Progressão Aritmética-P.A.

Apresentação em tema: "Progressão Aritmética-P.A."— Transcrição da apresentação:

1 Progressão Aritmética-P.A.
Instituto Federal da Bahia Campus Jequié Progressão Aritmética-P.A. Por Valdex Santos

2 Sequências Um conjunto de informações capazes de determinar todos os termos de uma sequência e a ordem em que se apresentam é chamado de lei de formação da sequência. Exemplo 1: Seja ( 𝑎 𝑛 ) a sequência tal que: 𝑎 1 =3 𝑎 𝑛+1 =4+ 𝑎 𝑛 As informações 𝑎 1 =3 e 𝑎 𝑛+1 =4+ 𝑎 𝑛 , para todo número natural n, não nulo, determina todos os termos da sequência e a ordem dos mesmos.

3 Sequências Na igualdade 𝒂 𝒏+𝟏 =𝟒+ 𝒂 𝒏 atribuímos para 𝑛 os valores 1,2,3,…, obtendo os demais termos da sequência, isto é, 𝑛=1⇒ 𝑎 2 =4+ 𝑎 1 =4+3=7 𝑛=2⇒ 𝑎 3 =4+ 𝑎 2 =4+7=11 𝑛=3⇒ 𝑎 4 =4+ 𝑎 3 =4+11=15 𝑛=4⇒ 𝑎 5 =4+ 𝑎 4 =4+15= Portanto a sequência é (3,7,11,15,19,…)

4 Sequências Exemplo 2: Seja a sequência ( 𝑎 𝑛 ) tal que 𝑎 𝑛 = 𝑛 2 −1. Encontremos os termos dessa sequência: 𝑛=1⇒ 𝑎 1 = 1 2 −1=0 𝑛=2⇒ 𝑎 2 = 2 2 −1=3 𝑛=3⇒ 𝑎 3 = 3 2 −1=8 𝑛=4⇒ 𝑎 4 = 4 2 −1=15 ... Portanto a sequência é (0,3,8,15,…)

5 Sequências Exemplo 3: Determine os termos da sequência de termo geral 𝑎 𝑛 =2𝑛 ... A sequência é (2,4,6,8,10,12,…) Exemplo 4: Determine os termos da sequência de termo geral 𝑎 𝑛 =2𝑛−1 A sequência é (1,3,5,7,9,11,13,…)

6 Progressão Aritmética – P. A.
Progressão Aritmética(P.A.) é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do termo anterior com uma constante r, chamada de razão da P. A. Exemplos: a) A sequência (4,9,14,19,24,29,34,39) é uma P. A. finita de razão 𝑟=5 b) (18,10,2,−6,−14,…) é uma P. A. infinita de razão 𝑟= −8 c) (4,4,4,4,…) é uma P. A. infinita de razão 𝑟=0

7 Classificação das Progressões Aritméticas
Podemos classificar as Progressões Aritméticas em crescente, decrescente ou constante. Crescente: Uma P. A. é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o antecedente. Para que isso ocorra é necessário e suficiente que ela tenha razão positiva. Exemplo: (6,10,14,…) é uma P. A. crescente, note que a razão é positiva 𝑟=4

8 Classificação das Progressões Aritméticas
Decrescente: Uma P. A. é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o antecedente. Para que isso ocorra é necessário e suficiente que ela tenha razão negativa. Exemplo: (13, 8, 3,−2,−7,…) é uma P. A. decrescente, note que a razão é negativa 𝑟=−5 Constante: Uma P. A. é constante quando todos os seus termos são iguais. Exemplo: (3,3,3,3,…) é uma P. A. constante, note que a razão é nula 𝑟=0

9 Praticando... Verifique se cada sequência é ou não uma P. A. 𝑎 1 , 𝑎 2 ,… 𝑎 6 tal que 𝑎 𝑛 =5𝑛+1, para todo 𝑛 natural não nulo, com 𝑛≤6 𝑎 1 , 𝑎 2 ,… 𝑎 9 tal que 𝑎 𝑛 = 𝑛 2 , para todo 𝑛 natural não nulo, com 𝑛≤9 𝑎 1 , 𝑎 2 ,… 𝑎 8 tal que 𝑎 𝑛 = 𝑛 3 +1, para todo 𝑛 natural não nulo, com 𝑛≤8

10 Praticando... 2) Classifique cada P.A. em crescente, decrescente ou constante. ( 𝑎 𝑛 ) tal que 𝑎 𝑛 =8−3𝑛 ( 𝑎 𝑛 ) tal que 𝑎 𝑛 = 𝑛 2 −9 𝑛+3 −𝑛 ( 𝑎 𝑛 ) tal que 𝑎 1 =10 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 +8

11 Praticando... 3) Determine o número real 𝑥, de modo que a sequência (1−𝑥,𝑥−2,2𝑥−1) seja uma P. A.

12 Fórmula do termo geral de uma P. A.
Problema: Uma nova linha de metrô, ainda em construção, tinha 1 𝑘𝑚 no início do ano passado. De lá pra cá, essa linha cresceu 0,5 𝑘𝑚 ao mês. A sequência a seguir apresenta os comprimentos, em quilômetros, dessa linha do metrô, mês a mês, a partir de janeiro do ano passado: (12;12,5;13;13,5;14;14,5;…) Responda: a) Quantos quilômetros essa linha terá em dezembro do mesmo ano?

13 Fórmula do termo geral de uma P. A.
Deduzindo: 𝑎 1 = 𝑎 1 +0𝑟 𝑎 2 = 𝑎 1 +𝑟 𝑎 3 = 𝑎 2 +𝑟= 𝑎 1 +𝑟+𝑟= 𝑎 1 +2𝑟 𝑎 4 = 𝑎 3 +𝑟= 𝑎 1 +2𝑟+𝑟= 𝑎 1 +3𝑟 𝑎 5 = 𝑎 4 +𝑟= 𝑎 1 +3𝑟+𝑟= 𝑎 1 +4𝑟 … Observamos que, em cada igualdade, o coeficiente de 𝑟 tem uma unidade a menos que o índice à esquerda da igualdade, concluímos assim que o n-ésimo termo é dado por 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑛−1 𝑟

14 Fórmula do termo geral de uma P. A.
Resumindo: Numa P. A. ( 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ,…, 𝑎 𝑛 ,…) de razão 𝑟, temos 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑛−1 𝑟

15 Praticando... Determinar o termo da P. A. (2,13,24,35,…) Obtenha o n-ésimo termo, 𝑎 𝑛 , da P. A. (2,8,14,20,…) Quantos termos tem a P. A. (3,7,11,…,99)? Em uma P. A. temos 𝑎 20 =5 e 𝑎 32 =8. Determine a razão da P. A. Interpole 6 meios aritméticos entre 2 e 10, nessa ordem.

16 Propriedades das Progressões Aritméticas
𝑃 1 . Em toda P. A. finita, a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos, ou seja, 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 = 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 = 𝑎 3 + 𝑎 𝑛−2 =… Exemplo: (3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63) =66 3+63 =66 8+58 =66 13+53 =66 18+48 =66 23+43 =66 28+38

17 Propriedades das Progressões Aritméticas
𝑃 2 . Em toda P. A. finita, cada termos localizado entre o primeiro e o último é igual a média entre seu antecessor e seu sucessor, ou seja, 𝑎 2 = 𝑎 1 + 𝑎 3 2 , 𝑎 3 = 𝑎 2 + 𝑎 4 2 , 𝑎 4 = 𝑎 3 + 𝑎 5 2 ,… Exemplo: 3, 8, 13, 18, 23 8= ,13= ,18= Consequência: Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é a média entre os extremos.

18 Representação Genérica de uma Progressão Aritmética
(𝑥, 𝑥+𝑟,𝑥+2𝑟) 𝑥−𝑟,𝑥,𝑥+𝑟 Generalizando... (…, 𝑥−3𝑟, 𝑥−2𝑟,𝑥−𝑟,𝑥, 𝑥+𝑟, 𝑥+2𝑟,𝑥+3𝑟,…)

19 Praticando... Numa P. A. finita, o termo médio é o quádruplo do primeiro termo. Sabendo que o último termo dessa P.A. é 42, determine o primeiro termo. Obtenha 𝑥 para que a sequência (2𝑥−2,3𝑥−1,2𝑥+6) seja uma P. A. Numa P. A. decrescente de três termos, a soma dos termos é 6 e o produto é -24. Determine a P.A. (Faap-SP) As medidas dos ângulos internos de um triângulo, em ordem crescente, forma uma P. A. A medida do maior desses ângulos é o dobro da medida do menor. O maior ângulo interno desse triângulo mede: a) b) c) d) e) 82 0

20 Soma dos n primeiros termos de uma P. A.
Contextualização: No ano de 1785, numa pequena escola do principado de Braunschewieg, na Alemanha, o professor Buttner propôs as seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100, apenas três minutos depois um menino de 8 anos, aproximou-se da mesa do professor e apresentou o resultado pedido. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele menino viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Carl Friedrich Gauss( ).

21 Soma dos n primeiros termos de uma P. A.
O cálculo efetuado por Gauss foi simples e elegante; ele percebeu que: A soma do primeiro nº com o último é: 1+100=101 A soma do segundo nº com o penúltimo é: 2+99=101 A soma do terceiro nº com o antepenúltimo é: 3+98= 101 e assim por diante, ou seja, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos, que é 101:

22 Soma dos n primeiros termos de uma P. A.
(1, 2, 3, 4, …, 97, 98, 99, 100) Como no total são 50 somas iguais a 101, Gauss concluiu que: … =50∗101=5050 Esse raciocínio pode ser generalizado para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma P.A., pelo teorema a seguir: =101 3+98 =101 1+100 =101 2+99 =101 4+97

23 Soma dos n primeiros termos de uma P. A.
A soma 𝑆 𝑛 dos 𝑛 primeiros termos da P. A. ( 𝑎 1 , 𝑎 2 ,…, 𝑎 𝑛 ,…) é dada por 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 .𝑛 2 Demonstração: ?

24 Calcular a soma dos vinte primeiros termos da P. A. (3, 7, 11, 15,…).
Praticando... Calcular a soma dos vinte primeiros termos da P. A. (3, 7, 11, 15,…). Calcule a soma dos múltiplos positivos de 9, menores que 100. Determine a soma de todos os números naturais que sejam múltiplos de 2 e 3, simultaneamente, e que estejam compreendidos entre 100 e 700. Calcule: A soma dos n primeiros números pares. A soma dos n primeiros números ímpares. Basear para fazer o de P. G.