SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO BÁSICA FORMAÇÃO EM AÇÃO OFICINA DE MATEMÁTICA 2ª PARTE 1º SEMESTRE - 2013.

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1 SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO BÁSICA FORMAÇÃO EM AÇÃO OFICINA DE MATEMÁTICA 2ª PARTE 1º SEMESTRE - 2013

2 Abimael Fernando Moreira Carmeligia Marchini Lucimar Donizete Gusmão Equipe de Matemática DEB/SEED/PR debmatematica@gmail.com (41) 3340 1714

3 TRIGONOMETRIA: HISTÓRIA, CURIOSIDADES E DESAFIOS!

4 Curiosidade Você já parou para refletir sobre como os navegadores da antiguidade faziam para calcular a que distância da terra eles encontravam-se enquanto navegavam?

5 A palavra TRIGONOMETRIA é formada por três radicais gregos: tri(três), gonos(ângulos) e metron(medir). Etimologicamente significa, medida dos lados e ângulos de um triângulo.

6 Esse estudo é ainda subdividido em duas partes: Trigonometria Plana (Parte da trigonometria que investiga os triângulos planos) e Trigonometria Esférica (Parte da trigonometria em que se estudam os triângulos sobre as superfícies esféricas, nesse caso, é chamada de Triângulos Geodésicos e têm propriedades diferentes).

7 Objetivo Geral: Fazer uma articulação entre a história da matemática e da trigonometria, levando o estudante a entender a matemática como um saber vivo e em constante transformação.

8 a) Identificar as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo e relacioná-las com a necessidades vivenciadas pelas pessoas no cotidiano; Objetivos Específicos:

9 b) Utilizar e interpretar modelos matemáticos para resolução de situações problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis.

10 CONTEÚDOS ESTRUTURANTES: Grandezas e Medidas CONTEÚDO BÁSICO: Trigonometria CONTEÚDOS ESPECÍFICOS: Triângulo Retângulo e Triângulo qualquer; Relações Métricas e Trigonométricas no Triângulo Retângulo; Trigonometria na Circunferência.

11 Encaminhamentos Teóricos e Metodológicos Um pouco da história da trigonometria...

12 O início do desenvolvimento da trigonometria se deu, principalmente aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios.

13 Com os gregos surgiram estudos sistemáticos das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de suas cordas.

14 Curiosidade: Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios do sol, um tradicional exercício em antigos livros. Isto é também muito importante para a agrimensura. http://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria

15 História e a Atualidade: Os primeiros Relógios do Sol, surgiram no Egito, por volta de 3500 a.C. Relógio do Sol, monumento de Areia Preta, Natal – Rio Grande do Norte. http://www2.uol.com.br/sciam/noticias/relogios_de _sol_sao_monumentos_a_cultura_humana.html http://galeriaphotomaton.blogspot.com.br/2008/ 07/relgios-de-sol-1.html

16 Tales de Mileto (640 a 550 a.C.) Tales de Mileto (640 a 550 a.C.)

17 Conta a lenda que a fama de Tales de grande matemático já havia se espalhado por todo o Egito. O faraó ouvira dizer que Tales era capaz de uma incrível façanha: Podia calcular a altura de uma construção, por maior que fosse, sem precisar subir nela. Curiosidade:

18 Foi desafiado a solucionar um problema que para muitos não havia solução... Tales ouviu-os com atenção e se dispôs a atendê-los imediatamente... Sua filosofia buscava procurar a essência de todas as coisas.

19 Encontrar a medida da altura da maior das três pirâmides de Gizé, a pirâmide de Quéops(ou Khuofu) que foi construída para ser a tumba do Faraó Quéops da quarta dinastia. Desafio:

20 Encontre a razão entre a altura do seu colega e o comprimento de sua sombra. Agora é sua vez... Este é o seu desafio! Este é o seu desafio!

21 Atividade: A razão entre a altura e a medida do comprimento de sua sombra http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22970

22 Materiais necessários: fita métrica ou trena, calculadora e giz. Obs.: Esta atividade deverá ser feita em um dia de sol.

23 Encaminhamentos: a) Divida a turma em dupla e oriente para que cada dupla meça a altura do outro e o comprimento de sua sombra, registrando esses valores em uma tabela; b) Peça para que, com um giz, marquem os pontos no chão, tanto do educando(A) quanto do comprimento da sombra(B);

24 c) Cada dupla deverá transportar as medidas encontradas para o papel e, também transformar a altura do estudante e o comprimento de sua sombra em uma figura; d) Peça para que calculem a razão entre a altura do estudante e o comprimento de sua sombra, contendo duas casas decimais, registrando na tabela.

25 Aluno(a) Altura aluno(a) Medida da sombra Altura do aluno(a) Medida da sombra

26 Quais os conteúdos matemáticos foram movimentados nessa atividade? Sistematização:

27 Conteúdos Estruturantes Conteúdos Básicos Conteúdos Específicos Expectativas de Aprendizagem

28 Avaliação:Critérios:Instrumentos:

29 Atividade: Calculando o comprimento da sombras do aluno e do bastão

30 No intuito de aumentar o nível de dificuldade da atividade, aumente para quatro alunos por equipe. Materiais necessários: fita métrica ou trena, calculadora, giz, tesoura, um bastão de madeira de 0,50 cm de altura e barbante.

31 a) Com uma fita métrica ou trena, peça para que realizem as medidas das alturas de todos os alunos da equipe e encontrem o comprimento de suas sombras, assim como a do comprimento do bastão, registrando-as em uma tabela; Encaminhamentos:

32 b) Peça que, realizem os traçados das sombras, tanto do aluno (ponto A), quanto do bastão (ponto B) no chão para que possam anotar as medidas com maior precisão (não esquecer de marcar os pontos em que o aluno e o bastão se encontram e, das respectivas sombras);

33 c) Após os registros das medidas da altura e da sombra, o aluno no mesmo ponto e na posição vertical, outra pessoa da equipe, deverá colocar uma ponta do barbante sobre o ponto máximo da altura do aluno (cabeça) e esticá-lo até que toque o ponto marcado na medida do comprimento máximo da sua sombra;

34 d) Corte esse pedaço de barbante, meça-o e registre essa medida em uma tabela; e) Faça o desenho desses triângulos utilizando o uso de escalas.

35 Aluno(a) Altura aluno(a) Medida da sombra Altura do aluno(a) Medida da sombra Medida do barbante Altura bastão Medida da sombra bastão Altura do bastão Medida da sombra do bastão Medida do barbante

36 a) É fundamental frisar que no mesmo instante em que uma pessoa está medindo a sombra do aluno, outra estará medindo a sombra do bastão que estará na posição vertical; Observações:

37 b) Pedir para que os estudantes observem as representações formadas pelos dois triângulos, os formados pelo estudante e pelo bastão e suas respectivas sombras.

38 Sistematização: Quais os conteúdos matemáticos foram movimentados nessa atividade?

39 Conteúdos Estruturantes Conteúdos Básicos Conteúdos Específicos Expectativas de Aprendizagem

40 Avaliação:Critérios:Instrumentos:

41 Retomando a história e, voltando ao desafio de Tales... Ele apoiou-se a uma vara espetada perpendicularmente ao chão e esperou que a sombra tivesse comprimento igual ao da vara. Disse então a um colaborador:

42 - Meça a sombra da pirâmide agora! - Para eu encontrar sua altura, basta eu acrescentar a esse resultado, a medida da metade do lado da base.

43 Tales partiu da seguinte ideia: existe uma razão entre a altura de um objeto e o comprimento de sua sombra que é a mesma para diferentes objetos, em um mesmo instante. Conclusão:

44 Sugestão: Para ver uma animação sobre a forma como Tales de Mileto mediu a pirâmide de Quéops, podendo mudar o sol de posição para variar a sombra em diferentes horários do dia, alterar a dimensão de objetos ou reposicioná-los, acesse o link: http://www.prof2000.pt/users/amma/af33/tf/FT7a.htm

45 Assista o vídeo: Tales e a altura da pirâmide e peça para que os alunos registrem as idéias matemáticas encontradas. http://www.youtube.com/watch?v=cWkU6fGoYA8

46 Após assistir o vídeo argumente sobre a situação problema e as informações apresentadas no vídeo, bem como seus respectivos registros. Análise:

47 Atividade: Obtendo a altura de uma árvore utilizando semelhança de um triângulos:

48 Obs.: Essa atividade deverá ser feita fora da sala de aula, em dia de sol. Materiais necessários: fita métrica ou trena, bastão e calculadora.

49 Encaminhamentos: a) Fincar uma estaca no chão; b) Medir o tamanho da estaca; c) Medir a sombra projetada pela estaca, no chão;

50 d) Medir a sombra projetada pela árvore no chão; e) Desenhar triângulos semelhantes com as medidas obtidas; f) Usar os conhecimentos de semelhança e resolva algebricamente o problema.

51 Quais os conteúdos matemáticas foram movimentados nessa atividade? Sistematização:

52 Conteúdos Estruturantes Conteúdos Básicos Conteúdos Específicos Expectativas de Aprendizagem

53 Avaliação:Critérios:Instrumentos:

54 Vinte e seis séculos depois, os cientistas da NASA ainda avaliam a altura das montanhas na Lua e em Marte por meio de suas respectivas sombras obtidas em imagens. http://www.cienciahoje.pt/37 Essa proporcionalidade entre alturas e sombras constitui a essência do Teorema de Tales de Mileto. Essa proporcionalidade A história e a atualidade...

55 Utilize a biblioteca e o laboratório de informática para pesquisar um pouco mais sobre as contribuições que o filósofo Tales trouxe para as nossas vidas e aos estudos realizados até hoje. Sugestão:

56 Hiparco de Nicéia (180 a 125 a. C.) “Pai da Trigonometria”

57 Recebeu esse título ao realizar um dos trabalhos mais importantes: a construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Esse trabalho foi de grande importância para o desenvolvimento da Astronomia, pois facilitava o cálculo de distâncias inacessíveis.

58 Hiparco Você sabia que em aproximadamente 140 a.C. Hiparco elaborou uma tabela trigonométrica, com valores de uma série de ângulos, utilizando a ideia pioneira herdada dos babilônios? Curiosidade:

59 E que dividiu a circunferência em 360 partes iguais e cada parte dividida recebeu o nome de arco e... Cada arco tinha 1 grau e que, Cada 1 grau = 60 minutos → 1°= 1'

60 Hiparco não dispunha de nenhum recurso. Ainda assim, entregou-se a cálculos demorados e tediosos para elaborar suas tabelas, que equivalem às modernas.

61 Hiparco, Você já parou para refletir sobre como Hiparco,, conseguiu chegar a um valor tão aproximado da distância entre a Terra e o Sol?

62 Como você faria para encontrar a medida de uma altura ou uma distância inacessível? Agora é sua vez... Este é o seu desafio! Este é o seu desafio!

63 Reflita sobre o que o aluno precisaria saber para encontrar a altura de um edifício sem precisar subir nele, ou como encontraria a altura de uma árvore, tal como um eucalipto ou uma araucária. Que instrumentos seriam fundamentais para auxiliá-los nessa tarefa? Professor...

64 Atividade: Construção de um teodolito.

65 Materiais necessários: a) Pote redondo com tampa (tipo tronco de cone); b) Canudo oco em formato cilíndrico reto ou tubo de antena de TV (20 cm); c) Dois pedaços de placa de isopor grosso de 20 cm X 20 cm ou prato de papelão; d) Pedaço de arame de comprimento maior que o dobro do diâmetro da tampa do pote; e) Cola de isopor ou cola branca.

66 a) Recorte as placas de isopor em forma de L; b) Cole o transferidor e cole no isopor; c) Fure a parte superior do pote, e coloque um pedaço de arame paralelo ao seu diâmetro, deixando sobras igualmente dos dois lados; d) Fixe o canudo paralelamente ao arame em cima do pote; e) Cole a tampa do pote no meio do transferidor e encaixe a outra parte. Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12635 Procedimentos:

67 a) O primeiro passo consiste em mirar o canudo na posição horizontal correspondente à base do que se deseja medir, uma árvore, um poste, uma casa, etc., fixando o teodolito; Utilizando o teodolito para calcular alturas inacessíveis:

68 b) O segundo passo consiste em deslocar o canudo focando o ponto extremo do que está sendo medido. O ângulo indicado no transferidor deve ser analisado com cuidado devido à espessura do canudo usado como mira;

69 c) A sugestão é que façam uso das razões trigonométricas e, demonstrem aos colegas sua atividade explicando seu raciocínio.

70 Fonte: Site Professor Bio

71 Sugestão: Fazer uma pesquisa sobre o Teodolito

72 A história e a atualidade...

73 Fonte:http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/curiosidades/ Curiosidade: Triângulos no céu:

74 Sistematização: Quais os conteúdos matemáticos foram movimentados nessa atividade?

75 Conteúdos Estruturantes Conteúdos Básicos Conteúdos Específicos Expectativas de Aprendizagem

76 Avaliação:Critérios:Instrumentos:

77 “Não estraguem as minhas circunferências!” Por um instante, o soldado romano hesitou, examinando aquele velho de roupa simples que desenhava na areia. Porém não tinha tempo a perder... O soldado matou-o sem piedade, por não responder as perguntas que lhe eram feitas. O matemático que calculava na areia

78 Circunferência ou Círculo? Que tal descobrirmos a diferença?

79 Materiais necessário: Objetos circulares, barbante, cartolina; régua; tesoura e cola. Atividade: Contornando a Circunferência.

80 a) Solicite aos estudantes que, usando barbante, contornem o entorno da borda do objeto circular e corte-o na medida exata dessa volta; b) Oriente-os para que estiquem o barbante e meçam seu comprimento, anotando os valores em uma tabela; Encaminhamento:

81 c) Peça que, com uma régua meçam o diâmetro de cada objeto circular registrando-as em uma tabela; d) Encontre a medida do raio de cada objeto circular; e) Solicite aos estudantes que, utilizando a calculadora, efetuem a divisão entre a medida do comprimento da circunferência pelo seu diâmetro, e registrem o resultado na tabela.

82 Faça uma pesquisa sobre como surgiu o número π, qual é o seu valor e outras curiosidades em relação a sua descoberta. Sugestão: Objeto Circular Medida do comprimento circunferência Medida do diâmetro Medida do raio Comp. Circunf. Med. diâmetro

83 a) Reflita com os estudantes sobre a que se refere esse “entorno das bordas” dos objetos circulares, o conceito de circunferência, e de seu comprimento, bem como, da definição de diâmetro e raio; Reflexões:

84 b) Questione sobre o segmento de reta - barbante esticado - ser chamado de circunferência retificada; C = 2.π.r c) Discuta sobre o desenvolvimento da expressão algébrica: C = 2.π.r;

85 d) Após a realização das medidas e cálculos, faça questionamentos sobre os resultados e se eles chegaram a um valor aproximado comum, ou seja, ao valor aproximado do número π (pi);

86 e) Discuta com os estudantes sobre a razão entre o comprimento da circunferência e a medida do seu diâmetro, de aproximadamente 3,1415..., cujo valor é constante, conforme indica a tabela.

87 Devemos a Arquimedes um método interessante de calcular o valor aproximado de π; Não devemos nos esquecer que devido o seu interesse também pelas circunferências, nada mais natural para um construtor de rodas, ele sabia como calcular a área de um círculo. A descoberta de um resultado surpreendente...

88 Vamos pensar num círculo como sendo formado por infinitas circunferências concêntricas e de raios cada vez menores. Vivenciando as idéias de Arquimedes.

89 Pegue a maior medida do barbante utilizado por você no momento em que contornou o entorno das bordas dos diferentes objetos circulares, com isso você irá trabalhar com a maior circunferência obtida. Agora é sua vez...

90 Materiais necessários: Cartolina, cola; compasso, tesoura, régua e barbante. a) Desenhar em uma cartolina utilizando o compasso, a circunferência com a medida de maior raio encontrada na atividade anterior; b) Use o barbante utilizado no contorno do objeto circular e cole na circunferência; Atividade: Encontrando a área do Círculo. Encaminhamento:

91 c) Cubra totalmente o círculo com barbante, sem deixar nenhum espaço em branco; d) Encontre a medida do raio dessa circunferência e logo após, corte um barbante com a medida desse raio;

92 e) O próximo passo é decompor o círculo e transformá-lo em um triângulo retângulo, cuja altura é o raio da circunferência e a base é a maior circunferência retificada; f) As demais circunferências retificadas formam a região triangular.

93 Discuta com os estudantes sobre conceito de área e o desenvolvimento da expressão algébrica: A = π. r 2 e faça a relação entre a fórmula do círculo com a fórmula do triângulo. Reflexão:

94 Quais os conteúdos matemáticos foram movimentados nessa atividade? Sistematização:

95 Conteúdos Estruturantes Conteúdos Básicos Conteúdos Específicos Expectativas de Aprendizagem

96 Avaliação:Critérios:Instrumentos:

97 Distância da terra 45º Você já sabe dar continuidade a resolução do problema?

98 GUELLI, O. Contando a História da Matemática: Dando Corda na Trigonometria. São Paulo: Editora Ática, 1993. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática. Curitiba: SEED/DEB-PR, 2008. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Caderno de Expectativa de Aprendizagem - Matemática. Curitiba: SEED/DEB-PR, 2012. Referências Bibliográficas: