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Técnicas de Previsão de Reservas IBNR Rodrigo Simões Atherino Depto. de Engenharia Elétrica/IAPUC PUC-Rio Funenseg, 19 de Setembro de 2007.

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1 Técnicas de Previsão de Reservas IBNR Rodrigo Simões Atherino Depto. de Engenharia Elétrica/IAPUC PUC-Rio Funenseg, 19 de Setembro de 2007

2 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

3 Estruturação Introdução Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

4 Introdução Objetivo Apresentar de forma introdutória a evolução da modelagem estatística no contexto de Reservas IBNR; Descrever algumas destas técnicas; Mostrar resultados provenientes de tais técnicas. Ref: - Taylor, Greg (2004). Loss Reserving: Past, Present and Future, Research Paper 109, Centre of Actuarial Studies, The University of Melbourne. - Taylor, Greg (2000). Loss Reserving: an Actuarial Perspective, Kluwer Academic Publishers. - England, P.D.; Verrall, R.J.(2002). Stochastic Claims Reserving in General Insurance, British Actuarial Journey, 8,

5 Introdução Necessidade de reservas IBNR (Incurred But Not Reported) Atraso entre a ocorrência do sinistro e sua notificação ao segurador Atraso entre a notificação e a finalização do pagamento referente ao sinistro Reaberturas T T+ 2 T aviso T- 1 ocorrência T- 2 T T aviso T- 1 ocorrência 1 o pagamento

6 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

7 Montante pago ou incorrido referente ao ano de origem i e ano de desenvolvimento j. Notação Utilizada Montante acumulado pago ou incorrido referente ao ano de origem i e ano de desenvolvimento j. i123...I 1C 1,1 C 1,2 C 1,3...C 1,I 2C 2,1 C 2,2...C 2,I-1 3C 3, C I-1,1 IC I,1 i123...I 1D 1,1 D 1,2 D 1,3...D 1,I 2D 2,1 D 2,2...D 2,I-1 3D 3, D I-1,1 ID I,1 Triângulo de Runoff incremental Triângulo de Runoff acumulado

8 Formato Runoff dos dados Sentido Ano de origem ou Ano de acidente Ano de origem Desenvolvimento j i123...I 1C 1,1 C 1,2 C 1,3...C 1,I 2C 2,1 C 2,2...C 2,I-1 3C 3, C I-1,1 IC I,1

9 Formato Runoff dos dados Sentido Ano de desenvolvimento Ano de origem Desenvolvimento j i123...I 1C 1,1 C 1,2 C 1,3...C 1,I 2C 2,1 C 2,2...C 2,I-1 3C 3, C I-1,1 IC I,1

10 Formato Runoff dos dados Sentido Ano de calendário Ano de origem Desenvolvimento j i123...I 1C 1,1 C 1,2 C 1,3...C 1,I 2C 2,1 C 2,2...C 2,I-1 3C 3, C I-1,1 IC I,1 t = i + j - 1

11 Formato Runoff dos dados Objetivo: completar o triângulo inf. Ano de origem Desenvolvimento j i123...I 1D 1,1 D 1,2 D 1,3...D 1,I 2D 2,1 D 2,2...D 2,I-1 3D 3, D I-1,1 ID I,1

12 Formato Runoff dos dados Objetivo: completar o triângulo inf. Incremental Acumulado

13 Formato Runoff dos dados Objetivo: completar o triângulo inf. Para se prever valores onde j > I, é necessário uma parametrização adicional.

14 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão Métodos de Previsão Classificação Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

15 Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving Primeira classificação Ref: Taylor, G. C. (1986). Claim Reserving in Non-life Insurance. North-Holland, Amsterdam. Re-classificação Ref: Taylor, G. C. (2004). Loss Reserving: Past, Present and Future. Research Paper 109, Centre of Actuarial Studies, The University of Melbourne, Australia. Estocasticidade Determinístico vs. Estocástico Dinâmica Estático vs. Dinâmico Estrutura do Modelo Fenomenológico vs. Micro-estrutural Estimação dos Parâmetros Heurística vs. Ótima

16 Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving Estocasticidade Determinístico vs. Estocástico Para um modelo estocástico, as observações têm a forma: onde j i parâmetro erro estocástico

17 Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving Dinâmica Um modelo dinâmico possui parâmetros que evoluem no tempo. Exemplo: no qual vetor de parâmetros que evolui como: perturbação estocástica Por exemplo:

18 Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving Estrutura do Modelo Modelos Fenomenológicos Estrutura não leva em conta os aspectos do processo de sinistros que possuem um significado direto Modelos Micro-estruturais Preocupação com os aspectos finos da estrutura do processo de sinistros Não é uma classificação dicotômica Espectro das estruturas de modelo FenomenológicoMicro-estrutural

19 Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving Estimação dos Parâmetros Heurística Típica em modelos não-estocásticos Ótima Parâmetros estimados por maximização (ou minimização) de algum critério estatístico (ex: verossimilhança)

20 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão Métodos de Previsão Classificação Evolução Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais

21 Evolução Estático Determinístico Fenomenológico Heurístico Estático Determinístico Fenomenológico Heurístico Estático Estocástico Fenomenológico Heurístico Estático Estocástico Fenomenológico Heurístico Estático Estocástico Fenomenológico Ótimo Estático Estocástico Fenomenológico Ótimo Dinâmico Estocástico Fenomenológico Ótimo Dinâmico Estocástico Fenomenológico Ótimo Chain Ladder convencional Chain Ladder estocástico Mack,T. (1993) Modelos Log-normais Renshaw, A.E. (1989) Christofides (1991) Modelos em Espaço de Estado De Jong & Zenhnwirth (1983)

22 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão Métodos de Previsão Classificação Evolução Descrição Descrição Aplicações Considerações Finais

23 Método Chain Ladder Procedimento Estimar os (I -1) Development Factors. Preencher o triângulo inferior. Calcular a Reserva.

24 Obtenção dos j (Development Factors) Ano de origem Desenvolvimento j i123...I 1D 1,1 D 1,2 D 1,3...D 1,I 2D 2,1 D 2,2...D 2,I-1 3D 3, D I-1,2 ID I,1 2 = A/B AB Método Chain Ladder

25 Development Factors Ref: HART, D.;BUCHANAN, R.; HOWE, B. The Actuarial Practice of General Insurance, Insitute of Actuaries of Australia, 1996.

26 Método Chain Ladder Total de pagamentos no ano Total Reservado

27 Chain Ladder Estocástico Modelo de Mack (Distribution Free) Premissas básicas Independência entre anos de origem Ref: Mack, T (1993). Distribution-Free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates, ASTIN Bulletin, 23, Mack, T (1994). Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?, Insurance: Mathematics and Economics, 15, Mack, T (1994). Measuring the Variability of Chain-Ladder Reserve Estimates. Casualty Actuarial Society, Spring Forum.

28 Chain Ladder Estocástico Procedimento Estimar os Development Factors Estimar os parâmetros Preencher o triângulo inferior Calcular as Reservas por ano de acidente e seus respectivos erros médios quadráticos. Por fim, calcular a Reserva Total e seu respectivo erro médio quadrático.

29 Chain Ladder Estocástico Modelo de Mack

30 Chain Ladder Estocástico Modelo de Mack Mesmos DF obtidos pelo método Chain Ladder

31 Chain Ladder Estocástico Modelo de Mack - Reserva

32 Chain Ladder Estocástico Modelo de Mack - Reserva

33 Chain Ladder Estocástico Modelo de Mack Reserva é idêntica à do Método Chain Ladder Por falta de observações na última coluna,

34 Modelo Log-normal Baseado em MLG (Modelos Lineares Generalizados) Etapas Seleção do Modelo Estimação dos Parâmetros Estimação dos Parâmetros Predição Ref: McCullagh, P. & Nelder, J.A. (1989). Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC Dobson, A. (2002). An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC

35 Modelo Log-normal Estrutura de um ML Preditor Linear Observação

36 Modelo Log-normal Estrutura de um MLG Preditor Linear Observação Função de ligação (link function)

37 Modelo Log-normal Modelo Básico Ref: Renhaw, A.E. (1989). Chain Ladder and Interactive Modelling, Journal of the Institute of Acuaries, 116, Christofides, S. (1990). Regression Models Based on Logincremental Payments, Claims Reserving Manual, 2, Institute of Actuaries, London. Kremer,E. (1982). IBNR-Claims and the Two-way Model of ANOVA, Scandinavian Actuarial Journal,

38 Modelo Log-normal Modelo Básico

39 Modelo Log-normal Modelo Básico - Reserva

40 Modelo Log-normal Modelo Básico - Reserva

41 Modelo Log-normal Problemas do Modelo Básico Somente admite valores positivos Super parametrizado Não há correção para o caso de correlação serial Ref: De Jong, P. (2006). Forecasting Runoff Triangles, North American Actuarial Journal, 10, 2.

42 Modelo Log-normal Modelo de Renshaw Curva de Hoerl onde e

43 Modelo Log-normal Modelo de Renshaw Curva de Hoerl Menor número de parâmetros Pode-se extrapolar a estimação de para

44 Modelos Dinâmicos Modelo de De Jong & Zenhwirth Modelo em Espaço de Estado Curva de Hoerl Evolução temporal das observações: sentido ano de calendário Filtro de Kalman Ref: De Jong & Zehnwirth.,Claims Reserving, State-space Models and the Kalman Filter, Journal of the Institute of Actuaries, 110: ,1983. Atherino, R. & Fernandes, C., Um Modelo em Espaço de Estado para Estimação de Reservas IBNR, Revista Brasileira de Risco e Seguro, 3, 5:

45 Modelos Dinâmicos Forma em Espaço de Estado Eq. das observações Eq. do estado

46 Modelos Dinâmicos Formação dos vetores y Ano de origem Desenvolvimento j i123...I 1Y 1,1 Y 1,2 Y 1,3...Y 1,I 2Y 2,1 Y 2,2...Y 2,I-1 3Y 3, Y I-1,2 IY I,1 t = i + j - 1 yIyI y3y3 y2y2 y1y1 Sentido do filtro

47 Modelos Dinâmicos Equação das observações ou

48 Modelos Dinâmicos Equação das observações ou Abordagem De Jong & Zenhwirth (1983) onde

49 Modelos Dinâmicos Equação das observações

50 Modelos Dinâmicos Equação de Estado

51 Modelos Dinâmicos Filtro de Kalman Procedimento recursivo de obtenção do estimador ótimo do vetor de estado no instante t, condicionado a toda informação até este instante ref: Harvey, A. (1989) Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press.

52 Modelos Dinâmicos Filtro de Kalman Previsão do estado e observação SEM nova informação Cálculo da matriz de ganho Atualização da previsão incorporando-se nova informação

53 Modelos Dinâmicos Filtro de Kalman Previsão do estado e observação SEM nova informação Cálculo da matriz de ganho Atualização da previsão incorporando-se nova informação Substituição

54 Modelos Dinâmicos Filtro de Kalman Previsão do estado e observação SEM nova informação Cálculo da matriz de ganho

55 Modelos Dinâmicos Previsão da Reserva onde

56 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão Classificação Evolução Descrição Aplicações Aplicações Considerações Finais

57 Aplicações Dados AFG Ref: MACK, T. Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?, Insurance: Mathematics and Economics, 15: ,1994. AnoDesenvolvimento d w Unidade: milhar de dólar

58 Aplicações Dados AFG Ref: MACK, T. Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?, Insurance: Mathematics and Economics, 15: ,1994. AnoDesenvolvimento d w Unidade: milhar de dólar Valor negativo será excluído no modelo log-normal

59 Aplicações Método Chain Ladder e de Mack Defasagem d 0:11:22:33:44:55:66:77:88:9 2,9991,6241,2711,1721,1131,0421,0331,0171, Development factors & 2

60 Aplicações Método Log-normal ParâmetroErro padrão Constante Alfa Alfa Alfa Alfa Alfa Alfa Alfa Alfa Alfa Beta Beta Beta Beta Beta Beta Beta Beta Beta Dispersão0.7545

61 Aplicações Comportamento de cada linha do triângulo

62 Aplicações Função básica ou função de base

63 Aplicações Modelo Dinâmico Parâmetro b(1) b(2) b(3) b(4) b(5) b(6) b(7) b(8) b(9) b(10)2958.4

64 Aplicações Reservas Estimadas Dados AFG Ano de Origem Mack%LogNormal%E.E.% %357210% % % % % %375394% %601087% %774286% % % % % % % IBNR % % % Unidade: milhar de dólar

65 Estruturação Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão Classificação Evolução Descrição Aplicações Considerações Finais Considerações Finais

66 Considerações Finais Não existe um modelo estatístico estritamente melhor em todas as situações. O triângulo, em geral, é composto de poucos dados. Extensões: modelos micro-estruturais com ou sem agregação (triângulo). Ref: Taylor, G. & McGuire, G. (2004). Loss reserving with GLMs: a case study, Proceedings of the Spring 2004 Meeting of the Casualty Actuarial Society.


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