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EQUAÇÕES BÁSICAS Lecture 4. Equação de Estado A equação de estado para um gás ideal é p = RT(1) Onde, p,. R e T são a pressão, a densidade, a constante.

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1 EQUAÇÕES BÁSICAS Lecture 4

2 Equação de Estado A equação de estado para um gás ideal é p = RT(1) Onde, p,. R e T são a pressão, a densidade, a constante universal dos gases para o ar seco e a temperatura absoluta, respectivamente. Em certas ocasiões, pode ser utilizado o volume específico ( =1/ ), no lugar da densidade, levando a p = RT(2) Se o ar contém vapor d` água, a equação de estado torna-se p = RT v (3) Onde T v é a temperatura virtual definida como T v = T ( w) (4) Onde w é a a razão de mistura definida como a razão entre a massa do vapor d` água num dado volume e a massa de ar seco neste mesmo volume.

3 Primeira Lei da Termodinâmica A primeira lei da termodinâmica pode ser expressa da seguinte maneira H = du + W (5) onde H, du e W são, respectivamente, o calor adicionado por unidade de massa, a mudança da energia interna por unidade de massa e o trabalho realizado por unidade de massa, com relação ao sistema considerado. Para um gás invíscido W = p d e H = du + p d (6) A mudança da energia interna por unidade de massa pode ser escrita como du = C v dT onde Cv é o calor específico a volume constante. Substituindo esta expressão na equação (6), obtêm-se H = C v dT + p d (7) O calor específico a volume constante é relacionado ao calor específico a pressão constante e à constante dos gases para o ar seco pela expressão C p = C v + R(8) Usando esta expressão, (7) pode ser escrita como H = C p dT – RdT + pd, mas pela equação do estado nos temos pd + dp = RdT. Entao, H = C p dT – dp (9)

4 Equação do Movimento Horizontal A equação do movimento horizontal na forma vetorial, em coordenadas cartesianas, pode ser escrita como dV/dt + f k x V = – 1/ h p + F (10) Onde V = u i + v j é o vetor velocidade horizontal, f = 2 sin é o parâmetro de Coriolis, é a velocidade angular da rotação da terra, é latitude, F é a força de fricção, k é o vetor unitário na vertical, and h é o operador del horizontal, no qual em coordenadas cartesianas é definido como: h = i / x + j / y + k / z Desprezando os efeitos de fricção e reescrevendo a equação (10) em coordenadas de pressão, tem-se dV/dt + f k x V = – p (11) onde = gz é a altura geopotencial

5 Equação Hidrostática A equação hidrostática (ou aproximação) pode ser escrita como p/ z = – g(12) Na expressão (12) a força do gradiente de pressão vertical por unidade de massa é balanceada pela aceleração da gravidade. Para movimentos de grande escala, que resultam de sistemas de escala sinótica, esta expressão é válida. Para sistemas convectivos ou no caso de escoamento em regiões com terreno rugoso (montanhas), acelerações verticais são importantes e a expressão (12) não é válida.

6 Equação Hipsométrica (ou da Espessura) A equação hidrostática pode ser integrada para obter a equação hipsométrica ou da espessura. Usando a equação do estado (p = RT) e substituindo ( =P/RT) na equação (12), obtemos p/ Z = – pg/RT (13) Equação (13) pode ser escrita como lnp/ Z = – g/RT(14) a qual, integrada no nível (p 1, z 1 ) até o nível (p 2, z 2 ) resulta em: p2 z2 (15) p1 d lnp = –g z1 dz/RT Integrando e aproximando T por T m (temperatura média para camada de z 1 a z 2 ), tem-se ln (p 2 /p 1 ) = g (z 2 – z 1 )/(RT m ) (16) Portanto, para a espessura (z 2 – z 1 ) segue que z 2 – z 1 = (RT m /g) ln(p 1 /p 2 )(17) Equação (17) é chamada a equação hipsométrica ou da espessura. É utilizada operacionalmente no cálculo da altura de um dado nível de pressão a partir dos dados de radiossondagem. Na equação (17) T m deveria ser, na realidade, T vm (temperatura virtual media da camada). Equação (17) pode também ser utilizada para inferir importantes propriedades da atmosfera terrestre. Dados dois níveis de pressão, a espessura, z 2 – z 1, correspondente a essas superficies de pressão é diretamente proporcional à temperatura media da camada. Esse ponto sera abordado varias vezes em seções futuras.

7 Equação da Continuidade A equação da continuidade pode ser escrita da seguinte forma 1/ d /dt + V = 0(18) onde V é a divergência tridimensional da velocidade, que em coordenadas cartesianas é dada por V = u/ x + v/ y + w/ z(19) e d /dt é a variação de massa acompanhando a parcela de ar. Para o escoamento incompressível, temos d /dt = 0 and V = 0 (20) A equação da continuidade em coordenadas de pressão é matematicamente mais simples, ou seja: p V + / p = 0(21) onde, p V = u/ x p + v/ y p e = dp/dt é o movimento vertical em coordenadas de pressão. A relação aproximada entre ω e w é ω w p/ z ou ω - g.

8 Equação da Vorticidade A equação da vorticidade em coordenadas cartesianas pode ser escrita da seguinte forma d(ζ+f)/dt = –(ζ+f) h V+(w/y u/z–w/x v/z)+(p/x α/y–p/y α/x)(22) (a) (b) (c) onde ζ é a componente vertical da vorticidade relativa e (ζ + f) é a componente vertical da vorticidade absoluta. -O termo (a) representa as mudanças na vorticidade devido a convergencia e divergencia do campo do vento -o termo (b) representa as mudanças na vorticidade devidas ao movimento vertical diferencial num campo de vento com cisalhamento vertical (termo de inclinação); -o termo (c) representa as mudanças na vorticidade causadas pelos gradients de densidade ao longo da direção do movimento (termo solenoidal). Escrevendo a equação (22) em coordenadas de pressão, o termo solenoidal desaparece, ficando d(ζ + f)/dt = –(ζ + f) p V + (ω/y u/p –ω/x v/p)(23) o termo de inclinação (tilting) é pequeno para escoamento de escala sinótica. Este termo é, contudo, localmente importante quando ocorre desenvolvimento rápido de um ciclone (ciclogênese) e também para fenômenos de mesoescala, tais como um cumulonimbus em rotação, tornados e convecção em geral.

9 COORDENADAS NATURAIS O sistema de coordenadas naturais é um dos mais úteis para os meteorologistas sinóticos. Os eixos deste sistema são obtidos girando os eixos x e y do sistema de coordenadas cartesianas tal que o eixo x fique na direção do movimento, denotado por s (ver figura). Mediante rotação o eixo y fica na direção n, normal e à esquerda do movimento do ar. Os vetores unitários nas direções s e n, respectivamente, estabelecem a seguinte relação: s x n = k (24) onde k é o vetor unitário na vertical. Por convenção, o ângulo de rotação (δ) é positivo se a rotação for anti-horária. Relação entre as coordenadas naturais e as coordenadas cartesianas

10 No sistema de coordenadas naturais os eixos mudam de orientação à medida que o movimento do ar muda de direção. Os vetores unitários se n podem então ser função do tempo. Uma vantagem óbvia do sistema de coordenadas naturais é que o vetor velocidade horizontal tem somente uma componente, aquela na direção s. Então, V = Vs (25) É conveniente usar a equação do movimento em coordenadas de pressão pois os dados sinóticos de ar superior são geralmente fornecidos em níveis de pressão constante.

11 Equação do Movimento ( Coordenadas Naturais ) A equação vetorial do movimento em coordenadas de pressão (equação 11) pode ser escrita como: dV/dt + fk x V = – p (26) onde f é o parâmetro de Coriolis e é a altura geopotencial (gz) de uma dada superfície de pressão. Os vetores unitários s e n podem ser expressos em termos dos vetores i e j, conforme segue: s = s x i + s y j n = n x i + n y j

12 onde s x = s i = | s | | i | cosδ = cosδ, s y = s j = | s | | j | cos (90-δ) = senδ, n x = n i = | n | | i | cos(90+ δ) = – senδ, n y = n j = | n | | j | cos(δ) = cosδ Desta forma, s = cosδ i + senδ j n = – senδ i + cosδ j Substituindo (25) em (26), obtêm-se dVs/dt + fk x Vs = – p (27) Em coordenadas naturais, p = s /s p + n /n p

13 Substituindo p = s /s p + n /n p em (27), obtêm-se dVs/dt + fk x Vs = – s /s – n /n (28) onde as derivadas parciais são avaliadas numa superfície de pressão constante. O primeiro termo no lado esquerdo da expressão (28) pode ser escrito da seguinte forma: dVs/dt = s dV/dt + V ds/dt Utilizando a expressão para s em termos de i and j (slide anterior), ds/dt = (– i sinδ + j cosδ)dδ/dt = n dδ/dt Porém, dδ/dt é a velocidade angular relativa do ar que pode expressa como d /dt = (d /ds) (ds/dt) onde dδ/ds = 1/R, R é o raio da curvatura do escoamento (positivo para escoamento no sentido anti-horário) δ R Note: A mudança angular, se o fluxo completa o círculo, é 2π. A distância que a parcela de ar atravessaria é a circunferência do círculo 2πR. Então, dδ/ds = 2π/ 2πR = 1/R

14 ds/dt = V, desta forma dδ/dt reduz para dδ/dt = V/R e dVs/dt = s dV/dt + n V 2 /R (29) Assim, a aceleração do vetor velocidade em coordenadas naturais é dada pela soma de duas acelerações, uma orientada ao longo do escoamento (aceleração da magnitude) e a outra orientada ortogonal ou na direção normal ao escoamento (aceleração centripeta). Agora considerando o termo aceleração de Coriolis fk x Vs = fVk x s = fVn(30) Mediante substituição de (29) e (30) em (28), obtêm-se a equação do movimento em coordenadas naturais: sdV/dt + nV 2 /R + fVn = – s /s – n /n (31) O produto escalar de (31) com os vetores unitários s e n fornece, respectivamente, dV/dt = – /s (32) V 2 /R + fV = – /n (33)

15 É evidente em (32) que acelerações na magnitude da velocidade somente se verificam quando a altura geopotencial varia na direção do movimento do ar. Considere-se a análise esquemática da altura geopotencial mostrada na Figura abaixo para o HS e assuma que que a velocidade do ar é maior do que a velocidade de deslocamento do cavado No ponto A o vento tem velocidade maximo e o vetor do vento é paralelo aos contornos de altura geopotencial, / s = 0 e dV/dt = 0). No ponto B, a velocidade esta diminuindo seguindo o movimento do ar (dV/dt 0. De modo semelhante, no ponto C, dV/dt > 0 e / s < 0. Uma vez que (32) nao envolve f, estes resultados aplicam-se a ambos os hemisférios. Em geral, o movimento do ar, numa superfície de pressão constante, acelera-se quando o movimento é em direção a alturas geopotenciais mais baixas e desacelera-se quando o movimento é em direção a alturas geopotenciais mais altas. O escoamento é dito uniforme, na direção do movimento, se dV/dt = 0 em todos os pontos. 50 C A B Cavado isotacas

16 Se o escoamento for uniforme, então a equação do movimento em coordenadas naturais reduz-se a (3.11) e diz-se que o vento encontra- se em balanço gradiente. Este tipo de vento é chamado vento gradiente, frequentemente denotado pelo subscrito gr. Então, V gr 2 /R + fV gr = – /n (34) Se o escoamento for retilínio (o escoamento atmosférico seguindo grandes círculos na Terra) então o termo da aceleração centripeta é zero. O escoamento resultante é dito estar em balanço geostrófico, e este tipo de vento é chamado vento geostrófico, frequentemente denotado pelo subscrito g. Então, fV g = – /n (35) Em geral, em virtude do ar frequentemente realizar movimentos curvilíneos, associado com cavados e cristas, o vento gradiente é uma aproximação melhor do que o vento geostrófico para o vento observado. Em regiões onde a curvatura é pronunciada, o vento observado pode variar de 50% a 200% do vento geostrófico

17 No Hemisfério Norte (f > 0) deve diminuir na direção n positiva ( /n < 0), e no Hemisfério Sul (f < 0) deve aumentar na direção n positiva. HN (f>0) HS (f<0) nn /n < 0 /n > 0 L H L H

18 Se o escoamento ciclônico for definido como o movimento do ar curvilíneo que representa no seu centro baixo valor de altura geopotencial, então o escoamento ciclônico corresponde a R > 0 no HN e R < 0 no HS HNHS De modo semelhante, defini-se o escoamento anticiclônico como um movimento curvilíneo que representa no seu centro alto valor de altura geopotencial. O escoamento anticiclônico corresponde a R 0 no HS HNHS Escoamento Ciclônico Escoamento Anticiclônico N NNN

19 Substituindo (35) em 34, temos V gr 2 /R + fV gr = fV g que pode ser re-escrita como V gr – V g = - V gr 2 /fR Para o escoamento ciclônico (no HN: R>0, f> 0; no HS: R<0, f<0), o vento gradiente é menor que o vento geostrófico (V gr – V g < 0), e temos escoamento subgeostrófico Para o escoamento anticiclônico (no HN: R 0; no HS: R>0, f 0), e temos escoamento supergeostrófico

20 escoamento ciclônico (subgeostrófico) escoamento anticiclônico (supergeostrófico) N N N N NH HS

21 Divergência e Convergência Em geral, a divergência da velocidade horizontal é uma grandeza difícil de medir acuradamente, em parte por causa dos erros nas medidas dos ventos e em parte porque sua representação matemática é a soma de dois termos que geralmente são de tamanhos comparáveis porém de sinais opostos. Também, neste caso o uso de coordenadas naturais fornece uma representação mais útil para o meteorologista sinótico. Em coordenadas naturais a divergência da velocidade horizontal pode ser expressa como: p V = s/s Vs + n/n Vs Expandindo os termos no lado direito da equação acima, obtêm-se: p V = s s V/s + Vs s/s + V/n n s + Vn s/n p V = V/s + Vs n δ/s + Vn n δ/n or p V = V/s + Vδ/n (36) (a) (b) Onde (a) é a variação na magnitude da velocidade na direção do movimento e (b) representa a confluência ou difluência do escoamento do ar. Para confluência, δ/n é negative, and para difluência δ/n é positivo. Em geral (a) and (b) tem sinais opostos (velocidade aumenta na direção do escoamento para confluência, e velocidade diminui na direção do escoamento para difluência) 0 0

22 Corrente de Jato δ>0 δ<0 δ>0 δ<0 Jet Região de entrada do JatoRegião de saída Jato δ/n < 0, Confluência V/s > 0 δ/n > 0, Difluência V/s < 0 N

23 Vorticidade A curvatura ou rotação apresentada pelo movimento do ar relativo à Terra é chamada vorticidade relativa, que matemáticamente é expressa como Vorticidade Relativa = x V(37) Em coordenadas naturais, a componente vertical de (37) torna-se ζ = k [(s /s + n /n) x Vs(38) Expandindo o lado direito da equação(38), temos ζ = k (s x (Vs)/s + n x Vs/n) Expandindo as derivadas e usando as expressões para s e n em termos de i e j s = cosδ i + senδ j n = – senδ i + cosδ j obtêm-se,

24 ζ = k (Vs x n δ/s + s x s V/s + Vn x n δ/n + n x s V/n) Como s x n = k, s x s = n x n = 0, n x s = -k e δ/s =1/R, a velocidade relativa em coordenadas naturais pode ser escrita como: ζ = V/R – V/n(39) onde V/R é definido como a vorticidade devido à curvatura e - V/ n é definido como a vorticidade devida ao cisalhamento As figuras a seguir mostram exemplos da vorticidade devido à curvatura e devido ao cisalhamento, tanto no NH e SH.

25 Vorticidade devido à Curvatura NHSH (a) V/R>0 (b) V/R<0 V/R>0 Vorticidade relativa ciclônica devido ao escoamento curvado Vorticidade relativa anticiclônica devido ao escoamento curvado N N N N

26 HNHS (a) – V/n >0 (b) – V/n <0 Vorticidade relativa ciclônica devido ao cisalhamento horizontal n – V/n <0 Vorticidade devido ao Cisalhamento Vorticidade relativa anticiclônica devido ao cisalhamento horizontal


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