Erros e sua propagação Pontos mais importantes:

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1 Erros e sua propagação Pontos mais importantes:
-fontes dos erros numéricos (arredondamento e truncatura) -definição dos erros -erros de representação digital -erros de operações aritméticas (directo) -expansão de Taylor -propagação de erros (indirecto) 1

2 Fontes dos erros numéricos
Erros de arredondamento: -representação dos números -algarismos significativos Erros de truncatura: -aproximação de procedimentos matemáticos Propagação dos erros: -operações matemáticos com números não exactos podem aumentar ou diminuir os erros numéricos 2

3 Definição dos erros (quantificação)
erro absoluto: Et=x-x* (verd.-aprox.) erro relativo: erro aproximado: erro máximo: |ea|<es=(0,5*102-n)% 3

4 Erros de arredondamento
Problemas: -números com muitos algarismos (p, e, /2, etc.) -ponto (virgula) flutuante -o número de números representáveis é finito -o intervalo entre números aumenta com o número Exemplo FP(2,3,2): 1, 0,0625 2, 0,078125 3, 0,093750 4, 0,109375 5, 0,125 5, 0,125 6, 0,156250 7, 0,187500 8, 0,218750 Dx=0,015625 Dx=0,03125 4

5 Tipos de arredondamento
“chopping”: -dígitos da mantisa além dos p primeiros desprezados -exemplo: 0, > 0,65412 -es= b1-p “rounding”: -o número mais próximo -exemplo: 0, > 0,65413 -es= 0,5*b1-p -regras: base b e base 10 5

6 Erros nas operações aritméticas simples (prop
Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros, análise directo) x1= m1bt1 x2= m2bt2 Soma e subtracção numa máquina digital: x1 ± x2 = (m1 ± m2b-(t1-t2))bt1 ; t1>t2 exemplo: 0,53 ,30103 = ? t1 = 4 ; t2 = 3; -(t1-t2)= -(4-3) = -1 0,53 ,30103 = (0,53 + 0,3  10-1)  104 = (0,53 + 0,03)  104 = 0,56  104 6

7 Multiplicação numa máquina digital:
Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros, análise directo) Multiplicação numa máquina digital: x1  x2 = (m1  m2)bt1+t2 exemplo: 0,53104 * 0,30103 = ? 0,53104 * 0,30103 = (0,53 * 0,3)  = 0,159  107 = 0,16  107 Divisão numa máquina digital: x1 / x2 = (m1 / m2)bt1-t2 exemplo: 0,53104 / 0,30103 = ? 0,53104 / 0,30103 = (0,53 / 0,3)  = 1,766…  101 = 0,18  102 7

8 y*=(1+e3)y=[(1+e1)x1+(1+e2)x2](1+e3)= =(1+e1)(1+e3)x1+(1+e2)(1+e3)x2
Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros, análise directo) Soma: x*1=(1+e1)x1 x*2=(1+e2)x2 y=x1+x2 y*=(1+e3)y=[(1+e1)x1+(1+e2)x2](1+e3)= =(1+e1)(1+e3)x1+(1+e2)(1+e3)x2 s*0=0 s*1=(s0+x1)(1+e1)=x1(1+e1) s*2=(s1+x2)(1+e2)=x1(1+e1)(1+e2)+x2(1+e2) …… s*n=x1(1+h1)+ x2(1+h2)+……..+ xn(1+hn) onde: 8

9 -para minimizar hixi o somatório começando nos números mais pequenos
Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros, análise directo) -para minimizar hixi o somatório começando nos números mais pequenos 9

10 Erros nas operações aritméticas (prop. de erros, análise directo)
Subtracção: -a prop. de erros é igual de soma -”cancelamento subtractivo”: a subtracção de números muito próximos pode resultar erros muito grandes Multiplicação (divisão): y=x1*x2 y*=(1+e3)y=[(1+e1)x1*(1+e2)x2](1+e3) -caso geral: 10

11 Propagação de erros, análise indirecta
Série de Taylor: -estimação de valor de “f” num ponto (x) a partir do valor de “f” num ponto diferente (a) e das suas derivadas -definição: -onde: -condição: n+1 derivadas são contínuas no intervalo a e x. 11

12 Propagação de erros, análise indirecta
Características de série de Taylor: -aplicação dos primeiros termos resulta uma aproximação satisfatória para funções com “bom comportamento” -aproximação exacta: - n termos para polinómios de grau n - inf. termos para outras func. -x é desconhecido (estimação de propagação de erros numéricos, localização de raízes de funções não-lineares, etc.) -”f” é desconhecido (estimação de derivadas, controlo de erro de truncatura, etc.) 12

13 Propagação de erros, análise indirecta
-função univariável (f(x)) relativamente complexa: x; Ex -exemplo 13

14 -função multivariável : xi ; Ei
-exemplo 14

15 onde h - ti+1-ti (t finito) erro -
Erros de truncatura - utilizando métodos numéricos as operações matemáticos são aproximados (depende do método) -e.g. derivação: onde h - ti+1-ti (t finito) erro - 15

16 Estabilidade dos cálculos (número de condição)
cond > 1, a função é mal condicionada. Um erro relativo na variável independente (ex) resulta um erro relativo (ef(x)) amplificado no valor da função no fim dos cálculos. cond < 1, a função é bem condicionada. Um erro relativo na variável independente (ex) resulta um erro relativo (ef(x)) mais baixo no valor da função no fim dos cálculos 16

17 Pina, H. 1995. "Métodos Numéricos". Capítulo 1.4, 1.6.
Bibliografia: Pina, H "Métodos Numéricos". Capítulo 1.4, 1.6. Chapra & Canale "Numerical Methods for Engineers”. Capítulo 3 17