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6 May 2008. 17:21 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Sistemas lineares Minimos Quadrados - Caso contínuo.

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1 6 May :21 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Sistemas lineares Minimos Quadrados - Caso contínuo

2 13 Jun :54 Caso discreto Vimos que o método dos mínimos quadrados pode ser usado para determinar a função: g(x) = a 1 g 1 (x) + a 2 g 2 (x) a n g n (x) que melhor aproxima uma série de pontos (x i,f(x i )), no sentido de minimização do erro quadrático.

3 13 Jun :54 Caso contínuo Vamos ver agora como usar o método para obter uma função que aproxima não apenas uma série de pontos, mas uma função contínua:

4 13 Jun :54 Caso contínuo Nesse caso, o erro será dado pela área entre as curvas. Para minimizar o erro quadrático, necessitamos: E como antes, queremos encontrar os parâmetros a 1,... a n que minimizam este erro.

5 13 Jun :54 Condição de mínimo O ponto de mínimo, necessariamente, satisfaz: Logo, derivando a expressão do erro quadrático em relação a a 1, temos: No caso geral, derivando em relação a a i :

6 13 Jun :54 Produto escalar de funções Vamos denotar o produto escalar de funções por: Igualando todas as derivadas parciais a zero, temos, portanto o seguinte sistema de equações normais:

7 13 Jun :54 Resolvendo o sistema Se o determinante do sistema de equações normais for diferente de zero, então há um ajuste único de parâmetros que minimiza o erro quadrático. Quando as funções escolhidas (g_1, g_2...g_n) forem linearmente independentes, o determinante será diferente de zero!

8 13 Jun :54 Exemplo (Arenales/Darezo, ex. 4.16): Usando o método dos mínimos quadrados, aproxime a função f(x) = e -x no intervalo [1,3] por um polinômio de grau 1, da forma: g(x) = a 1 + a 2 x Solução: g 1 (x) = 1, g 2 (x) = x. O sistema de equações normais é dado por:

9 13 Jun :54 Resolvendo as integrais Lembrete: a 1 = a 2 =

10 13 Jun :54 Graficamente: g(x) = x


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