Teoria da Partilha Equilibrada

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1 Teoria da Partilha Equilibrada
Métodos de Divisão Proporcional

2 Teoria da Partilha Equilibrada
Um pouco de história… “No verão de 1787 em Philadelphia, delegados de treze estados encontraram-se para planearem a constituição para a nova nação. Os estados mais pequenos liderados por New Jersey, queriam que todos os estados tivessem o mesmo número de representantes e os estados maiores liderado por Virgínia, exigiam uma forma de representação proporcional. A resolução final de disputa foi: . um senado . uma casa de representantes, onde cada estado obtém um nº de representantes em função do seu nº populacional. Artigo 1, secção 2 e 3 da constituição E.U. Teoria da Partilha Equilibrada

3 Teoria da Partilha Equilibrada
Divisão proporcional É o processo de dividir objectos iguais e indivisíveis por um determinado número de participantes, recebendo cada um partes desiguais consoante uma determinada situação. Teoria da Partilha Equilibrada

4 Teoria da Partilha Equilibrada
Os resultados das eleições autárquicas de 2001 para a Câmara Municipal de Coimbra, estão traduzidos na tabela seguinte, onde num universo de eleitores, existiam 11 mandatos para serem divididos pelos vários partidos, consoante o número de votos atribuídos a cada um. Partidos Votos PSD/PP/PPM 38335 PS 22512 CDU 9611 B.E. 1385 PCTP/MRPP 587 P.H. 260 In Diário Coimbra 17/12/2001 Teoria da Partilha Equilibrada

5 Teoria da Partilha Equilibrada
Calcular a razão entre a população total e o número de mandatos a distribuir de modo a obter o número de votos necessários para conseguir um mandato. Este número é chamado divisor standard. População Total Divisor Standard = # de Mandatos Teoria da Partilha Equilibrada

6 Teoria da Partilha Equilibrada
Fazendo a razão entre o número de votos de cada partido e o Divisor standard iremos obter o número total de mandatos a que cada partido fica habilitado. Este número é chamado quota. População de cada Partido Quota= Divisor Standard Teoria da Partilha Equilibrada

7 Teoria da Partilha Equilibrada

8 Teoria da Partilha Equilibrada
Um método de divisão proporcional que, a cada estado faz corresponder sempre um número de lugares igual à quota máxima ou à quota mínima diz-se que está de acordo com regra da quota. Se no método de partilha, a um estado for dado um número de lugares diferente da quota máxima ou da quota mínima, diz-se que o método viola a regra da quota. Teoria da Partilha Equilibrada

9 Métodos de divisão proporcional
Método de Hamilton Passo 1: Calcular o divisor standard; Passo 2: Para cada estado, calcular a quota; Passo 3: Atribuir a cada estado a sua quota mínima; Passo 4: Dividir os lugares sobrantes (um a um) pelos estados, por ordem decrescente das partes decimais das suas quotas. Teoria da Partilha Equilibrada

10 Coimbra- câmara municipal
Votantes Mandatos Divisor standard = / 11 = (Passo 1) Partidos Votos Quota (Passo2) Quota mínima (Passo3) Parte decimal Votos extra (Passo4) Divisão final (mandatos) PSD/PP/PPM 38335 5.801 5 0.801 1 6 PS 22512 3.406 3 0.406 CDU 9611 1.454 0.454 2 BE 1385 0.209 PCTP/MRPP 587 0.088 PH 260 0.039 TOTAL 72690 11 9 Teoria da Partilha Equilibrada

11 Teoria da Partilha Equilibrada
Resumo da tabela Pelo menos cada partido consegue um número de mandatos igual à sua quota mínima. Alguns partidos podem ter direito a mais um mandato, ficando assim com um número de mandatos igual à sua quota máxima. Um partido nunca fica com um número de mandatos inferior à sua quota mínima ou superior à sua quota máxima. Neste sentido dizemos que o método Hamiltoniano não viola a regra da quota. Teoria da Partilha Equilibrada

12 Teoria da Partilha Equilibrada
Paradoxo de Alabama Um incremento no número total de lugares a serem distribuídos, obriga a que um estado perca um lugar. A descoberta do Paradoxo de Alabama em 1880 foi o beijo de morte do método. Teoria da Partilha Equilibrada

13 Teoria da Partilha Equilibrada
Depois dos sensos de 1880, o chefe dos sensos U.S. concluiu que se a casa dos representantes tivesse 299 lugares para serem distribuídos, Alabama conseguiria 8 lugares, enquanto que se a casa tivesse 300, Alabama conseguiria apenas 7. Estado Quota M=299 Divisão M=299 Quota M=300 Divisão M=300 Alabama 7.64 8 7.671 7 Texas 9.64 9 9.672 10 Illinois 18.64 18 18.70 19 O método hamiltoniano e o paradoxo de Alabama, 1880 Teoria da Partilha Equilibrada

14 Teoria da Partilha Equilibrada
Explicação Incrementando o número de lugares a ser partilhado, a quota de cada estado sobe; Pode mudar a parte decimal de cada uma; Os lugares extra a serem ganhos irão ser distribuídos consoante as novas casas decimais. Teoria da Partilha Equilibrada

15 Teoria da Partilha Equilibrada
Paradoxo da população Um aumento na população de um estado, pode obrigar o estado a perder um lugar. O paradoxo da população foi descoberto por volta de 1900, quando se mostrou que um estado podia perder um lugar na casa dos representantes, devido a um aumento na sua população. Teoria da Partilha Equilibrada

16 Teoria da Partilha Equilibrada
No ano 2525, cinco planetas criaram uma federação intergaláctica, onde existiam 50 lugares para serem ocupados por delegados dos 5 planetas. Federação intergaláctica: divisão de 2525 (divisor standard = 900 / 50 = 18) Planeta População (biliões) Quota (população/18) Quota mínima Parte decimal Lugares extra Divisão Final Alanos 150 8.3 8 0.3 Betta 78 4.3 4 Conii 173 9.61 9 0.61 1 10 Dugos 204 11.3 11 Ellisium 295 16.38 16 0.38 17 TOTAL 900 50 48 2 Teoria da Partilha Equilibrada

17 Teoria da Partilha Equilibrada
Dez anos mais tarde... Federação intergaláctica: divisão de 2535 (divisor standard = 909 / 50 = 18.18) Planeta População (biliões) Quota (população/18.18) Quota mínima Parte decimal Lugares extra Divisão Final Alanos 150 8.25 8 0.25 Betta 78 4.29 4 0.29 1 5 Conii 181 9.96 9 0.96 10 Dugos 204 11.22 11 0.22 Ellisium 296 16.28 16 0.28 TOTAL 909 50 48 2 _ Ellisium, cuja população cresceu 1 bilião, perdeu um lugar para Betta cuja população se manteve. !?! Teoria da Partilha Equilibrada

18 Paradoxo do novo estado
Quando um estado novo, com direito a um determinado número de lugares na casa dos representantes (baseado na sua população), adere ao congresso, depois de recalculada a distribuição, o número de lugares por estado pode ser alterado. O paradoxo do novo estado foi descoberto em 1907 quando Oklahoma se tornou um estado. Com a entrada do novo estado, era esperado manter o número de lugares ocupados pelos outros estados. No entanto, quando a partilha foi recalculada, Maine ganhou um lugar e New York perdeu um lugar. Teoria da Partilha Equilibrada

19 Teoria da Partilha Equilibrada
Num determinado distrito, existem 100 psicólogos para serem distribuídos por duas escolas A e B, com respectivamente 1045 e 8950 alunos, usando o método de Hamilton Alunos Divisor standard = / 100 = 100 Escola Alunos Quota Quota mínima Parte decimal Divisão final A 1045 10.45 10 0.45 B 8955 89.55 89 0.55 90 TOTAL 10000 100 99 1 Suponhamos que, nesse mesmo distrito, abre uma nova escola C (525 alunos) com direito a 5 psicólogos. Teoria da Partilha Equilibrada

20 Teoria da Partilha Equilibrada
Recalculando a partilha… Alunos Divisor standard = / 105 = Escola Alunos Quota Quota mínima Parte decimal Divisão final A 1045 10.425 10 (1) 11 B 8955 89.337 89 0.337 C 525 5.239 5 0.239 TOTAL 10525 105 104 1 … verificamos que a escola B perde um psicólogo para a escola A Teoria da Partilha Equilibrada

21 Teoria da Partilha Equilibrada
Conclusão O método hamiltoniano deixa margem para dúvidas e, apesar de ainda ser utilizado em países como Costa Rica e Suécia, está realmente longe de ser um método correcto de divisão proporcional. Teoria da Partilha Equilibrada

22 Teoria da Partilha Equilibrada
Para introduzir o método de Jefferson, tivemos que eliminar o passo 3 do método de Hamilton, de modo que depois de, dividirmos o número de habitantes por defeito, terminássemos sem lugares excedentes. Necessitamos de usar um divisor, diferente do divisor standard, para obtermos novas quotas. Obtemos este novo divisor por erro e tentativa, de modo que, a soma das novas quotas arredondadas por defeito, nos dê o número exacto de lugares a serem divididos. A este novo divisor chamamos Divisor Modificado e às novas quotas, Quotas Mínimas Modificadas. Teoria da Partilha Equilibrada

23 Teoria da Partilha Equilibrada
MÉTODO DE JEFFERSON Passo 1: Encontrar o divisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas por defeito somem o número exacto de lugares a serem distribuídos. Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota mínima modificada. Teoria da Partilha Equilibrada

24 Vejamos o seguinte exemplo
Estado População Quota Quota mínima A 1,646,000 32.92 32 B 6,936,000 138.72 138 C 154,000 3.08 3 D 2,091,000 41.82 41 E 685,000 13.70 13 F 988,000 19.76 19 Total 12,500,000 250.00 246 Tabela 1: República do Parador Cálculos usando o divisor standard = 50,000 (12,500,000/250) Teoria da Partilha Equilibrada

25 Quota Mínima Modificada
Estado População Quota Quota Modificada Quota Mínima Modificada A 1,646,000 32.92 33.25 33 B 6,936,000 138.72 140.12 140 C 154,000 3.08 3.11 3 D 2,091,000 41.82 42.24 42 E 685,000 13.70 13.84 13 F 988,000 19.76 19.96 19 Total 12,500,000 250 252.52 Tabela 2: República do Parador Cálculos usando o divisor modificado = 49,500 ...verifica-se que o estado B obtém 140 lugares, e a sua quota é De acordo com a regra da quota, o número justo de lugares que o estado B poderia obter é 138 ou 139 lugares, há uma diferença de 1.28 lugares. Teoria da Partilha Equilibrada

26 Teoria da Partilha Equilibrada
O método de Jefferson viola a regra da quota, no entanto viola somente a quota máxima nunca a quota mínima. É também conhecido como o método de grandes divisores e na Europa como o método de D´Hondt. Este método continua a ser usado em muitos países nomeadamente Portugal, Áustria, Brasil, Finlândia, Alemanha e Países Baixos. Teoria da Partilha Equilibrada

27 Teoria da Partilha Equilibrada
Na divisão proporcional de 1832, Nova York tinha uma quota de e recebeu 40 lugares, o que horrorizou toda a delegação! Partiu-se então em busca de um método de divisão proporcional, que não violasse a regra da quota. Como o método de Jefferson estava desacreditado por todos, surgiu um novo método apresentado por John Quincy Adams. Adams no seu método arredonda a quota modificada por excesso. A esta nova quota chamamos Quota Máxima Modificada. Teoria da Partilha Equilibrada

28 Teoria da Partilha Equilibrada
MÉTODO DE ADAMS Passo 1: Encontrar o divisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas por excesso somem o número exacto de lugares a serem distribuídos. Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota máxima modificada. Teoria da Partilha Equilibrada

29 Quota máxima modificada
Estado População Quota Quota modificada Quota máxima modificada A 1,646,000 32.92 32.47 33 B 6,936,000 138.72 136.80 137 C 154,000 3.08 3.04 4 D 2,091,000 41.82 41.24 42 E 685,000 13.70 13.51 14 F 988,000 19.76 19.49 20 Total 12,500,000 250.00 246.55 250 Tabela 3: República do Parador Cálculos usando o divisor modificado =50,700 ...verifica-se que o estado B obtém 137 lugares e comparando-o com a sua quota de , existe uma diferença de lugares. Teoria da Partilha Equilibrada

30 Teoria da Partilha Equilibrada
Apesar de todos os esforços, Adams não conseguiu superar o problema de violação da regra da quota, o seu método viola a quota mínima. Teoria da Partilha Equilibrada

31 Tratar todos estados exactamente do mesmo modo, foi uma
filosofia que os métodos anteriores partilharam e que trouxe de certa forma problemas que levaram à desacreditação dos métodos. Em 1832, Daniel Webster propôs uma ideia baseada no seguinte: - Arredondar as quotas para o inteiro mais próximo, da maneira convencional. A ideia de Webster era, usar quotas modificadas (escolhidas especificamente) de modo que depois de arredondadas convencionalmente, somassem exactamente o número de lugares a serem divididos. Teoria da Partilha Equilibrada

32 Teoria da Partilha Equilibrada
MÉTODO DE WEBSTER Passo 1: Encontrar o divisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas de modo convencional somem o número exacto de lugares a serem distribuídos. Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota arredondada de modo convencional. Teoria da Partilha Equilibrada

33 Teoria da Partilha Equilibrada
O método de Webster é mais difícil de usar na prática, pois o divisor modificado que temos que escolher por tentativa e erro pode ser: menor que, igual a, ou maior que, o divisor standard. Teoria da Partilha Equilibrada

34 Cálculos usando o divisor modificado =50,100
Estado População Quota modificada Arredondar para A 1,646,000 32.85 33 B 6,936,000 138.44 138 C 154,000 3.07 3 D 2,091,000 41.74 42 E 685,000 13.67 14 F 988,000 19.72 20 Total 12,500,000 249.49 250 Tabela 4: República do Parador Cálculos usando o divisor modificado =50,100 ...verifica-se que o divisor modificado é maior que o divisor standard, isto para que, as quotas modificadas arredondadas de modo convencional somem o total de 250 lugares a serem distribuídos. Teoria da Partilha Equilibrada

35 Teoria da Partilha Equilibrada
O método de Webster também viola a regra da quota, mas felizmente as violações são raras e difíceis de imaginar. O método de Webster, é considerado por muitos experimentadores o melhor de todos os métodos de divisão proporcional. Poderá vir a ser o método oficial da divisão proporcional para a Casa de Representantes e possivelmente nas nossas vidas. Teoria da Partilha Equilibrada

36 CONCLUSÃO O congressista Ernest Gibson de Vermont disse em 1929:
“A divisão proporcional de representantes para a população é um problema matemático. Então porquê não usar um método que pode testar (de justiça) sobre uma fórmula matemática correcta?” Teoria da Partilha Equilibrada

37 Teoria da Partilha Equilibrada
A resposta foi dada em 1980 por uma descoberta feita por dois matemáticos – Michael L. Balinski e H. Peyton Young – e é conhecida como Teorema da Impossibilidade de Balinski e Young: Não há métodos de divisão proporcional perfeitos. Qualquer método de divisão proporcional que não viole a regra da quota tem que aderir a paradoxos, e qualquer método de divisão proporcional que não produza paradoxos tem que violar a regra da quota. Teoria da Partilha Equilibrada

38 Paradoxo de Novos Estados
Em síntese: Hamilton Jefferson Adams Webster Viola a regra da quota Não Sim Paradoxo de Alabama Paradoxo da População Paradoxo de Novos Estados Favorece Estados grandes Estados pequenos Teoria da Partilha Equilibrada

39 Teoria da Partilha Equilibrada
MÉTODO DE HUNTINGTON-HILL Passo 1: Encontrar um número D tal que, cada quota modificada é arredondada pela regra de Huntington-Hill. O total dos arredondamentos é exactamente o número de lugares a distribuir. Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota modificada arredondada pela regra de Huntington-Hill. Teoria da Partilha Equilibrada

40 Regra de Arredondamento de Huntington-Hill
Se a quota está entre L e L+1, o ponto de viragem é H = sqrt (L×(L+1)). Se a quota é inferior a H, arredonda-se por defeito, caso contrário, arredonda-se por excesso. Teoria da Partilha Equilibrada

41 Mais uma vez, chegámos à conclusão que justiça e
representação proporcional são incompatíveis. FIM Teoria da Partilha Equilibrada