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CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica, (Campus).

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1 CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica, (Campus).

2 PROGRAMA EMENTA Relatividade: O conceito de espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana. O princípio da relatividade de Galileu. Relatividade no esquema de Galileu-Newton. Experiências críticas. Transformações de Lorentz-Einstein. Medidas de comprimento e intervalo de tempo. Cinemática relativística. Dinâmica relativística. Equivalência entre massa e energia. Princípio de equivalência. Mecânia Quântica: Descoberta do elétron. Radiação como partícula. Matéria como onda. Modelos atômicos. Equação de Schrödinger. PROGRAMA DE ENSINO O conceito espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana: Nas mãos de Newton a mecânica foi fundamentada nos conceitos de espaço e tempo absolutos. O princípio da relatividade de Galileu-Newton: Grandezas relativas e invariantes newtonianos. Transformação das equações da dinâmica de Newton. Experiências críticas: Experiências relacionadas ao éter luminífero. Experiências sobre a propagação da luz.

3 Transformações de Lorentz-Einstein: Relatividade de acordo com Einstein e a universalidade da velocidade da luz. Relatividade e simultaneidade. Transformação de coordenadas do espaço- tempo. Diagramas de Minkowski. Um invariante do espaço-tempo. Medidas de comprimento e intervalo de tempo: Observadores. Pontos eventos e suas transformações. Medidas de tempo. A contração de Lorentz. Dilatação do tempo. Observação da dilatação do tempo com raios cósmicos (mésons). Intervalo espaço-tempo e causalidade. Cinemática relativística: Transformações de velocidades. Radiações de fontes em movimento rápido. Movimentos acelerados. O problema dos gêmeos. Equivalência entre massa e energia: A caixa de Einstein e a equivalência entre massa e energia. Princípio de Equivalência. Descoberta do elétron: Experiências de J. J. Thomson e Millikan. Radiação como partícula: Corpo negro. Efeito fotoelétrico. Espalhamento Compton. Produção de raios X. Produção e aniquilação de pares. Matéria como onda: difração de elétrons. Princípio da incerteza. Modelos atômicos: Modelos de Thomson e Rutherford. Modelo de Bohr do átomo de Hidrogênio. Equação de Schrödinger: Interpretação de Born. Propriedades matemáticas. Equação independente do tempo. Quantização da energia. Poço infinito. Barreira de potencial. Tunelamento. Discussão elementar do oscilador

4 Programação das provas ( 40 % conceitual e 60 % problemas) 1ª PROVA – cinco primeiros tópicos em verde: Data 04/10/13 2ª PROVA – quatro tópicos seguintes em azul : Data.../09/13 3ª PROVA – três últimos tópicos em vermelho : Data.../09/13

5 Leis de Newton Ação à distância e instantânea... Philosophiae naturalis principia mathematica, Isaac Newton

6 Princípios da Mecânica de Hertz espaço, tempo e massa F = A - B Contact forces ? Forças ficticias ou pseudo-forças

7 Gravidade artificial Euler Coriolis Centrífuga

8 Sugestão Sugestão : Mohazzabi, P., Free fall and angular momentum. Am. J. Phys. 67: Por curiosidade, considere uma bola esférica que inicia a queda livre de uma altura h = 300 m na latitude = 45 norte. Estime o desvio desconsiderando efeitos de resistência do ar, assumindo que o momento angular é conservado, lembrando que altura h << R (= 6370 km), e admitindo uma aceleração gravitacional (g = 9,8 ms -2 ) contante. R.: Encontra o chão 52 centímetros para o Sul e 8 centímetros para Leste.

9 Vácuo...

10 Standard Model

11 Campos de força

12 Experimento de Michelson-Morley (1881 e reprise 1887)

13 Comprimento de Coerência (physics)

14 Tempo de Coerência Quanto uma onda é monocromática

15 Coerência e pulsos Formam um pulso se são fixas as fases (coerentes)

16 Luz solar Luz branca com fase e amplitude variáveis.

17 Interferência de pulsos de onda = Grau de coerência...

18 30 km/s

19

20 Sem mudança !

21 Domínios de validade

22 Relatividade Especial Segundo postulado (invariabilidade de c): A luz se propaga no vácuo com uma velocidade constante c que independe dos estados de movimento do corpo emissor e do observador. Primero postulado (princípio da relatividade): As leis físicas devem ser as mesmas em todos os referênciais inerciais. Einstein, Albert (1905), "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 322 (10): 891–921.

23 Relatividade z z z 2

24 Há diferença entre medir e observar ? Um observador « vê » realmente ? A velocidade da luz ser finita insere o passado no instante da observação ? ? Introdução aos Princípios da Relatividade

25 O « ver » é determinado pela luz que chega ao observador em um dado momento.

26 A forma e o volume de um corpo dependem de como a luz emitida chega até o « observador ».

27

28 As equações de transformação de Galileu Válidas para baixas velocidades SS y y xx x vt x evento v

29 Invariância da velocidade da luz no vácuo e em todos os referenciais inerciais

30 As equações de Transformação de Lorentz Válidas para qualquer velocidade fisicamente possível. S S y y xx x vt x evento v Lorentz, Hendrik Antoon (1892), "La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants at the Internet Archive", Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles 25: 363–552

31 Transformações de Lorentz e Princípio da Relatividade

32 Registrando um evento 4 coordenadas: 3 espaciais 1 temporal Eventos: colisão entre duas partículas, acender de uma lâmpada, passagem de um pulso luminoso, evolução de uma vida,... Relatividade: determina as relações entre as coordenadas atribuídas a um mesmo evento por 2 observadores se movendo um em relação ao outro.

33 Diagrama do cone de luz de Minkowski (observador sob alta aceleração)

34

35 Quando um evento é Relativístico...

36 Exercício: Mostre que: Substituindo c por – c : Então a transformação de Lorentz dilata (contrai) o espaço-tempo ( x,y,ct ) por um fator na direção do plano x = +ct ( x = –ct ) ?

37 distorção relativística

38 P. A. Tipler, & R. A. Llewellyn, Fisica Moderna 3a Ed., LTC

39 A relatividade da simultaneidade Não simultâneo Simultâneo Não simultâneo

40 Tempo próprio e comprimento próprio Tempo próprio é decorrido entre dois acontecimentos, como medido por um relógio que passa através de ambos os eventos. Depende não apenas os eventos, mas também do movimento do relógio entre os eventos. Um relógio acelerado mede um menor tempo decorrido entre dois acontecimentos do que o medido por um relógio não acelerado (inercial) entre os mesmos dois eventos: "paradoxo dos gêmeos". Compimento próprio é o medido em um sistema de referência inercial em que os eventos são simultâneos. Então, se os dois eventos ocorrem em lados opostos de um objeto, o comprimento próprio é o comprimento do objeto medido por um observador que está em repouso em relação ao objeto.

41 A relatividade do tempo D v t

42 O fator de Lorentz e o parâmetro de velocidade Fator de Lorentz Parâmetro de velocidade (% c) Portanto: (dilatação temporal)

43 Verificação Uma pessoa está de pé ao lado dos trilhos de uma estrada de ferro quando é surpreendida pela passagem de um trem relativístico. No interior de um dos vagões, um passageiro dispara um pulso de laser em direção à parte traseira do vagão. (a) A velocidade do pulso medida pela pessoa que está do lado de fora do trem é maior, menor, ou igual à velocidade medida pelo passageiro? (b) O tempo que o pulso leva para chegar à extremidade posterior do vagão, medido pelo passageiro, é o tempo próprio? (c) A relação entre o tempo medido pelo passageiro e o tempo medido pela pessoa que está do lado de fora é dada por: ?

44 Verificação (a) lembrem-se do 2o. Postulado: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas das direções e em todos os referenciais inerciais. Portanto as velocidades são todas iguais. (b) Não, pois os 2 eventos não acontecem nas mesmas coordenadas espaciais (c) Não, pois não se trata do tempo próprio.

45 Exercícios e Problemas O tempo médio de vida de múons estacionários é de 2,2 s. O tempo médio de vida dos múons de alta velocidade produzidos pelos raios cósmicos é de 16 s no referencial da Terra. Determine a velocidade em relação à Terra dos múons produzidos pelos raios cósmicos. Tempo próprio

46 Exercícios e Problemas

47 A relatividade das distâncias Em repouso: coordenadas das extremidades Em movimento: simultaneamente (em nosso ref.) (observador em repouso A) (observador em movimento B) A B v ?

48 A contração das distâncias (contração das distâncias) Comprimento próprio

49 Exercícios e Problemas (a) Uma pessoa seria capaz, em princípio, de viajar da Terra até o centro da galáxia (que está a cerca de anos-luz de distância) em um tempo de vida normal? Explique por quê, levando em conta a dilatação dos tempos ou a contração das distâncias. (b) Com que velocidade constante a pessoa teria que viajar para fazer a viagem em 30 anos (tempo próprio)?

50 Exercícios e Problemas (b)

51 Para pares de eventos O referencial S está se movendo com velocidade v em relação ao referencial S.

52 Verificação As figuras abaixo mostram três situações nas quais um referencial xy e um referencial xy estão em movimento relativo ao longo da direção comum dos eixos x e x, como indica o vetor velocidade associado a um dos referenciais. Em cada situação, se tomarmos o referencial xy como estacionário, o parâmetro v das equações anteriores será um número positivo ou negativo? S S y y x x v S S y y x x v S S y y x x v (a) (b) (c) v > 0 v < 0

53 Algumas conseqüências Simultaneidade Dois eventos simultâneos em locais diferentes em S: Já em S:

54 Algumas conseqüências Dilatação dos tempos Dois eventos no mesmo local e em ocasiões diferentes em S: Já em S:

55 Algumas conseqüências Contração das distâncias Medidas simultâneas em S: Como:

56 Exercícios e Problemas Um astronauta parte da Terra e viaja com uma velocidade de 0,99c em direção a estrela Vega, que está a 26 anos-luz de distância. Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, (a) quando o astronauta chegar a Vega e (b) quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega? (c) Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?

57 Exercícios e Problemas (a) No mesmo referencial inercial: (b) Supondo que seja enviado um sinal de rádio, este viaja a c de volta: (c) Temos que calcular o tempo próprio:

58 A relatividade das velocidades SS y y xx v u no ref. S Partícula emite 2 sinais, logo:

59 A relatividade das velocidades Dividindo: Ou: Fazendo: Temos: (transformação relativística das velocidades)

60 Perguntas As naves A e B da figura abaixo estão em rota de colisão; as velocidades indicadas foram medidas no mesmo referencial. A velocidade da nave A em relação a nave B e maior que 0,7c, menor que 0,7c ou igual a 0,7c. A B 0,4c 0,3c

61 S (do observador inicial) S (nave B) y y xx v u no ref. S u no ref. S (nave A) Precisamos calcular u: A B 0,4c 0,3c Como u = 0,4c e v = -0,3c:

62 Efeito Doppler Para o som: v

63 Efeito Doppler para a luz (fonte e detector se afastando) Freqüência própria Apenas a freqüência muda. Importante apenas veloc. entre fonte e detector (fonte e detector se aproximando) De acordo com o 2 o Postulado: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas das direções e em todos os referenciais inerciais.

64 Exercícios e Problemas Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c. Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul ( =450 nm) para os passageiros. Que cor teria a fonte para um observador terrestre que estivesse assistindo à partida da nave? Comp. de onda próprio (fonte e detector se afastando) Amarelo-esverdeado

65 O efeito Doppler para a luz Na astronomia, se a velocidade radial for pequena se pode usar como aproximação razoável : Ou: Comp. de onda próprio Deslocamento Doppler v v

66 Verificação A figura mostra uma fonte que emite luz de freqüência própria f 0 enquanto se move para a direita com velocidade c/4 em relação ao referencial S. A figura também mostra um detector de luz, que mede uma freqüência f>f 0 para a luz detectada. (a) O detector esta se movendo para a esquerda ou para a direita? (b) A velocidade do detector em relação ao referencial S é maior que c/4, menor que c/4 ou igual a c/4? c/4 fonte detector S v>c/4

67 Efeito Doppler transversal D P S (efeito Doppler transversal) Dilatação dos tempos: Como T=1/f:

68 Outra versão do Slide 31 … Usando um quadrivetor invariante no formalismo de Minkowski…

69

70 Construção de uma Dinâmica Relativística

71 Definições de velocidades usuais: Transformações usando equações do Slide 51 : Portanto

72 O que ocorre fora do eixo x de deslocamento ? pois Então Similarmente,

73 Transformação das velocidades

74 Transformação da velocidade em versão vetorial De acordo com o Slide 68: Dividindo numerador e denominador por temos:

75 Admitindo uma variação de velocidade ao longo do eixo x de deslocamento temos : O que ocorre fora do eixo x de deslocamento ? As regras de transformação da Relatividade são diferentes da Mecânica Clássica. Podemos, portanto, esperar que muitas outras quantidades sejam afetadas. Uma delas é a massa que deve ser transformada se introduzindo o conceito de massa relativística.

76 Transformação das acelerações

77 Massa relativística e massa de repouso O conceito de "massa" é definida de duas maneiras diferentes na Relatividade. A massa de repouso é definida como uma quantidade invariável que é a mesma para todos os observadores em todos os sistermas de referência. A massa relativista é dependente da velocidade relativa do observador. Qualquer partícula que tem uma massa de repouso, energia cinética e momento não pode ser acelarada sem o aumento de sua massa relativísta. A massa de repouso, massa invariante, massa intrínseca ou massa própria é uma característica da energia total e do momento de uma partícula, sendo a mesma em todos os referenciais relacionados por transformações de Lorentz.

78 Massa relativística Massa de um objeto movendo em relação a um observador: Logo (ver situação no Slide 69) Como Simplificando

79 Relatividade Geral Princípio da Equivalência (massa incercial). (aceleração) = (massa gravitacional).(intensidade do campo gravitacional) Então, a gravidade é uma pseudo-força experimentada por um observador em um sistema de referência não-inercial (acelerado). Objetos em queda livre seguem geodésicas do espaço-tempo. O que percebemos como a "força" da gravidade é resultado de não sermos capazes de seguir essas geodésicas do espaço-tempo, porque a resistência mecânica da matéria nos impede de fazê-lo.

80 Transformação da massa Obs.1: Se então Obs.2: Energia relativística

81 Unidades práticas Unidade de massa atômica: Elétron-volt: c2:c2:

82 Energia total (supondo E pot =0) A energia total E de um sistema isolado não pode mudar. Energia cinética

83 Momento e energia cinética Ou: mc 2 pc E mc 2 K sen = cos = 1/

84 Verificação (a) A energia cinética de um elétron de 1 GeV é maior, menor ou igual a de um próton de 1 GeV? (b) Repita o item (a) para a energia total. (a) igual, pois o termo de … GeV significa de energia cinética. (b) Energias de repouso Elétron: 511 keV, Próton: 938 MeV Como a energia total é: E eletron < E proton

85 Exercícios e Problemas O tempo de vida médio dos múons em repouso é de 2,20 s. As medidas dos múons produzidos em um acelerador de partículas mostram que eles têm um tempo de vida de 6,90 s. Determine (a) a velocidade, (b) a energia cinética e (c) o momento destes múons no referencial do laboratório. A massa de um múon é de 207 vezes maior que a do elétron. Sabemos:

86 (a) (b)

87 (c) Ou então:

88 Energia de repouso

89 Energia cinética

90 Momentum relativístico Quadri-momentum

91 Momentum relativístico e energia relativística

92 Usamos a intercorrelação entre o momentum relativístico e a energia relativística para obter a transformação do momentum: onde (ver situação no Slide 21):

93 Transformação relativística do momentum e da energia

94 Transformação relativística do momentum

95 A Força Sendo Logo Como Então

96 Exercício : Mostre que:

97 Transformação relativística da força

98 Dividindo numerador e denominador por temos: Substituindo: Em versão vetorial De acordo com Slide 94

99 Transformação da força em versão vetorial

100 Exercício: Mostre que para uma determinada força atuando sobre uma partícula temos: a) b) c ) Se F é paralela a v, então F = F.

101 Exercício: a) É razoável falar em massa inercial longitudinal e transversal ? b) O par de forças de ação e reação ao longo da mesma direção em sentidos opostos e com igual módulo da Mecânica Clássica prevalece na Mecânica Relativística ?

102 Alguns aspectos importantes a serem considerados na formulação da Eletrodinâmica

103 Invariância da carga elétrica : Massa relativística : Momentum relativístico : Contração do volume : Observações experimentais

104 Formalismo de Minkowski

105 Formulação de quadrivetores Definição do produto escalar: invariante Norma de um quadrivetor

106 Exemplo:

107 Quadri-momentum

108 Conforme visto no Slide 94

109 Linhas de campo elétrico e magnético de uma carga positiva em movimento uniforme conforme um observador estacionário ! E Q B Q Campos de uma carga em movimento

110 E Q B Q Campos de uma carga em movimento « lento »

111 No entanto, temos : Sendo Direção radial Direção azimutal

112 Linhas de campo elétrico de uma carga elétrica deslocando com velocidade = v/c. Os pontos nas superfícies das esferas "imaginárias" estacionárias indicam onde emergem as linhas de campo elétrico. Ou seja, a densidade de pontos indica a intensidade do campo.

113 O campo elétrico deixa de ser isotrópico!

114 Não há campo magnético atrás ou a frente !

115 Equipotenciais de uma carga em movimento

116 Ação e Reação Em (a) e (b) é descita a interação entre as cargas Q e q. Efeito relativístico

117 Transformação dos campos elétrico e magnético Uma carga Q com uma velocidade v imersa numa região imersa em campos E e B conforme um referencial S está subletida a uma força : Esta força medida num referencial inercial S movendo a uma velocidade com relação ao referencial S é dada por: Se tivermos: Então

118 Um elétron de 10 GeV. Obtenha o fator de Lorentz e a velocidade. 1

119

120 Questões e Problemas

121 1) Determine a razão entre velocidades v 1 : v 2 : v 3 : v 4 que corresponde a razão entre fatores de Lorentz 1 : : 3 : 4 igual a 1,01 : 10 : 100 : ) (a) Determine a energia total de um eletron de 2,489 MeV. (b)Determine o fator de Lorentz desse eletron. (c) Quanto mais lento que aluz está esse elétron ? 3) Large Hadron Collider (LHC) do CERN, é o maior acelerador de partículas existente no mundo. Um de seus principais objetivos é obter dados sobre colisões de feixes de prótons a uma energia de 7 TeV. (a) Determine a massa relativística desses prótons. (b) Determine a energia em joules envolvida na colisão de 14 TeV. 4) Dois eventos ocorrem no mesmo local e ao mesmo tempo para um observador. (a) Ele será simultâneo para todos os demais observadores ? (b) Ele irá ocorrer no mesmo local para todos os demais observadores ? 5) Itaipu gera energia eleétrica usando a passagem d´água através das turbinas que giram o eixo de um gerador. De acordo com o conceito da equivalência massa-energia o aparecimento da energia elétrica pode ser identificada com a diminuiçao da massa em algum lugar? Se verdade, onde? 6) Se a carga elétrica variar 1 parte em 10 9 com a velocidade do elétron. Estime o valor da carga elétrica que seria observada numa esfera de cobre de raio 1 m inicialmente descarregada após ser aquecida à 100 o C.

122 7) Encontre a velocidade de uma parícula que leva dois anos a mais que luz para percorrer uma distância de 10 anos-luz. 8) Um avião supersônico voa em Mach 3 por 12 horas.Por qual fator o relógio do avião ficará atrasado em relação ao rel´sgio de um observador em Terra ? 9) Um eletron com = 0, move-se no interior de um tubo de comprimento 3 metros num laboratório. (a) Determine quanto mais lento que a luz está o elétron. (b) Qual o comprimento do tubo no referencial do elétron ? 10) Um próton aproxima-se da Terra ao longo do eixo do polo Norte com uma velocidade 0,8c e outro com velocidade 0,6c em direção ao polo Sul. Determine a velocidadde relativa entre esses dois prótons. 11) Dois satélites mantém em órbita da Terra a uma velocidade de km/h. Se eles circulam em sentidos opostos, qual será a diferença entre a velocidade relativa deles seguindo-se a transformação de Galileu e a transformação de Lorentz ? 12) Qual o trabalho necessário para levar um eletron a velocidade de 0,5c ? E a 0,9c ? 13) O consumo de enrgia elétrica no Brasil em 2012 foi aproximadamente 450 TW.h Determine a massa equivalente.

123 14) Determine o momento cinético de um proton de modo que sua energia total seja 10 vezes a sua energia de repouso. 15) Explique o significado de massa própria, comprimento próprio e tempo próprio. 16) Descreva o experimento de Michelson e Morley. Explique o significado desse experimento para a Fisica Moderna. 17) Enuncie os dois postulados de Einstein na Relatividade Especial. 18) Quanto rápido e em que direção deve se mover uma galáxia para um comprimento de onda de 550 nm (verde) observado numa galáxia estacionária aparecer deslocado para 450 nm (azul) (a "blue-shift")? 19) Dertermine a massa longitudinal e a massa transversal mencionadas no slide ) Discuta a validade de cada uma das três Leis de Newton da Mecânica Clássica na Relatividade Restrita.


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