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Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com
Aula 18 Séries de Taylor e de Maclaurin
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Série de Taylor e de Maclaurin
Se tiver uma representação (expansão) em série de potências em isto é, se então seus coeficientes são dados pela fórmula
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Série de Taylor Substituindo essa fórmula para de volta na série, então teremos a chamada série de Taylor da função em (ou em torno de ou centrada em )
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Série de Maclaurin Para o caso especial , a série de Taylor torna-se e recebe o nome especial de série de Maclaurin
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Exemplo 1 Encontre a série de Maclaurin da função e seu raio de convergência. Solução: Se então Assim para todo Logo a série de Maclaurin é
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Exemplo 1 Fazendo temos Pelo Teste da Razão a série converge para todo , e o raio de convegência é
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Investigação Sob quais circunstâncias uma função é igual à soma de sua série Taylor? Em outras palavras, se tiver derivadas de todas as ordens, quando é verdade que
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Polinômio de Taylor de grau n
é o limite da sequência das somas parciais. No caso da série de Taylor, as somas parciais são: é chamado polinômio de Taylor de grau de em
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Ilustração Para os polinômios de Taylor em 0 com e 3 são
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Teste de Comparação no Limite
Graficamente Teste de Comparação no Limite
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Teorema Se , onde é um polinômio de Taylor de grau de em e para , então é igual à soma de uma série de Taylor no intervalo
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Exemplo 3 Encontre a série de Taylor de em Solução:
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Exemplo 4 Encontre a série de Maclaurin para senx. Solução:
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Exemplo 5 Encontre a série de Maclaurin para cosx. Solução:
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Exemplo 6 Encontre a série de Maclaurin para xcosx. Solução:
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Exemplo 7 Represente f (x)=senx como a soma de sua série de Taylor centrada em /3. Solução:
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Exemplo 7 Represente f (x)=senx como a soma de sua série de Taylor centrada em /3. Solução:
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Exemplo 7
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Gráfico
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Exemplo 8 Encontre a série de Maclaurin para onde é um número real. Solução:
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Exemplo 8 (Série Binomial) Converge se Notação radicional:
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Série Binomial Se é um número real e , então
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Exemplo 9 Encontre a série de Maclaurin para afunção e seu raio de convergência.
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Solução Série binomial com Substituindo por :
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Solução A série converge para , ou seja, . Portanto o raio de convergência é
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Tabela
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Exemplo 10 Calcule com erro inferior a 0,001. Solução:
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Exemplo
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