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SISTEMAS LINEARES.

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Apresentação em tema: "SISTEMAS LINEARES."— Transcrição da apresentação:

1 SISTEMAS LINEARES

2 PRELIMINARES Métodos para resolução de sistemas lineares:
métodos diretos onde, considerados os erros de arredondamento ou truncamento, é fornecida a solução exata do sistema a partir de um número finito de operações; (ii) métodos iterativos, onde é gerada uma seqüência de soluções a partir de uma aproximação inicial x0. São métodos diretos: Regra de Cramer; (2) Inversão de matrizes; (3) Escalonamento. São métodos iterativos: Gauss-Jacobi Gauss-Seidel

3 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES TRIANGULARES
(MÉTODO DIRETO) a11x1 + a12x2 + a13x a1,n-1xn-1 + a1nxn = b a22x2 + a23x a2,n-1xn-1 + a2nxn = b a33x a3,n-1xn-1 + a3nxn = b an-1,n-1xn-1 + an-1,nxn = bn annxn = bn aij - coeficientes xi - variáveis bi – termos independentes RESOLUÇÃO: Da última equação: xn = bn/ann xn – 1 = (bn-1 – )/an-1,n-1 an-1.bn ann Da penúltima: Sucessivamente se obtém xn – 2, ....x2, x1, onde x1 = [b1 – (a11x1 + a12x2 + a1,n-1xn-1 +  a1nxn)]/a11

4 Exemplo: Resposta: (1, 2, 3, 2, 2) Resolver o sistema
3x1 + x2 + 3x3 – 2x4 + 4x5 = 18 x2 + 2x3 + 3x4 + x5 = 16 3x3 + x4 + 2x5 = 15 4x4 + 2x5 = 12 3x5 = 6 (1) (2) (3) (4) (5) Equação 5: x5 = 6/3  x5 = 2 Equação 4: x4 = (12 – 2x5)/4 = (12 – 2.2)/4 = 2 Equação 3: x3 = (15 – 2x5 – x4)/3 = (15 – 2.2 – 2)/3 = 3 Equação 2: x2 = (16 – 2x3 – 3x4 – x5)/1 = (16 – 2.3 – 3.2 – 2) = 2 Equação 1: x1 = (18 – x2 – 3x3 + 2x4 – 4x5)/3 = (18 – 2 – – 4.2)/3 = = 3/3 = 1 Resposta: (1, 2, 3, 2, 2)

5 APLICATIVO PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS TRIANGULARES
TERMOS INDEPENDENTES RAÍZES

6 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS (MÉTODO DIRETO)
Consiste em transformar um sistema em um sistema triangular. Para isso, podem ser aplicadas as transformações, denominadas transformações lineares: (1) trocar as posições das equações: (2) multiplicar uma equação por um número real, não nulo. (3) somar uma equação com outra multiplicada por um número real. Usaremos os símbolo A(n) e aij(n) para indicar a matriz A e o elemento aij após aplicada a n-ésima transformação. A matriz original e o elemento original serão indicados, respectivamente, por A(0) e aij(0) .

7 Vamos ver através de um exemplo, como resolver um sistema pelo
método de eliminação de Gauss Seja o sistema: 3x + y – z = x + y + 3z = 15 2x - y + 5z = 19. 1 – Cria-se a matriz A(0)|B(0) que é a matriz ampliada do sistema: O elemento a11(0) é denominado pivô. coeficientes Termos independentes Se a11(0) = 0 troca-se a ordem das equações de modo a tornar a11(0)  0. (Não é o caso deste sistema)

8 Multiplicadores m21 = 1/3 m31 = 2/3.
2 – Elimina-se a variável x1 nas equações i = 2, 3, n. Para isso, da equação i subtrai-se a equação 1 multiplicada por mi1 = ai1(0) /a11(0). Multiplicadores m21 = 1/3 m31 = 2/3. L2 – m21.L1  L2 (esta notação é usada para indicar a substituição da linha 2 pelo resultado L2 - m21.L1) L3 – m31.L1  L3 / / / / A(1) |B(1) = Observe que os elementos ai1(1), i = 2, 3, são iguais a zero.

9 3 – Toma-se agora a22(1) como pivô.
Note que ele deve ser diferente de zero. Se a22(1) for igual a zero, troca-se a ordem das linhas 2 e 3. Multiplicador: m32 = (-5/3)/(2/3) = -5/2. L3 – m32.L2  L3 / / / /2 A(2) | B (2) = O sistema agora está na forma triangular. z = (77/2)/(42/3) = (77/2).(3/42) = 11/4. y = [11 – (10/3)(11/4)]/(2/3) = (11/6).(3/2) = 11/4. x = [12 – 1.(11/4) – (-1).(11/4)/(3) = 12/6 = 4 Solução: {4, 11/4, 11/4}

10 Coeficientes (células C12 a J19)
Termos independentes Células L12 a L19 Coeficientes (células C12 a J19) RAÍZES Se uma das células usadas como divisor (pivô) for nula será exibida a informação de erro (divisão por zero). Verifique a linha com erro e a linha que contenha a célula. Troque a posição das linhas no quadro inicial.


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