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Prof. Roberto Cristóvão Aula 18 Séries de Taylor e de Maclaurin.

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1 Prof. Roberto Cristóvão Aula 18 Séries de Taylor e de Maclaurin

2 Série de Taylor e de Maclaurin Se tiver uma representação (expansão) em série de potências em isto é, se então seus coeficientes são dados pela fórmula

3 Série de Taylor Substituindo essa fórmula para de volta na série, então teremos a chamada série de Taylor da função em (ou em torno de ou centrada em )

4 Série de Maclaurin Para o caso especial, a série de Taylor torna-se e recebe o nome especial de série de Maclaurin

5 Exemplo 1 Encontre a série de Maclaurin da função e seu raio de convergência. Solução: Se então Assim para todo Logo a série de Maclaurin é

6 Exemplo 1 Fazendo temos Pelo Teste da Razão a série converge para todo, e o raio de convegência é

7 Investigação Sob quais circunstâncias uma função é igual à soma de sua série Taylor? Em outras palavras, se tiver derivadas de todas as ordens, quando é verdade que

8 Polinômio de Taylor de grau n é o limite da sequência das somas parciais. No caso da série de Taylor, as somas parciais são: é chamado polinômio de Taylor de grau de em

9 Ilustração Para os polinômios de Taylor em 0 com e 3 são

10 Teste de Comparação no Limite Graficamente

11 Teorema Se, onde é um polinômio de Taylor de grau de em e para, então é igual à soma de uma série de Taylor no intervalo

12 Exemplo 3 Encontre a série de Taylor de em Solução:

13 Exemplo 4 Encontre a série de Maclaurin para senx. Solução:

14 Exemplo 5 Encontre a série de Maclaurin para cosx. Solução:

15 Exemplo 6 Encontre a série de Maclaurin para xcosx. Solução:

16 Exemplo 7 Represente f ( x )= senx como a soma de sua série de Taylor centrada em  /3. Solução:

17 Exemplo 7 Represente f ( x )= senx como a soma de sua série de Taylor centrada em  /3. Solução:

18 Exemplo 7

19 Gráfico

20 Exemplo 8 Encontre a série de Maclaurin para onde é um número real. Solução:

21 Exemplo 8 (Série Binomial) Converge se. Notação radicional:

22 Série Binomial Se é um número real e, então

23 Exemplo 9 Encontre a série de Maclaurin para afunção e seu raio de convergência.

24 Solução Série binomial com. Substituindo por :

25 Solução A série converge para, ou seja,. Portanto o raio de convergência é

26 Tabela

27 Exemplo 10 Calcule com erro inferior a 0,001. Solução:

28 Exemplo

29


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