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Técnica Diagonalização de Cantor Para provar que um conjunto não é enumerável.

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Apresentação em tema: "Técnica Diagonalização de Cantor Para provar que um conjunto não é enumerável."— Transcrição da apresentação:

1 Técnica Diagonalização de Cantor Para provar que um conjunto não é enumerável

2 Exemplo Números Reais entre 0 e 1 = [0,1] r …. r …. r …. r …. r …. r …. r …. ….….….….….….….….

3 043215… … … … … … …. ….….….….….….… rk ???

4 Exemplo Números Reais entre 0 e 1 = [0,1] r …. r …. r …. r …. r …. r …. r …. ….….….….….….….…. rk ???

5 Teorema Seja A um conjunto Seja A um conjunto P(A) = conjunto das partes de A P(A) = conjunto das partes de A Então não existe bijeção Então não existe bijeção f: A -> P(A) f: A -> P(A) cardinalidade de P(A) > cardinalidade de A

6 Prova : suponhamos por absurdo que exista bijeção de A em P(A) AP(A) a1 a2 a3 {a1,a2} {a1, a3, a7, a8} {a1, a3, a5, a7,….} O A a11 a4 a11 a4 a11 não pertence a f(a11) =O a4 não pertence a f(a4) = {a1,a3,a5,a7,....}

7 Prova A P(A) a1 a2a3 {a1, a2} {a1, a3, a7, a8} {a1, a3, a5, a7,….} X f(α) = X O A a11 a4 X = { x A | x f(x) } X α

8 Prova Duas possibilidades : α X ou α X Duas possibilidades : α X ou α X –Se α X, como X = { x A | x f(x) } então α f(α). Mas f(α) = X. Logo α X então α f(α). Mas f(α) = X. Logo α X Absurdo ! Absurdo ! –Se α X, como X = { x A | x f(x) } então α f(α). Mas f(α) = X. Logo α X então α f(α). Mas f(α) = X. Logo α X Absurdo ! Absurdo !

9 Hipótese do Contínuo Cardinalidade dos naturais = Cardinalidade dos naturais = Cardinalidade de P(N) = (Aleph 1) Cardinalidade de P(N) = (Aleph 1) N … P(N) …. P(P(N)) …. P(P…(P(N)…) aleph-0 aleph-1 aleph-2 aleph-n aleph-0 aleph-1 aleph-2 aleph-n Cardinalidade de R (conj. dos números reais) = (???) 0 (Aleph zero) 012n11

10 Hipótese do Contínuo Problema em aberto – (ainda sem solução) Problema em aberto – (ainda sem solução) Um dos problemas mais intrigantes da matemática. Um dos problemas mais intrigantes da matemática. Primeiro dos 23 problemas propostos por David Hilbert no 2 nd International Congress of Mathematicians em Paris em Primeiro dos 23 problemas propostos por David Hilbert no 2 nd International Congress of Mathematicians em Paris em A tentativa de se provar a Hipótese do Contínuo deu origem a muitos resultados importantes de análise matemática, topologia, teoria dos conjuntos e Lógica. A tentativa de se provar a Hipótese do Contínuo deu origem a muitos resultados importantes de análise matemática, topologia, teoria dos conjuntos e Lógica.

11 Cardinalidades finitas e infinitas N ZQ Pares Impares 0 P(N) P(P(N)) P(P(P(N))) {1} {2} {5}{1,2} {21,50} {2,5,7} R ?? Hipótese do Contínuo: Problema em aberto !!


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