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Introdução a Computação e Cálculo Numérico Rodrigo Cristiano Silva

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Apresentação em tema: "Introdução a Computação e Cálculo Numérico Rodrigo Cristiano Silva"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Rodrigo Cristiano Silva

2 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Agenda Introdução ao Cálculo Numérico O que é Cálculo Numérico? Exemplo Erros Tipos de erros Erros de arredondamento Erros de truncamento Erros na aritmética de Ponto Flutuante Conclusão

3 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Introdução A utilização dos computadores como ferramentas auxiliares na resolução de problemas complexos é uma realidade; Computador + técnicas numéricas = possibilidade de resolver inúmeros problemas práticos de engenharia em tempo relativamente pequeno.

4 Introdução a Computação e Cálculo Numérico O que é Cálculo Numérico? O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos utilizados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

5 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Exemplo Calcular a derivada de f(x) = x 2 no ponto x = 1. Método Analítico: Aplicando a definição de derivada temos: Para :

6 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Exemplo Método Numérico: Escolhemos inicialmente um valor arbitrário pequeno de h (por exemplo, h = 0,01) e substituímos tanto o valor de x = 1 quanto de h = 0,01 na definição de derivada. Com isso teremos:

7 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Exemplo Resultados: Verificou-se uma diferença de 0,01 entre os valores calculados analítica e numericamente. Isto se deve ao fato de termos utilizado um valor finito de em vez de. Conforme mencionado, os métodos de cálculo numérico permitem a obtenção de valores aproximados que satisfaçam as necessidades reais.

8 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Erros Como calcular ? Uma boa resposta seria: utilizando a calculadora ou o computador. Porém se o resultado obtido for utilizado para projetar, construir ou manter pontes, edifícios, máquinas, sistemas, dispositivos eletrônicos, etc., não poderemos aceitá-lo antes de fazer alguns questionamentos, visando comprovar que o resultado é o correto.

9 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Erros Quando calculamos, qual é a precisão utilizada pelo computador ou calculadora, tendo em vista que é um número irracional? Qual é a confiabilidade do resultado que obtivemos? Quão próximo do valor real está o valor obtido?

10 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Erros Erro absoluto Diferença entre o valor real da grandeza que queremos calcular e o valor aproximado que efetivamente calculamos. Porém, se estivermos trabalhando com números muito grandes, o erro pode ser grande em termos absolutos, mas o resultado ainda será preciso. E o caso inverso também pode ocorrer, um erro absoluto pequeno, mas um resultado impreciso.

11 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Erros Exemplo Resultado da operação: ,7 Valor real: ,5 Erro Absoluto: 1,8 Quando comparado com o valor real, esse erro é pequeno, dessa forma podemos considerar o valor calculado como preciso.

12 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Erros Em outro exemplo porém: Resultado da operação: 0,234 Valor real: 0,128 Erro Absoluto: 0,106 Apesar do erro ser pequeno, o valor calculado é extremamente impreciso, tendo em vista os valores envolvidos.

13 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Erros A fim de evitar esse tipo de ambigüidade, podemos utilizar o erro relativo, que corresponde ao quociente entre o erro absoluto e o valor real da grandeza a ser calculada:

14 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Erros O erro relativo é uma forma mais interessante de se avaliar a precisão de um cálculo efetuado. Para o primeiro exemplo, teremos um erro relativo de 0, ou 0,00008% no segundo caso um erro relativo igual a 0,83 ou 83%.

15 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Tipos de erros Erro de arredondamento Valor real: 0, Valor arredondado: 0,4 Erro de truncamento Valor real: 0, Valor truncado: 0,365

16 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Erros na aritmética de Ponto Flutuante Além dos erros causados pelo arredondamento e truncamento de certos valores, quando utilizamos computadores e calculadores, existe um erro causado pela conversão de números da base decimal para a binária e vice-versa.

17 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Erros na aritmética de Ponto Flutuante Exemplo: Fazer um programa para calcular: Qual será o resultado obtido?

18 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Conclusão Assim como o cálculo numérico é importante para resolução de problemas complexos ou sem resolução analítica, os erros são importantes, pois permitem que avaliemos os valores obtidos através dos métodos numéricos, e dessa forma, garantir a coerência dos resultados.


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