, de modo que P é diferente do Centro . Seja C2 uma circunferência passando por P. As circunferências C1 e C2 são ortogonais se somente se C2 passa pelo inverso P’ de P em relação a C1. 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

20 Modelo do Disco de Poincaré
Construção de Retas 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

21 Modelo do Disco de Poincaré Construção da Perpendicular
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22 Modelo do Disco de Poincaré Construção da Mediatriz
Achar a reta hiperbólica que torne: - P inverso de Q K inverso de L Em relação a circunferência que contém esta mesma reta. 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

23 Modelo do Disco de Poincaré Construção da Mediatriz
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24 Modelo do Disco de Poincaré Quantidade de paralelas
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25 Modelo do Disco de Poincaré Soma dos ângulos de um triângulo
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26 Modelo do Disco de Poincaré Soma dos ângulos de um quadrilátero
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27 Modelo do Disco de Poincaré
Circuncentro: encontro das mediatrizes do triângulo 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

28 Modelo do Disco de Poincaré Ortocentro: encontro das alturas
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29 Modelo do Disco de Poincaré
Inversão e Reflexão 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

30 Modelo do Disco de Poincaré Inversão de uma circunferência
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31 Modelo do Disco de Poincaré Circunferências Hiperbólicas
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32 Modelo do Disco de Poincaré Circunferências Hiperbólicas
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33 Geometrias não euclidianas
Aplicações Geometrias não euclidianas 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

34 Geometrias não euclidianas
Aplicações Geometrias não euclidianas Maurits Cornelis Escher Holanda – 1898 Circle Limit III 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano

35 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano
O que aprendemos? Respeito ao trabalho de nossos antecessores Dificuldades e conseqüências de se quebrar paradigmas Geometria Euclidiana Idéia inicial sobre modelos matemáticos e geometria hiperbólica 19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano