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3 Apr 2008. 16:52 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de equações: Método de Newton.

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1 3 Apr :52 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de equações: Método de Newton

2 29 Aug :07 Relembrando o método da iteração linear Queremos resolver f(x) = 0(1) Resolvemos x = (x) (2) Com (x) = x + A(x)f(x) E garantimos que A(x) 0

3 29 Aug :07 Convergência do MIL Vimos que a convergência depende de '(x) Para convergência, precisamos garantir: | '(x)| < 1 A idéia do método de Newton é escolher um tal que '(x) = 0 Por que ? Pelo teorema da permanência do sinal, se '(x) é contínua, garantimos que '(x) < M em um intervalo próximo de x

4 29 Aug :07 Escolhendo (x) = x + A(x)f(x) '(x) = 1 + A'(x)f(x) + A(x)f'(x) Se calculamos no ponto x '(x) = 1 + A'(x)f(x) + A(x)f'(x) Como queremos '(x) = 0 desde que f'(x) 0 0 em x

5 29 Aug :07 Método de Newton Método iterativo: Converge sempre que |x 0 - x| for suficientemente pequeno!

6 29 Aug :07 Interpretação geométrica f(x 0 ) (x 0 - x 1 ) f'(x 0 ) = f(x 0 ) x 0 - x 1 Também chamado método das tangentes!

7 29 Aug :07 Exemplo Determinar, usando o método de Newton, a menor raiz positiva da equação 4 cos(x) - e x = 0, com erro inferior a na vizinhança do ponto x=1.0

8 29 Aug :07 Aplicação do método f(x) = 4cos(x) - e x f'(x) = -4sen(x)-e k Logo:

9 29 Aug :07 Ordem de convergência Teorema 3.6 (Franco): Se f, f' e f'' são contínuas em I cujo centro x é solução de f(x)= 0 e se f'(x) 0 então a ordem de convergência do método de Newton é quadrática desenvolvimento exato em série de Taylor em torno do ponto x k entre x k e x

10 29 Aug :07 Ordem de convergência Teorema 3.6 (Franco): Se f, f' e f'' são contínuas em I cujo centro x é solução de f(x)= 0 e se f'(x) 0 então a ordem de convergência do método de Newton é quadrática Ordem de convergência

11 29 Aug :07 Vimos que podemos obter o método de Newton: Através da definição de (x) = x + A(x)f(x), com '(x)=0 Através de uma interpretação geométrica Outra forma: expansão de Taylor f(x) x 0 f(x 0 ) + f'(x 0 )(x-x 0 ) Como queremos f(x) = 0 : f(x 0 ) + f'(x 0 )(x-x 0 ) = 0 x = x 0 - f(x 0 )/f'(x 0 ) Outra maneira de obter o método


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