Técnica Diagonalização de Cantor

Apresentação em tema: "Técnica Diagonalização de Cantor"— Transcrição da apresentação:

1 Técnica Diagonalização de Cantor
Para provar que um conjunto não é enumerável

2 Exemplo Números Reais entre 0 e 1 = [0,1]
4 3 2 5 …. r2 r3 6 r4 7 9 r5 r6 r7 8

3 Exemplo Números Reais entre 0 e 1 = [0,1]
4 3 2 1 5 …. 6 7 9 8 4 5 6 2 8 rk ???

4 Exemplo Números Reais entre 0 e 1 = [0,1]
4 3 2 5 …. r2 r3 6 r4 7 9 r5 r6 r7 8 rk ??? 4 5 6 2 8

5 Teorema Seja A um conjunto P(A) = conjunto das partes de A
Então não existe bijeção f: A -> P(A) cardinalidade de P(A) > cardinalidade de A

6 Prova : suponhamos por absurdo que exista bijeção de A em P(A)
{a1,a2} a1 A a2 {a1, a3, a7, a8} a3 {a1, a3, a5, a7,….} a4 a4 a4 A P(A) a11 não pertence a f(a11) = O a4 não pertence a f(a4) = {a1,a3,a5,a7,....}

7 Prova A P(A) X X = { x ϵ A | x  f(x) } f(α) = X X O a1 {a1, a2} A a2

8 Prova Duas possibilidades : α ϵ X ou α X
Se α ϵ X, como X = { x ϵ A | x  f(x) } então α  f(α). Mas f(α) = X. Logo α  X Absurdo ! Se α  X, como X = { x ϵ A | x  f(x) } então α ϵ f(α). Mas f(α) = X. Logo α ϵ X

9 Hipótese do Contínuo Cardinalidade dos naturais =
Cardinalidade de P(N) = (Aleph 1) N … P(N) …. P(P(N)) …. P(P…(P(N)…) aleph-0 aleph aleph aleph-n (Aleph zero) 1 1 2 n Cardinalidade de R (conj. dos números reais) = (???) 1

10 Hipótese do Contínuo Problema em aberto – (ainda sem solução)
Um dos problemas mais intrigantes da matemática. Primeiro dos 23 problemas propostos por David Hilbert no 2nd International Congress of Mathematicians em Paris em 1900. A tentativa de se provar a Hipótese do Contínuo deu origem a muitos resultados importantes de análise matemática, topologia, teoria dos conjuntos e Lógica.

11 Cardinalidades finitas e infinitas
{1} {5} {1,2} {2,5,7} R ?? {2} {21,50} 1 2 3 N Z Q Pares Impares P(N) P(P(N)) P(P(P(N))) 1 2 3 Hipótese do Contínuo: Problema em aberto !!