Geometria Computacional Prof. Walter Mascarenhas Segundo semestre de 2004 Aula 3.

Apresentação em tema: "Geometria Computacional Prof. Walter Mascarenhas Segundo semestre de 2004 Aula 3."— Transcrição da apresentação:

1 Geometria Computacional Prof. Walter Mascarenhas Segundo semestre de 2004 Aula 3

2 Corolários do dual da triangulação ser árvore Toda triangulação tem n - 2 triângulos. Prova? Todo polígono tem pelo menos duas orelhas. Prova?

3 Toda triangulação tem n-2 triângulos Prova por indução Vale para o triângulo Para o caso n:

4 Aritmética Exata: pode ser lenta e consumir muita memória Ponto flutuante: rápida mas aproximada e pode causar erros sutis.

5 Aritmética de ponto flutuante Experimentando com o epsilon: www.ime.usp.br/~walterfm/cursos/mac0331/2004/float.cpp

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7 Exemplo prático

8 Abacaxis de dois sabores: Algoritmos instáveis. Geram soluções ruins, mesmo para problemas simples. Exemplo: slide anterior. Problemas mal condicionados. O coitado do algoritmo tem pouca chance. Exemplo: raízes duplas. Na prática: é só dar o mouse para o usuário...

9 Há dois tipos de estabilidade: A solução calculada está próxima do valor certo. A solução calculada é o valor certo para um problema aproximado. Muito útil para problemas mal condicionados. Exemplo: Intersecção de retas quase paralelas.

10 Áreas de triângulos www.cs.berkeley.edu/~wkahan/triangle.pdf Trabalho de W. Kahan (medalha Turing, projetista das calculadoras da HP.) Veja também What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages? How JAVA’s Floating Point hurst everyone everywhere. E muitos outros em www.cs.berkeley.edu/~wkahan

11 Cultura Geral http://docs.sun.com/source/806-3568/ncg_goldberg.html What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, por David Goldberg.

12 Álgebra Linear Dois tipos de vetores: posições e deslocamentos.

13 Agora com eixos:

14 Mas se o plano fosse curvo... ele teria um plano tangente (direções) diferente em cada ponto

15 O Produto interno: ângulo

16 Produto interno: projeção

17 Aplicação: distância de ponto a segmento:

18 Analisando as projeções

19 Distâncias:

20 Primeiro algoritmo de triangulação: Idéia básica: Ir removendo orelhas. Custo no passo k: –Achar a orelha dentre n - k (= O(n)) vértices –Para decidir se o vértice v é orelha: Verifique se não é reverso (O(1)) Verifique se há outros vértices no triângulo (n - k - 3) –Custo do passo: (n - k) (n - k - 3) = O(n^2) Total, n - 3 passos => Custo O(n^3)

21 Pergunta: Será que ao remover uma orelha eu não estrago o polígono?