MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA

Apresentação em tema: "MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA"— Transcrição da apresentação:

1 MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA 2007 Gilberto Weissmüller, Nice Americano da Costa e Paulo Mascarello Bisch

2 POR QUE AS BIOCIÊNCIAS PRECISAM DE MATEMÁTICA?

3 “O livro da natureza é escrito na língua da Matemática”
Galileo ( ) “Aqueles que querem analisar a natureza sem usar Matemática devem se contentar com uma compreensão reduzida” Richard Feynman, ( ) (People who wish to analyze nature without using mathematics must settle for a reduced understanding)

4 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Número Grandezas Constantes Variáveis Domínio de definição Tipos de variáveis

5 O que é Número? Pitágoras ( aC, Grécia) essência e o princípio de todas as coisas Aristóteles ( aC, Grécia) o movimento acelerado ou retardado Euclides ( aC, desconhecido) um composto da unidade Isaac Newton ( , Inglaterra) a relação entre a quantidade e a unidade Condorcet ( , França) uma coleção de unidades Benjamin Constat ( , Suiça) o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade Schopenhauer ( , Alemanha) o conceito numérico apresenta-se como a ciência do tempo puro Bertrand Russel ( , Inglaterra) a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe

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7 Domínio de definição de uma variável
um conjunto de valores numéricos que a variável é passível de assumir (a partir de sua própria definição) O domínio de definição de uma variável é sempre representado por um intervalo entre dois valores, a e b, chamados extremos do intervalo. O intervalo pode ser: aberto, se fechado, se ou ainda um semi-intervalo aberto

8 EXEMPLOS DE DOMINIOS DE DEFINIÇÃO
Uma grandeza: a área, S, de um figura limitada por uma curva fechada O domínio de definição de S será Outra grandeza: a área, S, dos ambientes de um edifício de 30m x 10m O domínio de definição de S será Uma grandeza: a variável x=cosb, para todos os valores de b O domínio de definição de x será

9 crescentes (ou decrescentes)
Tipos de variáveis ordenadas uma variável é ordenada se, conhecido o seu domínio de definição, para cada par de seus valores, podemos indicar aquele antecedente e aquele conseqüente. crescentes (ou decrescentes) uma variável é dita crescente, se cada valor conseqüente é maior que cada valor antecedente. limitadas uma variável é dita limitada se existe um valor constante M>0, tal que, para todos os valores conseqüentes da variável, a partir de um determinado valor, fica satisfeita a inequação

10 A NOÇÃO DE FUNÇÃO Sejam das variáveis, x e y. Dizemos que y é uma função de x, que designamos simbolicamente por y=f(x), se a cada valor da variável x, através de uma aplicação de um conjunto ordenado de operações, fica associado um valor da variável y. f x1 x3 x2 xn x5 .. y1 f y2 yn f ..

11 Acompanhe a seguinte “receita” matemática :
1o. Tome o valor de x e quadre; 2o. Multiplique o resultado obtido por 3; 3o. Some o valor da metade x; 4o. Acrescente mais 10. f é a representação simbólica desse conjunto ordenado de operações(potenciação, multiplicação, divisão e soma) realizadas sobre cada valor de x

12 Agora esta : 1o. Tome o valor do seno de x ; 2o. Multiplique o resultado obtido por 3; 3o. Some o valor da metade x; 4o. Acrescente mais 10. f é a representação simbólica desse conjunto ordenado de operações (seno, multiplicação, divisão e soma) realizadas sobre cada valor de x

13 DOIS IMPORTANTES CONCEITOS
Domínio de definição de uma função conjunto de valores de x, para os quais a função tem um valor determinado valor da função num ponto é o valor (numérico) que a função assume para um dado valor de x

14 Exemplos de Domínios de Definição

15 Exemplos de Valor da Função

16 REPRESENTAÇÕES DE UMA FUNÇÃO
Analítica A notação simbólica do conjunto de operações matemáticas conhecidas que devemos aplicar, na ordem indicada, a números e letras que exprimem as constantes e variáveis envolvidas. Por exemplo: Tabular (tabela) X y -1 3 1 2 12 27 X y - -/2 -3 /2 3 

17 Graficamente

18 Outras noções sobre funções
Paridade Periodicidade Positividade/Negatividade Zeros (ou raízes) Função de função Função inversa Função implícita

19 FUNÇÕES ELEMENTARES São aquelas funções cujos conjuntos de operações ordenadas se resumem à forma mais simples das operações conhecidas da álgebra e da trigonometria: potenciação, logaritmo, seno, co-seno, tangente, etc. Os nomes pelos quais são conhecidas derivam daí, como veremos.

20 FUNÇÃO POTÊNCIA A forma geral da função
Onde a é um número inteiro ou fracionário, positivo ou negativo Qual o domínio de definição destas funções? Seria, por acaso, ?

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22 FUNÇÃO LOGARÍTMICA A forma geral da função
Onde a é um número positivo  1 quando a=número de Euler=e

23 FUNÇÃO EXPONENCIAL A forma geral da função
Onde a é um número positivo  1 quando a é o número de Euler, designado por e

24 AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
seno co-seno tangente cotangente secante secante