Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. Mais precisamente…

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1 Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. Mais precisamente…

2 Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória é uma função X: R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.

3 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições Quando se observa cck: X = 2 Y = 1

4 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x0123 P(X=x)

5 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x0123 P(X=x)1/83/8 1/8 função de massa de probabilidade (fmp) de X

6 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y012 P(Y=y)

7 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y012 P(Y=y)1/42/41/4

8 Função de Distribuição Acumulada A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função F X : R R definida por F X (x) = P(X x)

9 Função de Distribuição Acumulada Exemplo: x0123 P(X=x)1/83/8 1/8 123 1/2 7/8 1 Se x < 0: P(Xx) = 0 Se 0 x <1: P(Xx) = P(X=0) = 1/8 Se 1 x <2: P(Xx) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2

10 Função de Distribuição Acumulada Roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X x) = x/10, se 0 x 10 1, se x > 10 10 1

11 Função de Distribuição Acumulada Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho

12 Função de Distribuição Acumulada Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X x) = ½ + ½ x/10, se 0 x 10 1, se x > 10 10 1

13 Tipos de Variáveis Aleatórias Discretas F X (x) = x i x P(X = x i ) (Absolutamente) Contínuas F X (x) = x i x f X (x) dx (onde f X (x) é a densidade de probabilidade de X) Mistas F X (x) = x i x P(X = x i ) + x i x f X (x) dx (Há outras, mais patológicas …)

14 Exemplo 10 1 P(X = 0) = ½ 0, se x < 0 f X (x) =1/20, se 0 x 10 0, se x > 10

15 Propriedades da F.D.A. F X é não-decrescente lim x – F X (x) = 0, lim x + F X (x) = 1 lim x a+ F X (x) = F(a) (continuidade à direita)

16 Função de Distribuição Acumulada A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a. podemos obter a probabilidade de qualquer evento envolvendo a v.a.) P(X = 2) = P(X = 3) = P(X < 3) = P(1 X 3) =

17 Principais Distribuições Discretas Bernoulli Binomial Geométrica Hipergeométrica Poisson

18 Principais Distribuições Contínuas Uniforme Exponencial Gama Normal (e associadas: 2, t, F)

19 Bernoulli Espaço amostral binário (sucesso-fracasso, sim-não, 1-0) 1, com probabilidade p X = 0, com probabilidade 1–p Notação: X be(p)

20 Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos

21 Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos tem probabilidade p k (1–p) n-k.

22 Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos tem probabilidade p k (1–p) n-k. Logo: Notação: X B(n, p)

23 Geométrica Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.

24 Geométrica Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso. X = k k–1 fracassos seguido de um sucesso Notação: X G(p)

25 Hipergeométrica Urna com N bolas, sendo B brancas, de onde são extraídas n bolas, sem reposição. X = número de bolas brancas extraídas Notação: X HG(N, B, n)

26 Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?

27 Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra? Resposta: HG(N, B, n)

28 Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra? Resposta: HG(N, B, n) Mas, se n << N, aproximadamente B(n, B/N)

29 Distribuição de Poisson Em média, um site de internet tem = 0,5 acessos por segundo. Qual é o modelo apropriado para a distribuição do número de acessos efetuados em um minuto?

30 Distribuição de Poisson Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração 1/n Como o número de usuários é grande, é razoável considerar a existência de acessos neste intervalos como eventos independentes, cada um com probabilidade p. Para que o número médio de acessos por minuto seja igual a, deve-se ter np =

31 Distribuição de Poisson

32 Caso limite da distribuição binomial, quando n e np se mantém constante –Acessos a sites –Chegadas de consumidores a um banco –Número de erros tipográficos em um texto –Número de partículas radioativas emitidas

33 Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?

34 Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo? P(X>0) = 1- P(X=0) = 1-e -0.5 = 0,395

35 Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?

36 Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto? Poisson (30) Em geral, o número de acessos em um intervalo de duração t tem distribuição Poisson ( t)