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PRELIMINARES (i)métodos diretos onde, considerados os erros de arredondamento ou truncamento, é fornecida a solução exata do sistema a partir de um número.

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2 PRELIMINARES (i)métodos diretos onde, considerados os erros de arredondamento ou truncamento, é fornecida a solução exata do sistema a partir de um número finito de operações; Métodos para resolução de sistemas lineares: (ii) métodos iterativos, onde é gerada uma seqüência de soluções a partir de uma aproximação inicial x 0. São métodos diretos: (1)Regra de Cramer; (2) Inversão de matrizes; (3) Escalonamento. São métodos iterativos: (1)Gauss-Jacobi (2)Gauss-Seidel

3 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES TRIANGULARES (MÉTODO DIRETO) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1, n-1 x n-1 + a 1n x n = b 1 a 22 x 2 + a 23 x a 2,n-1 x n-1 + a 2n x n = b 2 a 33 x a 3,n-1 x n-1 + a 3n x n = b a n-1,n-1 x n-1 + a n-1, n x n = b n-1 a nn x n = b n a ij - coeficientes x i - variáveis b i – termos independentes RESOLUÇÃO: Da última equação:x n = b n /a nn Da penúltima: x n – 1 = (b n-1 – )/a n-1,n-1 a n-1.b n a nn Sucessivamente se obtém x n – 2,....x 2, x 1, onde x 1 = [b 1 – (a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1,n-1 x n-1 + a 1n x n )]/a 11

4 Exemplo: Resolver o sistema 3x 1 + x 2 + 3x 3 – 2x 4 + 4x 5 = 18 x 2 + 2x 3 + 3x 4 + x 5 = 16 3x 3 + x 4 + 2x 5 = 15 4x 4 + 2x 5 = 12 3x 5 = 6 (1) (2) (3) (4) (5) Equação 5: x 5 = 6/3 x 5 = 2 Equação 4: x 4 = (12 – 2x 5 )/4 = (12 – 2.2)/4 = 2 Equação 3: x 3 = (15 – 2x 5 – x 4 )/3 = (15 – 2.2 – 2)/3 = 3 Equação 2: x 2 = (16 – 2x 3 – 3x 4 – x 5 )/1 = (16 – 2.3 – 3.2 – 2) = 2 Equação 1: x 1 = (18 – x 2 – 3x 3 + 2x 4 – 4x 5 )/3 = (18 – 2 – – 4.2)/3 = = 3/3 = 1 Resposta: (1, 2, 3, 2, 2)

5 APLICATIVO PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS TRIANGULARES TERMOS INDEPENDENTES RAÍZES

6 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS (MÉTODO DIRETO) Consiste em transformar um sistema em um sistema triangular. Para isso, podem ser aplicadas as transformações, denominadas transformações lineares: (1) trocar as posições das equações: (2) multiplicar uma equação por um número real, não nulo. (3) somar uma equação com outra multiplicada por um número real. Usaremos os símbolo A (n) e a ij (n) para indicar a matriz A e o elemento a ij após aplicada a n-ésima transformação. A matriz original e o elemento original serão indicados, respectivamente, por A (0) e a ij (0).

7 Vamos ver através de um exemplo, como resolver um sistema pelo método de eliminação de Gauss Seja o sistema: 3x + y – z = 12 x + y + 3z = 15 2x - y + 5z = – Cria-se a matriz A (0) |B (0) que é a matriz ampliada do sistema: coeficientes Termos independentes Se a 11 (0) = 0 troca-se a ordem das equações de modo a tornar a 11 (0) 0. (Não é o caso deste sistema) O elemento a 11 (0) é denominado pivô.

8 2 – Elimina-se a variável x 1 nas equações i = 2, 3, 4... n. Para isso, da equação i subtrai-se a equação 1 multiplicada por m i1 = a i1 (0) /a 11 (0). Multiplicadores m 21 = 1/3 m 31 = 2/3. L 2 – m 21.L 1 L 2 (esta notação é usada para indicar a substituição da linha 2 pelo resultado L 2 - m 21.L 1 ) L 3 – m 31.L 1 L 3 A (1) |B (1) = /3 10/ /3 17/3 11 Observe que os elementos a i1 (1), i = 2, 3, são iguais a zero.

9 3 – Toma-se agora a 22 (1) como pivô. Note que ele deve ser diferente de zero. Se a 22 (1) for igual a zero, troca-se a ordem das linhas 2 e 3. Multiplicador: m 32 = (-5/3)/(2/3) = -5/2. A (2) | B (2) = /3 10/ /3 77/2 L 3 – m 32.L 2 L 3 O sistema agora está na forma triangular. z = (77/2)/(42/3) = (77/2).(3/42) = 11/4. y = [11 – (10/3)(11/4)]/(2/3) = (11/6).(3/2) = 11/4. x = [12 – 1.(11/4) – (-1).(11/4)/(3) = 12/6 = 4 Solução: {4, 11/4, 11/4}

10 Coeficientes (células C12 a J19) Termos independentes Células L12 a L19 Se uma das células usadas como divisor (pivô) for nula será exibida a informação de erro (divisão por zero). Verifique a linha com erro e a linha que contenha a célula. Troque a posição das linhas no quadro inicial. RAÍZES


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