Técnicas de Previsão de Reservas IBNR

Apresentação em tema: "Técnicas de Previsão de Reservas IBNR"— Transcrição da apresentação:

1 Técnicas de Previsão de Reservas IBNR
Rodrigo Simões Atherino Depto. de Engenharia Elétrica/IAPUC PUC-Rio Funenseg, 19 de Setembro de 2007

2 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

3 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

4 Introdução Objetivo Apresentar de forma introdutória a evolução da modelagem estatística no contexto de Reservas IBNR; Descrever algumas destas técnicas; Mostrar resultados provenientes de tais técnicas. Ref: - Taylor, Greg (2004). “Loss Reserving: Past, Present and Future”, Research Paper 109, Centre of Actuarial Studies, The University of Melbourne. - Taylor, Greg (2000). Loss Reserving: an Actuarial Perspective, Kluwer Academic Publishers. - England, P.D.; Verrall, R.J.(2002). “Stochastic Claims Reserving in General Insurance”, British Actuarial Journey, 8,

5 Introdução Necessidade de reservas IBNR (Incurred But Not Reported) -
Atraso entre a ocorrência do sinistro e sua notificação ao segurador Atraso entre a notificação e a finalização do pagamento referente ao sinistro Reaberturas ocorrência aviso 1o pagamento - + T-1 T T+2 T+3 ocorrência aviso 1o pagamento - + T-1 T-2 T T+3

6 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

7 Notação Utilizada Montante pago ou incorrido referente ao ano de origem i e ano de desenvolvimento j. Montante acumulado pago ou incorrido referente ao ano de origem i e ano de desenvolvimento j. i 1 2 3 ... I C1,1 C1,2 C1,3 C1,I C2,1 C2,2 C2,I-1 C3,1 . CI-1,1 CI,1 i 1 2 3 ... I D1,1 D1,2 D1,3 D1,I D2,1 D2,2 D2,I-1 D3,1 . DI-1,1 DI,1 Triângulo de Runoff incremental Triângulo de Runoff acumulado

8 Formato Runoff dos dados
Sentido “Ano de origem” ou “Ano de acidente” Ano de origem Desenvolvimento j i 1 2 3 ... I C1,1 C1,2 C1,3 C1,I C2,1 C2,2 C2,I-1 C3,1 . CI-1,1 CI,1

9 Formato Runoff dos dados
Sentido “Ano de desenvolvimento” Ano de origem Desenvolvimento j i 1 2 3 ... I C1,1 C1,2 C1,3 C1,I C2,1 C2,2 C2,I-1 C3,1 . CI-1,1 CI,1

10 Formato Runoff dos dados
Sentido “Ano de calendário” Ano de origem Desenvolvimento j i 1 2 3 ... I C1,1 C1,2 C1,3 C1,I C2,1 C2,2 C2,I-1 C3,1 . CI-1,1 CI,1 t = i + j - 1

11 Formato Runoff dos dados
Objetivo: completar o triângulo inf. Ano de origem Desenvolvimento j i 1 2 3 ... I D1,1 D1,2 D1,3 D1,I D2,1 D2,2 D2,I-1 D3,1 . DI-1,1 DI,1

12 Formato Runoff dos dados
Objetivo: completar o triângulo inf. Incremental Acumulado

13 Formato Runoff dos dados
Objetivo: completar o triângulo inf. Para se prever valores onde j > I, é necessário uma parametrização adicional.

14 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

15 Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Primeira classificação Ref: Taylor, G. C. (1986). Claim Reserving in Non-life Insurance. North-Holland, Amsterdam. Re-classificação Ref: Taylor, G. C. (2004). “Loss Reserving: Past, Present and Future”. Research Paper 109, Centre of Actuarial Studies, The University of Melbourne, Australia. Estocasticidade Determinístico vs. Estocástico Dinâmica Estático vs. Dinâmico Estrutura do Modelo Fenomenológico vs. Micro-estrutural Estimação dos Parâmetros Heurística vs. Ótima

16 Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Estocasticidade Determinístico vs. Estocástico Para um modelo estocástico, as observações têm a forma: onde j i parâmetro erro estocástico

17 Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Dinâmica Um modelo dinâmico possui parâmetros que evoluem no tempo. Exemplo: no qual Por exemplo: vetor de parâmetros que evolui como: perturbação estocástica

18 Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Estrutura do Modelo Modelos Fenomenológicos Estrutura não leva em conta os aspectos do processo de sinistros que possuem um significado direto Modelos Micro-estruturais Preocupação com os aspectos “finos” da estrutura do processo de sinistros Não é uma classificação dicotômica Espectro das estruturas de modelo Fenomenológico Micro-estrutural

19 Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Estimação dos Parâmetros Heurística Típica em modelos não-estocásticos Ótima Parâmetros estimados por maximização (ou minimização) de algum critério estatístico (ex: verossimilhança)

20 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

21 Evolução Modelos em Espaço de Estado De Jong & Zenhnwirth (1983)
Dinâmico Estocástico Fenomenológico Ótimo Modelos em Espaço de Estado De Jong & Zenhnwirth (1983) Estático Estocástico Fenomenológico Ótimo Modelos Log-normais Renshaw, A.E. (1989) Christofides (1991) Estático Estocástico Fenomenológico Heurístico Chain Ladder estocástico Mack,T. (1993) Estático Determinístico Fenomenológico Heurístico Chain Ladder convencional

22 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

23 Método Chain Ladder Procedimento
Estimar os (I -1) “Development Factors”. Preencher o triângulo inferior. Calcular a Reserva.

24 S S Método Chain Ladder Obtenção dos lj (“Development Factors”) B A
Ano de origem Desenvolvimento j i 1 2 3 ... I D1,1 D1,2 D1,3 D1,I D2,1 D2,2 D2,I-1 D3,1 . DI-1,2 DI,1 B A S S l2= A/B

25 Método Chain Ladder “Development Factors” Ref: HART, D.;BUCHANAN, R.; HOWE, B. “The Actuarial Practice of General Insurance”, Insitute of Actuaries of Australia, 1996.

26 Método Chain Ladder Total de pagamentos no ano Total Reservado

27 Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack (Distribution Free) Premissas básicas Independência entre anos de origem Ref: Mack, T (1993). “Distribution-Free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates”, ASTIN Bulletin, 23, Mack, T (1994). “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15, Mack, T (1994). “Measuring the Variability of Chain-Ladder Reserve Estimates”. Casualty Actuarial Society, Spring Forum.

28 Chain Ladder Estocástico
Procedimento Estimar os “Development Factors” Estimar os parâmetros Preencher o triângulo inferior Calcular as Reservas por “ano de acidente” e seus respectivos erros médios quadráticos. Por fim, calcular a Reserva Total e seu respectivo erro médio quadrático.

29 Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack

30 Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack Mesmos DF obtidos pelo método Chain Ladder

31 Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack - Reserva

32 Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack - Reserva

33 Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack Reserva é idêntica à do Método Chain Ladder Por falta de observações na última coluna,

34 Modelo Log-normal Baseado em MLG (Modelos Lineares Generalizados)
Etapas Ref: McCullagh, P. & Nelder, J.A. (1989). Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC Dobson, A. (2002). An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC Seleção do Modelo Estimação dos Parâmetros Predição

35 Modelo Log-normal Estrutura de um ML Observação Preditor Linear

36 Modelo Log-normal Estrutura de um MLG Observação Função de ligação
(link function) Preditor Linear

37 Modelo Log-normal Modelo Básico
Ref: Renhaw, A.E. (1989). “Chain Ladder and Interactive Modelling”, Journal of the Institute of Acuaries, 116, Christofides, S. (1990). “Regression Models Based on Logincremental Payments”, Claims Reserving Manual, 2, Institute of Actuaries, London. Kremer,E. (1982). “IBNR-Claims and the Two-way Model of ANOVA”, Scandinavian Actuarial Journal,

38 Modelo Log-normal Modelo Básico

39 Modelo Log-normal Modelo Básico - Reserva

40 Modelo Log-normal Modelo Básico - Reserva

41 Modelo Log-normal Problemas do Modelo Básico
Somente admite valores positivos Super parametrizado Não há correção para o caso de correlação serial Ref: De Jong, P. (2006). “Forecasting Runoff Triangles”, North American Actuarial Journal, 10, 2.

42 Modelo Log-normal Modelo de Renshaw Curva de Hoerl onde e

43 Modelo Log-normal Modelo de Renshaw Curva de Hoerl
Menor número de parâmetros Pode-se extrapolar a estimação de para

44 Modelos Dinâmicos Modelo de De Jong & Zenhwirth
Modelo em Espaço de Estado Curva de Hoerl Evolução temporal das observações: sentido “ano de calendário” Filtro de Kalman Ref: De Jong & Zehnwirth.,”Claims Reserving, State-space Models and the Kalman Filter”, Journal of the Institute of Actuaries, 110: ,1983. Atherino, R. & Fernandes, C., “Um Modelo em Espaço de Estado para Estimação de Reservas IBNR”, Revista Brasileira de Risco e Seguro, 3, 5:

45 Modelos Dinâmicos Forma em Espaço de Estado Eq. das observações
Eq. do estado

46 Modelos Dinâmicos Formação dos vetores y y1 y2 Sentido do filtro y3
Ano de origem Desenvolvimento j i 1 2 3 ... I Y1,1 Y1,2 Y1,3 Y1,I Y2,1 Y2,2 Y2,I-1 Y3,1 . YI-1,2 YI,1 y1 y2 Sentido do filtro y3 t = i + j - 1 yI

47 Modelos Dinâmicos Equação das observações ou

48 Modelos Dinâmicos Equação das observações ou
Abordagem De Jong & Zenhwirth (1983) onde

49 Modelos Dinâmicos Equação das observações

50 Modelos Dinâmicos Equação de Estado

51 Modelos Dinâmicos Filtro de Kalman
“Procedimento recursivo de obtenção do estimador ótimo do vetor de estado no instante t, condicionado a toda informação até este instante” ref: Harvey, A. (1989) Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press.

52 Modelos Dinâmicos Filtro de Kalman
Previsão do estado e observação SEM nova informação Atualização da previsão incorporando-se nova informação Cálculo da matriz de ganho

53 Modelos Dinâmicos Filtro de Kalman Substituição
Previsão do estado e observação SEM nova informação Substituição Atualização da previsão incorporando-se nova informação Cálculo da matriz de ganho

54 Modelos Dinâmicos Filtro de Kalman
Previsão do estado e observação SEM nova informação Cálculo da matriz de ganho

55 Modelos Dinâmicos Previsão da Reserva onde

56 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

57 Aplicações Dados AFG Ref: MACK, T. “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15: ,1994. Ano Desenvolvimento d w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5012 3257 2638 898 1734 2642 1828 599 54 172 106 4179 1111 5270 3116 1817 -103 673 535 3410 5582 4881 2268 2594 3479 649 603 5655 5900 4211 5500 2159 2658 984 1092 8473 6271 6333 3786 225 1513 4932 5257 1233 2917 557 3463 6926 1368 1351 5596 6165 3133 2262 10 2063 Unidade: milhar de dólar

58 Aplicações Dados AFG Ref: MACK, T. “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15: ,1994. Ano Desenvolvimento d w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5012 3257 2638 898 1734 2642 1828 599 54 172 106 4179 1111 5270 3116 1817 -103 673 535 3410 5582 4881 2268 2594 3479 649 603 5655 5900 4211 5500 2159 2658 984 1092 8473 6271 6333 3786 225 1513 4932 5257 1233 2917 557 3463 6926 1368 1351 5596 6165 3133 2262 10 2063 Valor negativo será excluído no modelo log-normal Unidade: milhar de dólar

59 Aplicações Método Chain Ladder e de Mack Development factors &  2
Defasagem d 0:1 1:2 2:3 3:4 4:5 5:6 6:7 7:8 8:9 2,999 1,624 1,271 1,172 1,113 1,042 1,033 1,017 1,009 1108.5 691.4 61.2 119.4 40.8 1.3 7.9

60 Aplicações Método Log-normal Parâmetro Erro padrão Constante 7.1820
0.4200 Alfa 2 0.4263 Alfa 3 0.3180 0.4283 Alfa 4 0.5390 0.4489 Alfa 5 0.1510 0.4737 Alfa 6 0.0780 0.5045 Alfa 7 0.5464 Alfa 8 0.3000 0.6086 Alfa 9 0.1520 0.7155 Alfa 10 0.4490 0.9649 Beta 2 1.1040 0.4095 Beta 3 1.0120 Beta 4 0.5380 0.4487 Beta 5 0.5320 0.4731 Beta 6 0.0070 0.5040 Beta 7 0.6077 Beta 8 0.6083 Beta 9 0.7159 Beta 10 0.9650 Dispersão 0.7545 Método Log-normal

61 Aplicações Comportamento de cada linha do triângulo

62 Aplicações “Função básica” ou “função de base”

63 Aplicações Modelo Dinâmico Parâmetro b(1) 5012.0 b(2) 4145.8 b(3)
4163.1 b(4) 4329.2 b(5) 4243.5 b(6) 3706.8 b(7) 3447.1 b(8) 3400.6 b(9) 3081.9 b(10) 2958.4

64 Aplicações Reservas Estimadas Unidade: milhar de dólar Dados AFG
Ano de Origem Mack % LogNormal E.E. 1 2 154 134% 357 210% 460 - 3 617 101% 1020 139% 1148 4 1636 46% 3064 107% 2238 5 2747 53% 3753 94% 3673 6 3649 55% 6010 87% 5033 7 5435 41% 7742 86% 7012 8 10907 49% 18806 9953 9 10650 59% 25367 98% 12421 10 16339 150% 56475 137% 15511 IBNR 52135 52% 122595 70% 57472 43% Unidade: milhar de dólar

65 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

66 Considerações Finais Não existe um modelo estatístico estritamente melhor em todas as situações. O triângulo, em geral, é composto de poucos dados. Extensões: modelos “micro-estruturais” com ou sem agregação (triângulo). Ref: Taylor, G. & McGuire, G. (2004). “Loss reserving with GLMs: a case study”, Proceedings of the Spring 2004 Meeting of the Casualty Actuarial Society.