Matemática e suas Tecnologias – Matemática

Apresentação em tema: "Matemática e suas Tecnologias – Matemática"— Transcrição da apresentação:

1 Matemática e suas Tecnologias – Matemática
Ensino Médio, Resolver a equação do 2º grau a partir da técnica de completar quadrados 6) Texto:   Texto: “Completando quadrados para resolver equações do segundo grau” 1) Considere o seguinte problema: Pedro tem três lotes como na figura e quer comprar mais um lote vizinho para que o seu terreno fique com a forma de um quadrado de lado 40m. Se o preço do metro quadrado é R$ 500,00, quanto ele vai pagar por esse lote?     Para resolvê-lo, responda as perguntas abaixo. a) Com qual quadrilátero você deve completar o desenho acima para se ter um quadrado?  b) Quais são as medidas dos lados desse quadrilátero? c) Qual é a sua área?  d) E então, quanto é que Pedro vai pagar pelo terreno? 2) Veja, agora, como usar um raciocínio parecido para descobrir o número que deve ser somado à expressão x x,  de modo que ela possa ser escrita na forma  (x +  )2.  Para isso, faça o que se pede: a) Associe a x2 um quadrado de lado igual a x,    b) Observe que 18 x = 9x + 9x. Associe então a 18x, dois retângulos de lados 9 e x.   c) Junte as 3 figuras obtidas em uma só, da seguinte maneira: d) Agora responda: com que figura você deve completar o seu desenho para se ter um quadrado?  e) Quais são as medidas dos lados dessa figura? f) Qual é o número que se deve somar a expressão x2 + 18x para que ela possa ser escrita na forma  (x + )2 ?  3) Usando o produto notável (x + )2 = x2 + 2 x + 2 e comparando com a expressão  x2 + 18x +  2, qual é o número que deve ser colocado no lugar do ? 4) Descubra agora o número que deve ser somado às expressões que se seguem para que elas possam ser escritas na forma (x + )2 a) x2 + 12x;                                b) x x;                                  c) x2 + 20x; 5) Comparando as expressões x2 - 10x + 2 e (x - )2 = x2 - 2   x +   2, qual deve ser o número representado por   ? 6) Descubra o número que deve ser somado às expressões que se seguem para que elas possam ser escritas na forma (x - )2 a) x2 - 16x;                                b) x2 - 4 x;                                   ic) x2 - 36x; 7) Veja agora como descobrir o número que deve ser somado à expressão x2 + 6x + 6, de modo que ela possa ser escrita na forma (x + A)2 + B. Em primeiro lugar deve-se achar o número que deve ser somado a x2 + 6x para obter uma expressão da forma (x + A)2 Depois deve-se somar e subtrair esse número à expressão x2 + 6x. Observe que isso equivale a somar zero à x2 + 6x , portanto essa expressão não se altera. Somando e subtraindo 9 à expressão   x2 + 6x + 6 tem-se: x2 + 6x + 6 = x2 + 6x  - 9. Agrupando-se convenientemente os termos, obtém-se o desejado: x2 + 6x + 6 = (x2 + 6x + 9) - 9 + 6 = (x2 + 6x + 9) - 3 = (x + 3)2 – 3 Do mesmo modo somando e subtraindo 9 à expressão x2 + 6x + 12, tem-se:   x2 + 6x + 12 =  (x2 + 6x + 9) -  = x2 + 6x = (x + 3)2 + 3 O procedimento acima é usualmente chamado de completamento de quadrado. 8) Complete agora o quadrado de cada expressão, colocando-a na forma (x + A)2 + B. a) x2 - 12x - 10;                             b) - x2 + 9x + 7                     c) 4x2 - 20x - 5  d) a2 - 2a - 5                                  e) x2 + 3x - 4                         f) 16 x2 + 8x + 1 Veja como usar esse fato para resolver uma equação do 2o grau. Considere a equação: x2 + 6x –7 = 0 Primeiro ache o número que falta para transformar x2 + 6x num trinômio quadrado perfeito. Esse número é o 9. Depois some e subtraia esse número na expressão, para que ela não se altere.                       Assim   x2 + 6x – 7 = x2 + 6x – – 9 Agrupando os termos, obtém–se o desejado: x2 + 6x – 7 = (x2 + 6x + 9) – 9 – 7 = x2 + 6x + 9 –16 = (x + 3)2 – 16 Tem–se portanto a seguinte equação : (x + 3)2 – 16 = 0   (x + 3)2 = 16 Agora ache os números que elevados ao quadrado dão 16. Eles são o  – 4 e o + 4. Logo x + 3 = – 4 ou x + 3 = 4 As raízes são portanto: x = – 4 – 3 = –7 e x = 4 – 3 = 1, ou seja,essa equação tem duas raízes. Verifique então  se os valores obtidos são de fato raízes da equação substituindo na equação: (– 7)2 + 6.(– 7) – 7 = – 7 = 7 – 7 = 0 e 12 + 6.1 – 7 = – 7 = 7 – 7 = 0.  9) Resolva agora as seguintes equações, usando o completamento de quadrado. a) a) x2 + 10x – 11 = 0 e) 4t2 + 20 t + 25 = 0 b) 4x2 – 12x – 7 = 0 f) 9x2 + 24x + 14 = 0 c) n2 + 16n – 720 = 0 g) 4x2 – 9x + 2 = 0 d) x2 + x – 2 = 0 h) y2 + 8y + 16 = 0 Texto adaptado da coleção Matemática e Você, vol   – Autores: Ângela Vidigal, Carlos Afonso Rego, Maria das Graças G. Barbosa e Michel Spira – MG: Ed. Formato,2002 – PNLD 2005. Possíveis dificuldades: É recomendável que o professor acompanhe o trabalho dos grupos para orientá–los nas eventuais dificuldades de interpretação e execução das tarefas propostas. Algumas dificuldades que podem aparecer no completamento de quadrados são:  a) Expressões do tipo 2x2 + 12x, onde o coeficiente de  x2 é diferente de  1.  b) Expressões do tipo x2 + 9x - 1,  em que aparecem frações na manipulação algébrica. Nesse caso, o professor deve destacar, pacientemente cada passo para que os alunos tenham tempo de assimilar com segurança todas as passagens algébricas envolvidas. Por exemplo: · 2 ( x2 + 6x ) = 2 ( x x ) = 2 [ ( x + 3 )2 - 9 ] = 2 ( x + 3 ) · x2 + 9x - 1= (x2  + 2.x + ) - - 1 = ( x +  )2 - -1 = ( x +  )2 - Alerta para riscos: Não há Glossário: Não há  

2 TÉCNICA DE COMO RESOLVER A EQUAÇÃO DE 2º GRAU COMPLETANDO O QUADRADO.

3 Fórmula da equação do 2º grau

4 ax²+bx+c=0 com a,b e c números reais e a 0.
As equações do 2º grau possuem a seguinte lei de formação: ax²+bx+c=0 com a,b e c números reais e a

5 HISTÓRICO A fórmula de Bhaskara é um dos métodos mais conhecidos para se resolver Equações quadráticas, mas não é o único. Os problemas que envolvem a resolução de equações quadráticas é muito antigo . Alguns dos primeiros datam de mais de quatro mil anos, propostos pelos antigos babilônios, que tinham por finalidade encontrar dois números conhecidos. Sua soma e seu produto, ou seja, semi-perímetro e sua área.

6 REGRA DITADA EM VERSO Eleve ao quadrado a metade da soma, subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da diferença. Some ao resultado a metade da soma. Isso dará o maior dos números procurados. Subtraia-o da soma para obter o outro número (1).

7 Alguns povos, como os japoneses, não utilizavam a fórmula de Bhaskara – a qual alguns historiadores acreditam não ter sido criada por ele – isso porque, para encontrar as raízes, eles utilizam outro método, chamado completamente de quadrados.

8 Observe seguinte equação do 2º grau:
X²-5x+6=0 Se substituirmos x por 1 não encontraremos a solução. O que acontece se substituirmos x por 2 ?

9 2² =0 =0 Será que existem outras soluções?

10 Como exemplo, podemos ver a seguinte raiz quadrada:

11 Resolução: 4x²=3 4/4x²=3/4 Observe que ambos os lados foram divididos por 4. x²=3/4 Concluímos que a raiz quadrada de uma fração é igual à raiz quadrada do numerador dividida pela raiz quadrada do denominador. Como resultado obtemos x=3.

12 Para resolver equações do 2º grau, completando quadrados, poderemos construir uma caixa de cartolina, como veremos a seguir:

13 CONSTRUÇÃO DA CAIXA Modelo da caixa A proposta de construir uma caixa como na figura ao lado: sem tampa, de base quadrada e altura 2dm e cuja área valha 9dm². Para fazer esse material se gastará 9dm² de cartolina na sua confecção. Os alunos, então, são convidados a pesquisar quais devem ser as dimensões da caixa, observando-se que 1dm=10cm.

14 MOLDE PARA A CAIXA Planificação da caixa Para abordar o problema convém desenhar um molde para a caixa, conforme o da figura ao lado.

15 Em princípio, não conhecemos a medida da área da base, a qual denotaremos por X. Queremos, então, encontrar X, tal que a soma das áreas dos quatro retângulo a iguais (cada um com área 2X) com a área do quadrado que aparece no centro 9esta vale x²), no total 9. Assim precisamos encontrar soluções para a equação: X²+8x=9.

16 Vamos ver como essa equação é resolvida pelo método grego de, literalmente, completar quadrados.

17 Juntando-se 4 quadrados, cada um com lado 2 (portanto, área 4) a um molde que originalmente possuía área 9, formamos um quadrado grande (ver figura), cuja área é 16+9=25. Como o lado desse quadrado é (x+4), concluímos que: (x+4)²=25.

18 4 2x X² 2 X X+4

19 Os números que, elevados ao quadrado dão 25, são 5 ou -5
Os números que, elevados ao quadrado dão 25, são 5 ou -5. Para x+4 resultar em 5, vemos que, de fato, se x=1, essa é uma das soluções para a equação. Fazendo um retrospecto, vemos que, de fato, se x=1, a área da base vale 1, e como cada uma das 4 faces laterais possui área 2, logo, a área total da caixa é realmente 9, como queríamos. A outra solução dessa equação é obtida resolvendo-se x+4, da qual se conclui que x=-9. Este valor soluciona a equação, mas não o problema proposto.

20 COMENTÁRIOS 1: Quando perguntados se 5 é raiz da equação (x+1) x (x-5)=0, muitos alunos aplicam a propriedade distributiva para usar a fórmula de Bhakara, e concluem corretamente que 5 é raiz da equação. Utilizando o conceito de raiz, bastaria substituir 5 na equação, obtendo (5+1).(5-5)=0, e contanto que 5, de fato, é raiz da equação.

21 para encontrar a sua solução mecanicamente.
COMENTÁRIO 2: Muitos alunos jamais fariam tal substituição, por desconhecerem que a raiz de uma equação, quando substituída na mesma, deveria satisfazer a igualdade. Para evitar esse equivoco, o estudo pode ser iniciado com equações simples, com formatos privilegiados, que possam ser resolvidos por tentativas. Assim, os alunos se concentrarão em compreender o que significa resolver uma equação, antes de aprenderem uma regra para encontrar a sua solução mecanicamente.

22 EXEMPLO: Para encontrarmos as raízes de x²= 16, buscamos os números elevados ao quadrado que dão 16 e vemos que x=4 ou x=-4 são as soluções. Com relação à equação (x+1)²=9, percebemos inicialmente que tanto 3 como -3 elevados ao quadrado dão como resultado 9. Para obtermos o 3, x deve valer 2, e para obtermos o -3, X deve valer 2, e para obtermos o -3, x deve valer -4.

23 Em uma equação como (x+3) x (x-1) =0, salientamos que, obrigatoriamente um dos fatores seria nulo, seguindo-se que x=3 ou x=1. Esse exemplo é muito rico, pois o aluno incentivado a utilizar seus conhecimentos anteriores, vai saber que, se o produto de dois números reais é zero, um deles é zero. Em seguida, o problema que originalmente era de uma quação de 2º grau recai em solucionar duas equações de 1º grau.

24 SUGESTÕES: Alguns jogos podem ser utilizados para estimular a resolução de equações de 2º grau, através do cálculo mental. Nessas atividades lúdicas devem ser utilizados apenas exemplos simples, que não envolvam contas elaboradas. Os alunos internalizam as ideias novas quando os exemplos que as acompanham não envolvem contas que considerem cansativas. Como o objetivo aqui é enfatizar o significado conceitual de resolução de equações, a atenção dos alunos deve ser direcionada para esse aspecto, sem ser desviada pelo trabalho excessivo de contas. Por isso, atividades com contas mais elaboradas devem ser adiadas.

25 TIPO DE JOGO: jogo pares fora
O jogo consta de 28 cartas, que devem ser distribuídas igualmente entre quatro jogadores e um deles dará início ao jogo, comprando uma carta do adversário à sua direita. Antes de comprá-la, o aluno que iniciou deve descartar todos os pares, sendo que um par consiste de uma equação e sua respectiva solução. O jogador do qual foi retirada uma carta, após descartar seus pares, deve então comprar uma carta que deve estar à sua direita, e assim sucessivamente, até que algum jogador fique sem nenhuma carta. Este será o vencedor.

26 As cartas do jogo X²=25 X=5 ou X=-5 (x+2).(x-9)=0 X=-2 ou x=9 (x+4)²=25 X=1 ou X=-9 (x-1)²=25 X=6 ou X=-4 (x+3)²=16 X=1 ou X=-7 (x-1)²=36 X=7 ou x= -5

27 (x+1)²= 4 X= 3 ou X= -1 (x+5) (x-2) = 0 X= -5 ou X= 2 X²= 25 X= 5 ou X= -5 (x-1)²= -3 Não há solução (x+2)²= 16 X= 2 ou X= -6 (x-7)² = 0 X= 7 X² = 3 (X – 1)² = 4 x = 1 ou x = -3