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Sistemas Estuarinos Costeiros Carlos Ruberto Fragoso Júnior, Centro de Tecnologia, UFAL MÓDULO IV: Formulação Matemática dos processos ambientais Parte.

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1 Sistemas Estuarinos Costeiros Carlos Ruberto Fragoso Júnior, Centro de Tecnologia, UFAL MÓDULO IV: Formulação Matemática dos processos ambientais Parte 2 – Aplicação das Equações do escoamento em estuários.

2 2 CONTEÚDO:- IVisita Técnica IIRevisão IIIcaso bidimensional IV caso unidimensional IVExercício

3 3 Formação geológica Aspectos hidrodinâmicos relacionados ao CELMM –Circulação –Forçantes Aspectos Biológicos relacionados ao CELMM –Plâncton Ecossistemas Adjacentes –Manguezais –Banco de Macróficas Impactos no CELMM –Assoreamento –Lançamentos de esgotos (qualidade da água) VISITA TÉCNICA

4 4

5 5 ICONCEITOS FUNDAMENTAIS

6 6 Processos no Sistema Equações Matemáticas Métodos Numéricos Predições do Modelo Representa dos usando Resolvid as usando Modelo Computacional ICONCEITOS FUNDAMENTAIS

7 7 IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Processos no Sistemas Hidrólise Nitrificação Deoxigenação Reaeração Assimilação de Nutrientes Decaimento Crescimento Respiração Mortalidade Hidrodinâmica Transporte de Massa Químicos Físicos Biological

8 8 Conservação da quantidade de movimento –Balanço de forças no volume de controle U V W Conservação da massa – Balanço de massa através de um volume de controle IIEQUAÇÕES GOVERNANTES

9 9

10 10 IIICASO BIDIMENSIONAL Para o caso bidimensional, assume-se: –A aceleração vertical é desprezível, o que usualmente se utiliza como válido para os movimentos de maré; –Os termos convectivos não lineares,,,,,,, e são muito pequenos, comparados com os termos da aceleração local,,, e, assim, podem ser desprezados; (Podem existir alguns locais em Baías, tais como Estreitos, onde esta consideração não seja estritamente válida, e, nesses casos, a técnica numérica deve ser modificada para cada caso, de acordo com suas não-linearidades)

11 11 IIICASO BIDIMENSIONAL Para o caso bidimensional, assume-se: –As tensões normais, e são desprezíveis; –As variações das tensões de cisalhamento em relação a x e y,,, são desprezíveis, considerando-se a grande dimensão do sistema nas direção x e y; Tomando como válidas todas essas considerações acima, as equações da quanridade de movimento serão simplificadas e escritas na seguinte forma:

12 12 IIICASO BIDIMENSIONAL Equação da quantidade de movimento:

13 13 IIICASO BIDIMENSIONAL Analisando a equação da quantidade de movimento na direção z: A equação acima pode ser integrada verticalmente, tendo como resultado a distribuição hidrostática de pressão, o que é uma conseqüência direta de ter sido desprezada a aceleração vertical.

14 14 IIICASO BIDIMENSIONAL Como, tem-se: Equação fundamental da hidrostática

15 15 IIICASO BIDIMENSIONAL

16 16 IIICASO BIDIMENSIONAL Substituindo p nas equação da quantidade de movimento nas direções x e y:

17 17 IIICASO BIDIMENSIONAL Integrando ao longo da profundidade (direção x):

18 18 IIICASO BIDIMENSIONAL Considere as seguintes definições: – a)q, vazão por unidade de largura na direção x [L 2 T -1 ]; – b)Vazão por unidade de largura na direção y [L 2 T -1 ].

19 19 IIICASO BIDIMENSIONAL Considere as seguintes definições: – c)Profundidade total; – d)Componente na direção x da tensão de cisalhamento na superfície; – e)Componente na direção x da tensão de cisalhamento no fundo do estuário;

20 20 IIICASO BIDIMENSIONAL Então, podemos escrever

21 21 IIICASO BIDIMENSIONAL Assim, a equação da quantidade de movimento na direção x fica: Analogamente na direção y:

22 22 IIICASO BIDIMENSIONAL Equação da quantidade de movimento para o caso bidimensional: Não esqueça das simplicações adotadas!!!!

23 23 IIICASO BIDIMENSIONAL Para fluxos em canais abertos, a tensão de cisalhamento no fundo, pode ser relacionada com a perda de carga, através da seguinte equação: onde R é o raio hidráulico, L é o comprimento equivalente, o qual ocorre a perda de carga gradual h1. A perda de carga gradual h1 pode ser relacionada com o atrito no fundo, através da expressão de Darcy- Weisbach: onde f é o coeficiente de atrito de Darcy-Weisbach e v é a velocidade média do escoamento

24 24 IIICASO BIDIMENSIONAL Resultando em: As componentes nas direções x e y são dadas por:

25 25 IIICASO BIDIMENSIONAL A tensão de cisalhamento na superfície pode ser expressa por uma fórmula empírica, comumente relacionada: onde U W é velocidade do vento medida à uma certa altura, usualmente 10 metros, ρ w é a densidade do ar, α é o ângulo entre a velocidade do vento e o Norte verdadeiro e C W é o coeficiente de tensão do vento.

26 26 IIICASO BIDIMENSIONAL O coeficiente de tensão do vento, C W, depende da velocidade do vento até uma velocidade crítica do vento (U C = 15 m/s), a partir do qual é constante, e assume os seguintes valores: p/

27 27 IIICASO BIDIMENSIONAL Introduzindo as expressões, para a tensão de cisalhamento no fundo, nas equações da quantidade de movimento, obtemos:

28 28 IIICASO BIDIMENSIONAL Equação da conservação da massa

29 29 IIICASO BIDIMENSIONAL Para a equação da conservação da massa, assume-se: – Não existe variação interna significativa de massa no interior de um volume de controle – Fluido incompressível

30 30 IIICASO BIDIMENSIONAL A equação geral da continuidade, para um fluido incompressível, na forma diferencial, é apresentada a seguir:

31 31 IIICASO BIDIMENSIONAL Integrando verticalmente a equação acima, ou seja, com os limites de integração variando de até, encontra-se a expressão: onde é o valor de w na superfície, e é o valor de w no fundo do estuário, que, pela condição de aderência, independente do tipo de fundo, toma valor nulo.

32 32 IIICASO BIDIMENSIONAL Para as ondas longas, largas, desprezando os termos de segunda ordem, pode-se escrever: Resultando em: Equação da conservação da massa para o caso bidimensional

33 33 IIICASO BIDIMENSIONAL Equações

34 34 IIICASO BIDIMENSIONAL Condições iniciais e de contorno – As condições iniciais são arbitrárias, geralmente são consideradas as vazões por unidade de largura q x e q y iguais a zero e o nível d'água η inicial constante ao longo do sistema; – Ao longo da costa, que forma o contorno terra-água do sistema, a condição usada no contorno é a de fluxo nulo: q n = 0, onde q n é a componente do fluxo, normal ao contorno. Esta condição será também aplicada às fronteiras internas do sistema, e.g., nas ilhas; – No contorno do estuário com o oceano, representado por uma linha imaginária delimitando o sistema, a condição de contorno é dada pelos níveis de maré do local; – Rios ou canais afluentes (fluxo para dentro do domínio), além da prescrição da vazão normal por unidade de largura ao trecho de fronteira em questão, há também que se prescrever a componente tangencial, usualmente zero.

35 35 IIICASO BIDIMENSIONAL Solução das Equações: – Método numérico Diferenças finitas (mais utilizado) Elementos finitos (mais complexo) Volumes finitos (melhores resultados) – Veremos mais detalhes dos métodos na próximas aulas

36 36 IVCASO UNIDIMENSIONAL Propagação da onda no canal de um estuário: – Envolve um advectivo intenso em uma região topográfica muitas vezes bastante complexa; – Importante para obter as relações e diferenças de fase entre a propagação da onda, a corrente, a variação de salinidade e, como subproduto, a distância de penetração da maré (excursão da maré) Q f (rio) x = L x = 0 B z,w y,v x,u Oceano

37 37 IVCASO UNIDIMENSIONAL Considere as seguintes simplificações: – A salinidade e a densidade da água são constantes (fluido incompressível) e a influência do atrito interno e dos contornos sobre o movimento são desprezíveis (geometria simples); – O comprimento L do canal estuarino é menor do que o comprimento de onda da maré (L < λ); – Canal longo e estreito (L >> B), movimento unidimensional (v = w = 0) e uniforme na seção transversal e não há deflexão de movimento devido à rotação da Terra (efeito de Coriolis); –Com a oscilação da maré na entrada do canal, na enchente há o armazenamento de água no interior (prisma de maré) e a suvsequente saída desse volume na maré vazante.

38 38 IVCASO UNIDIMENSIONAL Elementos gráficos: x g λ η(x,t) h(x,t) z η = h – H Datum

39 39 IVCASO UNIDIMENSIONAL Da equação fundamental da hidrostática temos: Se

40 40 IVCASO UNIDIMENSIONAL Com as simplificações feitas, a equação da quantidade de movimento reduz à seguinte forma: em que a componente longitudinal da velocidade, u, é uniforme. Assumido, por hipótese, que η<

41 41 IVCASO UNIDIMENSIONAL Considerando que o problema é unidimensioanl, vamos utilizar a correspondente equação da continuidade, para tornar o sistema hidrodinamicamente fechado: em que A = B h = B (H+η) é a área da seção transversal (seção uniforme).

42 42 IVCASO UNIDIMENSIONAL Substituindo essa expressão na equação da quantidade de movimento: Derivando em relação a x e t, temos:

43 43 IVCASO UNIDIMENSIONAL Se η<

44 44 IVCASO UNIDIMENSIONAL As equações constituem um sistema de equações diferenciais parciais e duas incógnitas. Para determinar a solução vamos derivar as equação em relação a x e t Igualando as derivadas mistas Derivada em relação a t Derivada em relação a x

45 45 IVCASO UNIDIMENSIONAL Analogamente em função de u, obtemos as seguintes equações: Equações clássicas de uma onda progressiva (perfil da onda que se movimenta horizontalmente) no canal de seção transversal retangular uniforme com velocidade de propagação de fase (celeridade) c 0 dada por:

46 46 IVCASO UNIDIMENSIONAL Uma possível solução das equações do escoamento unidimensional é uma função harmônica: k = 2π/λ e ω = 2π/T. 0 Φ 2π. Considere x = 0 a boca do estuário. Se, por exemplo, a elevação da superfície livre na boca do estuário (x=0) no instante t=0 for η(0,0)=η 0, então, cos(Φ)=1 e Φ=0.

47 47 IVCASO UNIDIMENSIONAL η 0, U 0 η(0,t), u(0,t) η 0, -U 0 t S(t) t

48 48 IVCASO UNIDIMENSIONAL A solução para a velocidade é análoga à elevação da superfície da água: Nesta solução U 0 é a amplitude da velocidade que pode ser determinada derivando as duas soluções. Com rio afluente

49 49 EXERCÍCIO Q f (rio) x = L x = 0 B z,w y,v x,u Determine a elevação do nível da água e a velocidade a 1km da boca de um estuário de seção retangular e uniforme, para uma maré de enchente 2h depois da baixa-mar. Dados: amplitude de maré 2m, maré semi- diurna (T=12,5 horas), comprimento da onda de 10 km, maré maxima 1,35 m (IBGE), despreze as vazões afluentes.

50 50 TRABALHO DA DISCIPLINA Desenvolver as equações do escoamento para o caso unidimensional considerando agora a influência do atrito interno e dos contornos no escoamento.


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