Processamento de Imagens e Computação Gráfica

Name: Processamento de Imagens e Computação Gráfica
Uploaded: 2017-12-09T13:27:37+00:00
Duration: PTM32S0
Channel: Manoela Barbosa
Description: Processamento de Imagens e Computação Gráfica

Processamento de Imagens e Computação Gráfica
Prof. Dr. Kamel Bensebaa Aula 4

Pré-Processamento no Domínio das Freqüências
Como podemos analisar um sinal ou uma imagem no domínio espacial, podemos também analisar uma imagem no domínio de freqüências. No domínio das freqüências as séries de Fourier e a Transformada de Fourier são ferramentas importantes para análise de sinais e imagens.

Representação de sinais
Onda senoidal

Amplitude é uma medida escalar não negativa da magnitude de oscilação de uma onda. Dois sinais com a mesma fase, mas com amplitudes diferentes

Freqüência é uma grandeza física ondulatória que indica o número de (ciclos, oscilações, etc) por unidade de tempo. Alternativamente, podemos medir o tempo decorrido para uma oscilação. Este tempo em particular recebe o nome de período (T). Freqüência e Período são inversamente proporcionais. Ex: f = 2Hz  T = 0.5 s

Sinal com freqüência de 12 Hz Sinal com freqüência de 6 Hz

Se um sinal não muda com o tempo, sua freqüência é zero. Se um sinal muda instantaneamente, sua freqüência é infinita.

A fase descreve a posição da forma de onda em relação ao tempo 0

Fase=0 graus Fase=90 graus Fase=180 graus Três ondas senoidais com mesmas amplitudes e freqüências, mas com fases diferentes

Domínio do tempo e domínio das freqüências
Onda senoidal no domínio do tempo (valor do pico: 5V, freqüência: 6Hz Onda senoidal no domínio das freqüências (valor do pico: 5V, freqüência: 6Hz Uma onda senoidal completa no domínio do tempo pode ser representada como um simples pulso no domínio da freqüência.

Domínio de freqüências
O domínio de freqüência é mais compacto é útil quando se estar trabalhando com mais de um sinal senoidal. Representação de três ondas no domínio do tempo com freqüências 0, 8, 16. Representação das três ondas no domínio de freqüência. Domínio do tempo e domínio de freqüência para três ondas senoidas.

Funções periódicas Séries de Fourier
Considerando por exemplo as funções trigonométricos: seno, cosseno, tangente, etc. Uma função seno(x) é periódica se sua forma se repete a cada período. A figura mostra que a função seno(x) se repete a cada período 2. O valor máximo da função chamado amplitude é igual a 1.

A função cosseno é também periódica com o mesmo período e amplitude que a função seno, mas deslocada de /2 em relação a função seno.

A figura mostra uma função que é também periodica mas não é uma função cosseno nem seno. Como achar uma função matemática que descreve uma curva representada pela figura?

Séries de Fourier Fourier descobriu, no início do século 19 que qualquer função periódica, por mais complicada que seja, pode ser representada como a soma de várias funções seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente. Em outras palavras Fourier descobriu se uma função f(t) é periódica, ela pode ser expressa como uma série infinita de funções trigonométricas na forma: onde a0, an, bn são os coeficientes de Fourier 0=2/T freqüência angular em rad/s n0=Harmônicos, n é número inteiro>1

Séries de Fourier A função f(t) é periódica de período fundamental T quando f(t)=f(t+T) T: período Fundamental Coeficientes de Fourier:

Exemplo: Características do Som
São três os parâmetros que definem um Som: A sua freqüência, ou número de vibrações produzidas por segundo, a sua intensidade, ou o quanto forte ou quanto potente é o som, e o timbre, característica que dá identidade a um instrumento, ou seja sabemos qual instrumento está emitindo um som. Num concerto musical, podemos observar nos momentos que antecede a apresentação musical, os músicos afinando seus instrumentos; tomando por base a nota la3 = 440 Hz, ou ciclos por segundo - e se um violino e um piano emitem a mesma nota la3, embora a freqüência seja a mesma sabemos identificar qual o som que vem do piano e qual o som que vem do violino.

Exemplo: Características do Som
Por que? Porque o conteúdo harmônico desse som é diferente para um e para outro instrumento. Quando um instrumento gera um som, além da freqüência fundamental, ele gera freqüências superiores de ordem par e ordem ímpar em relação à freqüência fundamental, além do que os harminicos são diferentes também na amplitude. Portanto a forma de onda desses instrumentos são diferentes e nosso ouvido percebe muito bem isso. Por esse mesmo motivo sabemos distinguir a voz de um interlocutor se é o individuo A, B, ou C. É claro que esta é uma análise físico-matemática do som, mas certamente que o o músico, o maestro, o compositor, acrescentará uma outra característica fundamentalmente importante, que é a DURAÇÃO DO SOM.

Descoberta de Fourier O matemático francês J. Fourier provou matematicamente que qualquer forma de onda, independente da sua origem, é um somatório de ondas senoidais de diferentes freqüências, amplitudes e fases. Ele mostrou que se a forma de onda se repete periodicamente, então as freqüências das componentes senoidais são restritas a valores múltiplos da freqüência de repetição da forma de onda. Um sinal periódico qualquer é composto de (ou pode ser decomposto em) uma serie de ondas senoidais com freqüência múltiplas inteiras da freqüência fundamental f, cada uma com uma determinada amplitude e uma determinada fase, mais uma componente continua (de freqüência zero. As ondas senoidais múltiplas inteiras n da fundamental são chamadas harmônicos de ordem n.

Séries de Fourier A transformada de Fourier representa a soma de uma série de formas de onda senoidais com diferentes amplitudes, fase e freqüência.

Séries de Fourier A teoria de Fourier nos fornece uma maneira de expressar os sinais no domínio da freqüência. Aumentando-se a quantidade de harmônicos para compor a forma de onda mais semelhança esta terá com sinal original. Como é impossível projetar um sistema que suporte um número infinito de freqüências ( largura de banda infinita), uma reprodução perfeita do sinal original será impossível. Em muitos casos eliminando alguns harmônicos não se altera o sinal significativamente.

Séries de Fourier para k=1 Seja a função:

Séries de Fourier para k=2

Séries de Fourier para k=5

Série de Fourier Complexa
Pode-se também representar a função f(t) através de uma série de Fourier complexa. Os coeficientes Cn são números complexos caracterizados por: Uma parte real e uma parte imaginaria Um módulo e uma fase

Série de Fourier Complexa
A escolha de representar f(t) pelas equações (1) e (2) depende da aplicação ou do contexto físico. No estudo de sinais digitais ou processamento de imagens é preferível trabalhar com série de Fourier complexa. Da mesma forma que uma função periódica pode ser representada como uma série real ou complexa, pode-se também representar uma função não periódica através de uma integral real ou complexa chamada também Transformada de Fourier.

Motivos para estudar espectro de Fourier
Séries de Fourier são utilizadas no estudo de sinais periódicos, enquanto que Transformadas de Fourier são utilizadas no estudo de sinais não periódicos. O espectro de um sinal é um objeto matemático apropriado para descrever, de uma forma bastante conveniente, um sinal a partir da variável que representa a freqüência angular do sinal, do que através de uma curva em função do tempo, além de informar a medida da freqüência do sinal. Embora uma série de Fourier com coeficientes reais pode ser obtida mais facilmente do que a série de Fourier com coeficientes complexos, às vezes, usamos a série complexa que possui características matemáticas do sinal de uma forma mais sintetica, além de ser exatamente por este meio que podemos obter mais facilmente a fase e a amplitude do sinal.

Transformada de Fourier contínua
A transformada de Fourier é uma importante ferramenta que permite representar no domínio de freqüência um sinal ou uma imagem a partir da sua representação no domínio do tempo. Se f (t ) for real o teorema de Fourier estabelece que a função ou Transformada de Fourier simbolizada por é a seguinte A função inversa simboliza a transformada inversa ou seja a obtenção de f (t) por intermédio de F ()

Transformada de Fourier discreta (1D)
A transformada de Fourier discreta F (u) de uma função f(x) de uma variável x=0,1,2,,...,M-1 é dada pela equação Define-se a correspondente transformada de Fourier inversa da seguinte forma: O conceito do domínio de freqüência decorre da formula de Euler Portanto

Em duas dimensões, a transformada de Fourier discreta F (u,v) de uma função f(x,y) é dada pela equação Define-se a correspondente transformada de Fourier inversa da seguinte forma: Segundo Euler podemos escrever ou

Magnitude ou espectro Espectro de freqüência: conjunto de componentes de freqüência de um sinal Ângulo de fase O espectro de potência ou densidade espectral é definido por:

Propriedade da Translação Transformada de Fourier discreta
Transformada de Fourier a duas dimensões En geral, multiplica-se a função de entrada por (-1)x+y para « centralizar » a função transformada. (-1)x+y = (ej) x+y

Transformada de Fourier a duas dimensões É natural ver a origem das freqüências no centro do espectro. Isso não muda a informação contida no espectro. Translação da origem de F(u, v) para (M/2, N/2) Baixas freqüências no centro do espectro

Representação freqüêncial da Transformada de Fourier
Freqüência nula ou valor médio da imagem Baixas freqüências Freqüências intermédiarias Altas Freqüências

Exemplo: Transformada sem deslocamento origem origem Imagem Original Transformada com origem no centro da matriz

Propriedade de Rotação da Transformada de Fourier discreta
Introduzindo coordenadas polares f(x,y) e F(u,v) se tornam f(r,) e F(, ) Exemplo: Imagem original Espectro Imagem rotacionada Espectro resultante

imagem microscópica de um circuito integrado
Filtragem em Freqüência relações espaço × freqüência Características: bordas a ±45º duas incrustações de óxido imagem transformada imagem microscópica de um circuito integrado

Transformada Rápida de Fourier (FFT)
A implementação da Transformada discreta de Fourier , também conhecida como DFT (Discret Fourier Transform) , veio ser prática em 1965 quando Cooley e Turkey descreverem um algoritmo para computar a DFT de forma bem eficiente. Seu algoritmo tornou-se conhecido como a Transformada rápida de Fourier ou FFT (Fast Fourier Transform). Usando o algoritmo da FFT, a DFT pode ser computada em milissegundos em vez de horas como era feita em décadas passadas. A computação direta da DFT de uma função contendo N pontos, requer N2 operações; onde uma operação é definida como uma multiplicação mais uma adição. O algoritmo de Cooley e Turkey requer aproximadamente Nxlog2N operações, sendo N potência de 2.

Série de Fourier e Transformada de Fourier
As representações da série de Fourier e da transforma de Fourier têm uma importante característica. Podem ser reconstruídas (recuperadas) completamente por um processo inverso sem perda de informação.

Pré-Processamento no Domínio Frequencial
O processamento no domínio das freqüências costuma ser mais custoso e demorado, devido ao número maior de etapas de processamento a serem cumpridas, e pela natureza das máscaras de convolução freqüenciais, que são bem maiores do que as utilizadas no processamento espacial.

Filtragem espacial – Filtragem freqüencial
Pelo teoria da convolução, se f(x,y) é a imagem da cena original e h(x,y) é a função de transferência linear, a imagem de saida é a seguinte: Essa operação equivale no domínio de freqüência a produto da imagem de entrada e a função de transferência do sistema de imageamento. Isso significa que dependendo do tamanho da mascara de convolução e mais vantajoso multiplicar os espectros de freqüências e depois calcular a transformada inversa de Fourier

Filtragem espacial – Filtragem Freqüencial
Teorema de convolução Domínio espacial Domínio freqüencial Convolução Multiplicação

Transformada Inversa de Fourier
Filtragem no Domínio da Freqüência procedimento H(u,v) parte real (4) (1) (3) × Transformada Inversa de Fourier Transformada de Fourier f(x,y) g(x,y) domínio do espaço (2) F(u,v) G(u,v) domínio da freqüência

Filtragem no Domínio da Freqüência procedimento
Centrar a transformada multiplicando a imagem por (-1)x+y Calcular F(u,v), a transformada discreta de Fourier da imagem Multiplicar F(u,v) por uma função filtro H(u,v) Calcular a transformada discreta inversa que produz a nova imagem realçada Obter a parte real Multiplicar o resultado por (-1)x+y Resumindo G(u,v)=H(u,v) F(u,v)

Filtragem no Domínio da Freqüência procedimento
Outra forma de explorar o teorema de convolução é o projeto de filtros no domínio de freqüência. Sabe-se que na região de bordas e outras transições abruptas de níveis de cinza correspondem a componentes de altas freqüências, enquanto as baixas freqüências representam regiões homogêneas na imagem original. Neste contexto, para manipular esses componentes existem três tipos de filtros Passa-baixa Passa-alta Passa-faixa

Filtragem no domínio da freqüência
Três tipos de filtragem Filtros passa-baixa (suavização – borramento). Preserve as baixas freqüências espaciais. Suprime as altas freqüências espaciais Filtros passa-alta (realce das bordas – aguaçamento) Preserve as altas freqüências espaciais Suprime as baixas freqüências espaciais Filtros passa-faixa (restauração de imagens) Preserve especificas freqüências espaciais Suprime outras freqüências espaciais Baixas freqüências: área de suavização Altas freqüências: detalhes, como bordas e ruídos

Filtragem no domínio das Freqüências
A transformada de Fourier apresenta: Média no centro (componente DC) As baixas freqüências – nível de cinza das superfícies suaves (smooth) As altas freqüências - detalhes, bordas e ruído (sharp) É possível criar filtros para a atenuação de freqüências específicas Filtros passa-faixa, passa-baixa, passe-alta, Gaussiano, …

Filtragem no domínio das Freqüências Filtre passa-faixa
Filtres passa-baixa (lowpass-smoothing) Ideal Butterworth Gaussien Filtres passa-alta (highpass-sharpening)

Filtro passa-baixa ideal
Corta todas as altas freqüências depois uma distância D0 do centro Distância do centro (M/2, N/2)

D0 é a freqüência de corte (cutoff) Secção radial

1 ou 0

Filtro passa-baixa ideal 1 ou 1/2
Filtres passe-bas idéal 1 ou 1/2 Corta 1/2 altas freqüências depois uma distãncia D0 do centro Distância do centro (M/2, N/2)

1 ou 1/2

Comparação: “FPBI 1 ou 0” e “FPBI 1 ou ½”

Filtros passa-baixa ideal
Avaliação do filtro em função da potência do sinal dentro do circulo de raio D0: Onde: Para os (u,v) dentro do círculo

exemplo ringing effect

Efeitos do filtro passa-baixa ideal
Todas as freqüências acima da freqüência de corte D0 são retiradas Todas as freqüências de corte D0 são conservadas Embora o filtro ideal possa ser simulado no computador, ele não pode ser implementado em componentes eletrônicos

Ringing Effect (Anelamento)
Componente dominante na origem blurring (borramento) Componentes circulares concêntricos ringig effect (anelamento)

Ringing Effect (Anelamento)
D0 pequeno poucos anéis largos maior ringing effect na imagem Quando D0 aumenta aumenta o número de anéis, e diminui o espaçamento entre eles menor ringig effect na imagem

ringing effect ILPF Filtro espacial (a) (b) Inversa DFT (c) (d) (b) * (c) Cinco impulsos no domínio espacial

Filtro de Butterworth passa-baixa
Corta gradativamente as altas freqüências segundo a seleção de D0 e do expoente n

Filtro de Butterworth passa-baixa D0 é escolhido para H(u,v) = 0.5

Filtro de Butterworth passa-baixa
Raio: 5, 15, 30, 80 et 230 pixels, n = 2

Filtro de Butterworth passa-baixa Riging effect (Contorno)
Filtre Butterworth d'ordre 1, 2, 5, et 20

Filtro de Butterworth passa-baixa ideal ringing effect
ideal low pass filter ↑

Filtro Gaussiano passa-baixa

D(u,v) = D0 quando H(u,v) = 0.607

Raio : 5, 15, 30, 80 et 230 pixels, n = 2

Filtro de Butterworth Filtro de Gaussiano

Filtro Gaussian passa-baixa
Não existe ringing effect Menos agressivo que o filtro ideal ou o filtro de Butterworth Menos controle sobre a seleção precisa de D0 Mas apresenta uma garantia contra o ringing effect!

Filtro Gaussian passa-baixa

Filtros passa-alta Retira os componentes de baixa frequencia (abaixa da freqüência de corte Mantém as altas freqüências (acima da freqüência de corte) Ideal Butterworth Gaussiano

Filtragem no domínio das Freqüências Filtre passa-alta
Função contrária dos filtros passa-baixa : Filtro Passa-alta Filtro Passa-baixa

Filtro passa-alta ideal
D0 é a freqüência de corte (cutoff) 3D 2D Secção radial

Corta todas as baixas freqüências depois uma distância D0 do centro Distância do centro (M/2, N/2)

Filtros passa-alta ideal 1 ou 1/2 Corta 1/2 baixas freqüências depois uma distância D0 do centro Distância do centro (M/2, N/2)

Filtre passa alta ideal

Raio : 15, 30, e 80 pixels

Filtro passa-alta ideal 1 ou 0

Filtro passa-alta ideal 1 ou 1/2

Filtro passa-alta ideal “1 ou 0”

Filtro passa-alta ideal “1 ou 1/2”

Ringing effect

Filtro de Butterworth passa-alta
Corta gradativamente as baixas freqüências segundo a seleção de D0 e do exponente n

Filtro de Butterworth passa-alta D0 é escolhido para H(u,v) = 0.5

Filtro de Butterworth passa-alta
Corta gradativamente as baixas frequencias segundo a seleção de D0 e do expoente n A frequencia de corte (D0) define o valor onde a ampitude do espectro é reduzida de 50% Baixas frequencias sao cada vez mais atenuadas na imagem a medida que sao menores que D0, ou seja, o filtro de Butterworth possui transicao mais suave que o filtro ideal O valor de n (ordem do filtro) determine a suavidade do filtro.

Filtro de Butterworth passa-alta Raio : 15, 30, e 80 pixels, n=2

Filtro passa-alta de Butterworth

Filtro de Butterworth passa-alta Riging effect

Filtro Gaussiano passa-alta

D (u,v) = D0 quando H (u,v) = 0.607

Corta gradativamente as baixas freqüências segundo a seleção do exponente  A freqüência de corte (D0) define o valor onde a amplitude do espectro é reduzida de 60.7% Baixas freqüências são cada vez mais atenuadas na imagem a medida que são menores que D0, ou seja, o filtro possui transição mais suave que o filtro ideal O filtro Gaussiano não possui Ringing Effect

Filtro Gaussian passa-alta
Raio : 15, 30, e 80 pixels

Filtro Gaussian passa-alta
Riging effect (Contorno) Não tem!

Filtro de realce no domínio de freqüências
Atenua ou mantém os componentes de alguma faixa de freqüência da imagem e aumenta (realça) outras faixas de freqüência Geralmente atenua as baixas freqüências e realça as altas freqüências (Filtro homomórfico) O filtro homomórfico trabalha com a idéia de que a iluminação (L) é o componente de baixas freqüências e a refletância é de altas freqüências (H)

Filtro de realce no domínio de freqüências
Aumenta-se o contraste se a iluminação (L<1) e a refletância é aumentada (H>1) Na transição pode-se utilizar qualquer curva Geralmente utiliza-se o filtro de Butterworth ou filtro gaussiano a reduction of dynamic range, Increase in contrast

Filtro Homomórfico Trata-se de uma abordagem que busca operar sobre as componentes de iluminação e reflectância separadamente A imagem é o produto da iluminação i (x,y) e da reflectância r (x,y) i (x,y): iluminação  baixas freqüencias r (x,y): reflectância  altas freqüencias f (x,y)= i (x,y).r (x,y)

Filtro Homomórfico O filtro homomórfico visa a separar as duas componentes Oferece uma forma de operar sobre esses componentes separadamente. Assim, os efeitos da iluminação ficam associados às baixas freqüências e os da reflectância às altas freqüências É utilizado para remover efeitos de sombra (devido a iluminação desigual) – reduz a escala dinâmica do brilho e realça o contraste Amplifica as altas freqüencias Atenua as baixas freqüências

Filtro Homomórfico A transformada de Fourier da multiplicação de f(x,y)= i (x,y).r (x,y) não é séparavel Para trabalhar independamente com as duas componentes é necessária utilizar uma transformada logarítmica Pois TF[i (x,y).r (x,y) ] TF[i (x,y).]. TF[r (x,y)] e (x,y)=ln[f (x,y) ]= ln[i (x,y) ]+ln[r (x,y) ] E (u,v)=Iln (u,v) +Rln (u,v)

Filtro Homomórfico - passo a passo
Faça Aplique a TF: Aplique Aplique a FTinv: ou onde H (u,v)

Filtro Homomórfico - passo a passo
Faça a parte exponencial Como Então

Filtro Homomórfico

Filtro Homomórfico Realce por filtro homomórfico
reduz a escala dinâmica do brilho e realça o contraste

Processamento de Imagens e Computação Gráfica

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Processamento de Imagens e Computação Gráfica"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback

Login

Autorizar-se através da rede social:

Processamento de Imagens e Computação Gráfica

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Processamento de Imagens e Computação Gráfica"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback