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Programação Não-linear Prof. Fernando Augusto Silva Marins 1.

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1 Programação Não-linear Prof. Fernando Augusto Silva Marins 1

2 Programação Não-Linear - PNL De forma geral um problema de PNL tem a seguinte forma: A função objetivo f e uma ou mais de uma das funções nas restrições g i possuem termos não lineares. Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem ser incluídos neste formato. 2

3 Programação Não Linear Aplicações Problemas de Mix de Produtos em que o lucro obtido por produto varia com a quantidade vendida. Problemas de Transporte com custos variáveis de transporte em relação à quantidade enviada. Seleção de Portfolio com Risco 3

4 Considere o Problema de Programação Linear e sua solução gráfica 1 MaxZxx x2x x3xx srx 4.. xx 00 12, x2x2 x1x1 (0;6) (2;6) (0;0) (4;0) (4;3) Soluções Viáveis Programação Linear Solução Gráfica 4

5 Considere o Problema e sua solução gráfica. MaxZxx s.t.x 4 xx 00 12, xx x x 1 Soluções Viáveis (2;6) Programação Não Linear Solução Gráfica 5

6 A solução ótima: –é a mesma do problema linear. –continua na fronteira do conjunto de soluções viáveis. –não é mais um extremo do conjunto de soluções viáveis mas poderia ainda ocorrer em um ponto extremo. –Não existe a simplificação existente em Programação Linear x x 1 Soluções Viáveis (2;6) Programação Não Linear Solução Gráfica 6

7 1 2x2x x3xx srx 4.. xx 00 12, MaxZ=xxxx x2x2 x1x1 (0;6) (2;6) (0;0) (4;0) (4;3) Soluções Viáveis Programação Não Linear Solução Gráfica 7

8 A função objetivo é uma equação quadrática. Programação Não Linear Solução Gráfica 8

9 MaxZ=xxxx = x 1 x 2 Soluções Viáveis Z=907 Z=807 Programação Não Linear Solução Gráfica Ótima 9

10 1 2x2x x3xx srx 4.. xx 00 12, MaxZ=xxxx x2x2 x1x1 (0;6) (2;6) (0;0) (4;0) (4;3) Soluções Viáveis Programação Não Linear Solução Gráfica 10

11 A função objetivo é uma equação quadrática Programação Não Linear Solução Gráfica 11

12 Solução no interior do conjunto de soluções viáveis e não mais na fronteira do conjunto x 1 x 2 Soluções Viáveis xxxx=ZMax Programação Não Linear Solução Gráfica 12

13 Programação Não Linear A solução ótima de PNL, diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer valor do conjunto de soluções viáveis. Isso torna os problemas de PNL muito mais complexos, obrigando os algoritmos de solução a pesquisar todos os valores possíveis. 13

14 Programação Não Linear Excel O Excel utiliza o algoritmo GRG (Generalized Reduced Gradient) para chegar à solução para um dado problema. O algoritmo não garante que a solução encontrada é uma solução global. O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero. Uma boa medida é começar a otimização com valores diferentes de zero para as variáveis de decisão. 14

15 Programação Não Linear Excel Uma maneira prática para tentar minorar o problema de máximos e mínimos locais é começar a otimização de diversos pontos iniciais, gerados aleatoriamente. Se todas as otimizações gerarem o mesmo resultado, você pode ter maior confiança, não a certeza, de ter atingido um ponto global. 15

16 One special class of NLPs knowed by Convex Programming Problems can be solved by algorithms that are guaranteed to converge to the optimal solution. 16

17 The objective is to maximize a concave function or to minimize a convex function. The set of constraints form a convex set. Properties of Convex Programming Problems 17

18 A smooth function (no sharp points, no discontinuities) One global maximum (minimum). A line drawn between any two points on the curve of the function will lie below (above) the curve or on the curve. A One Variable Concave (Convex) Function X A Concave function A convex function X 18

19 An illustration of a two variable convex function 19

20 If a straight line that joins any two points in the set lies within the set, then the set is called a convex set. Convex set Non-convex set Convex Sets 20

21 In a NLP model if all the constraints are of the less than or equal to form G i (X) B. If all the functions G i are convex, the set of constraints forms a convex set. Nonlinear LP and Convex Sets 21

22 Unconstrained Nonlinear Programming One-variable unconstrained problems are demonstrated by the Toshi Camera problem. The inverse relationships between demand for an item and its value (price) are utilized in this problem. 22

23 TOSHI CAMERA Toshi camera of Japan has just developed a new product, the Zoomcam. It is believed that demand for the initial product will be linearly related to the price. 23

24 Unit production cost is estimated to be $50. What is the production quantity that maximizes the total profit from the initial production run? SOLUTION Total profit = Revenue - Production cost F(X) = PX - 50X TOSHI CAMERA 24

25 From the Price / Demand table it can be verified that P = X The Profit function becomes F(X) = ( X)X = 400X -.001X 2 This is a concave function. 400,0000 TOSHI CAMERA 25

26 To obtain an optimal solution (maximum profit), two conditions must be satisfied: –A necessary condition dF/dX = 0 –A sufficient condition d 2 F/dX 2 < 0. The necessary condition is satisfied at: dF/dX = (.001)X = 0; X = 200,000. The sufficient condition is satisfied since d 2 F/dX 2 = The optimal solution: –Produce 200,000 cameras. –The profit is F(200,000) = $40,000,000. TOSHI CAMERA 26

27 If a function is known to be concave or convex at all points, the following condition is both a necessary and sufficient condition for optimality: The point X* gives the maximum value for a concave function, or the minimum value for a convex function, F(X), if at X* dF/dX = 0 Optimal solutions for concave/convex functions with one variable 27

28 –Determining whether or not a multivariate function is concave or convex requires analysis of the second derivatives of the function. –A point X* is optimal for a concave (convex) function if all its partial derivatives are equal to zero at X*. –For example, in the three variable case: Optimal solutions for concave/convex functions with more than one variable 28

29 Constrained Nonlinear Programming Problems – one variable The feasible region for a one variable problem is a segment on a straight line (X a or X b). When the objective function is nonlinear the optimal solution must not be at an extreme point. 29

30 TOSHI CAMERA - revisited Toshi Camera needs to determine the optimal production level from among the following three alternatives: 150,000 X 300,000 50,000 X 175, ,000 X 350,000 30

31 400 0 X 250,000 X 350,000 X* = 250, Maximize F(X) = 400X -.001X 2 X 150,000 X 300, X 50,000 X 175, X*=200,000 X* = 175,000 The objective function does not change: TOSHI CAMERA – solution 31

32 Constrained Nonlinear Programming Problems – n variables, m contraints Let us define Y 1, Y 2, …,Y m as the instantaneous improvement in the value of F for one unit increase in B 1, B 2, …B m respectively. 32 Variáveis Duais ou Preços Sombra

33 This is a set of necessary conditions for optimality of most nonlinear problems. If the problem is convex, the K-T-K conditions are also sufficient for a point X* to be optimal. S 1, S 2, …,S m are defined as the slack variables in each constraint. Kuhn-Tucker-Karush optimality conditions 33

34 PBI INDUSTRIES PBI wants to determine an optimal production schedule for its two CD players during the month of April. Data –Unit production cost for the portable CD player = $50. –Unit production cost for the deluxe table player = $90. –There is additional intermix cost of $0.01(the number of portable CDs)(the number of deluxe CDs). 34

35 Forecasts indicate that unit selling price for each CD player is related to the number of units sold as follows: –Portable CD player unit price = X 1 –Deluxe CD player unit price = X 2 PBI INDUSTRIES 35

36 Resource usage –Each portable CD player uses 1 unit of a particular electrical component, and.1 labor hour. –Each deluxe CD player uses 2 units of the electrical component, and.3 labor hour. Resource availability –10,000 units of the electrical component units; –1,500 labor hours. PBI INDUSTRIES 36

37 PBI INDUSTRIES – SOLUTION Decision variables X1 - the number of portable CD players to produce X2 - the number of deluxe CD players to produce The model Production cannot be negative Resource constraints 37

38 For a point X 1, X 2 to be optimal, the K-T-K conditions require that: Y 1 S 1 = 0; Y 2 S 2 = 0; Y 3 S 3 = 0; Y 4 S 4 = 0, and PBI INDUSTRIES – SOLUTION 38

39 Finding an optimal production plan. –Assume X 1 >0 and X 2 >0. The assumption implies S 3 >0 and S 4 >0. Thus, Y 3 = 0 and Y 4 = 0. –Add the assumption that S 1 = 0 and S 2 = 0. From the first two constraints we have X 1 = 0 and X 2 = X 1 = 0 A contradiction X 1 >0 AS A RESULT THE SECOND ASSUMPTION CANNOT BE TRUE PBI INDUSTRIES – SOLUTION 39

40 –Change the second assumption. Assume that S 1 = 0 and S 2 > 0. As before, from the first assumption S 3 > 0 and S 4 > 0. Thus, Y 3 = 0 and Y 4 = 0. From the second assumption Y 2 = 0. Substituting the values of all the Ys in the partial derivative equations we get the following two equations: -.02 X X = Y X X = 2Y1 Also, since S 1 = 0 (by the second assumption) X 1 + 2X 2 = 10,000 Solving the set of three equations in three unknowns we get: PBI INDUSTRIES – SOLUTION 40

41 X 1 = 1,000, X 2 = 4,500, Y 1 = 35 –This solution is a feasible point (check the constraints). X 1 and X 2 are positive. 1X 1 + 2X 2 <= 10,000 [ (4500) = 10,000].1X 1 +.3X 2 <= 1,500 [.1(1000) +.3(4500) = 1450] –This problem represents a convex program since It can be shown that the objective function F is concave. All the constraints are linear, thus, form a convex set. The K-T-K conditions yielded an optimal solution PBI INDUSTRIES – SOLUTION 41

42 PBI INDUSTRIES – Excel SOLUTION 42

43 Programação Não Linear Controle de Estoque Um dos modelos mais simples de controle de estoque é conhecido como Modelo do Lote Econômico. Esse tipo de modelo assume as seguintes hipóteses –A demanda (ou uso) do produto a ser pedido é praticamente constante durante o ano. –Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez no exato instante em que este chegar a zero. 43

44 Programação Não Linear Controle de Estoque Determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado os seguintes custos: –Manutenção de Estoque – Custo por se manter o capital no estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios financeiros para a empresa. –Custo do Pedido – Associado a trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto. –Custo de Falta – Associado a perdas que venham a decorrer da interrupção da produção por falta do produto. 44

45 Demanda Anual =100 Lote=25,Pedido= 4 Estoque Médio = 12, meses 25 12,5 25 Demanda Anual =100 Lote=50, Pedidos = 2 Estoque Médio = meses 50 Programação Não Linear Controle de Estoque 45

46 Programação Não Linear Controle de Estoque Constante Variável de Decisão Q – Quantidade por Pedido Função Objetivo = Onde: D = Demanda Anual do Produto C = Custo Unitário do Produto S = Custo Unitário de Fazer o Pedido C m = Custo unitário de manutenção em estoque por ano 46

47 Caso LCL Computadores A LCL Computadores deseja diminuir o seu estoque de mainboards. Sabendo-se que o custo unitário da mainboard é de R$50,00, o custo anual unitário de manutenção de estoque é de R$20,00 e o custo unitário do pedido é de R$10,00, encontre o lote econômico para atender a uma demanda anual de 1000 mainboards. 47

48 Caso LCL Computadores 48

49 Caso LCL Computadores 49

50 Caso LCL Computadores 50

51 Caso LCL Computadores Na solução apresentada do lote econômico, a quantidade de pedidos por ano é fracionário, já que Isso não representa um problema 51

52 PNL - Problemas de Localização Um problema muito usual na área de negócios é o de localização de Fábricas, Armazéns, Centros de distribuição e torres de transmissão telefônica. Nesses problemas deve-se Minimizar a distância total entre os centros consumidores e o centro de distribuição, reduzindo assim teoricamente o custo de transporte. Para tal, o usual é sobre um mapa colocar-se um eixo cartesiano e determinar a posição dos centro consumidores em relação a uma origem aleatória. 52

53 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Localidade XY Nova Iguaçu -510 Queimados 21 Duque de Caxias 105 O Gerente de Projetos da LCL Telecom, tem que localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baixada Fluminense. Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localizações relativas abaixo, determine o melhor posicionamento para a torre. 53

54 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Nova Iguaçu (-5,10) Queimados (2,1) Duque de Caxias (10,5) X Y 54

55 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Variáveis de Decisão –X – Coordenada no eixo X da torre de transmissão –Y – Coordenada no eixo Y da torre de transmissão Função Objetivo 55

56 Caso LCL Telefonia Celular S.A. 10)()( )()( )()( YyXx YyXx YyXx Restrições de Distância 56

57 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Modelo no Excel =SOMA(D2:D4) 57

58 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Parametrização 58

59 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Solução 59


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