21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 1 Economia Financeira Unidade 02 Carlos Arriaga Costa Decisão financeira em incerteza.

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1 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 1 Economia Financeira Unidade 02 Carlos Arriaga Costa Decisão financeira em incerteza

2 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 2 Unidade teórica 2 – Decisão financeira em incerteza. Em que medida a incerteza influencia as decisões?. Como se formaliza a incerteza?. Qual a atitude do investidor face ao risco?. Como modelizar a incerteza?. Quais os princípios de dominância estocástica?

3 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 3 CONCEITOS DA INCERTEZA  A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS ESTADOS DA NATUREZA NÃO PODEM SER PREVISTOS COM CERTEZA  Encontra-se em situação de risco.  O risco pode ser quantificado. Associa-se ao risco uma distribuição de probabilidades.  Probabilidade objectiva ou subjectiva?

4 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 4 Activos financeiros e a incerteza Preço Hoje Cash flow Boa conjuntura Cash flow má conjuntura Cupão zero unitário v111 Acçãoa Cfa 1b Cfa 1m

5 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 5 Activos financeiros e a incerteza  V1= 1 / (1+rf)  Cfa1 = p. Cfa1b + (1-p). Cfa1m  Ra = (cfa1-a) / a  a = cfa1 / (1+ra)

6 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 6 REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO:  As preferências de um indivíduo têm uma representação da utilidade esperada se existir uma função u tal que um consumo aleatório x é preferível a um consumo aleatório y se e só se :  E [u(x) ≥ E [u(y)]  Onde E[.] é a expectativa de acordo com a probabilidade subjectiva de cada indivíduo.

7 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 7 REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO (2)  Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo possam ter uma representação na utilidade esperada?  Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo apresentem aversão ao risco tendo como pressuposto a existência de uma utilidade esperada?

8 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 8 REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO (3)  Probabilidade objectiva (Von Neumann- Morgenstern (1953) e probabilidade subjectiva (Savage (1972): diferentes aproximações á representação das preferência através de uma função de utilidade esperada.  Uma relação de preferência é uma relação binária que é transitiva e completa

9 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 9 REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO (4)  Plano de consumo é uma variável aleatória cujas propriedades são especificadas em P.  Podemos interpretar o plano de consumo como uma lotaria cujos prémios são definidos em Z. A probabilidade de obtenção de um resultado z é p(z).

10 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 10 REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO (5)  Três axiomas (necessários e suficientes) para uma relação binária definida em P ter uma representação da utilidade esperada:  Axioma 1 ≥ é uma relação de preferência em P  Axioma 2 (axioma de substituição ou de independência): Para todo p,q,r € P e a € [0,1], p > q implica que ap + (1-a)r > aq +(1-a)r Para todo p,q,r € P e a € [0,1], p > q implica que ap + (1-a)r > aq +(1-a)r  Axioma 3 (axioma de arquimedes) : para todo p,q,r €P, se p>q>r então existirá a,b€(0,1) tal que ap+(1-a)r>q>bq(1- b)r

11 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 11 REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO (6)  Uma das implicações da teoria da utilidade esperada é que a função de utilidade de Von Neumann-Morgenstern é necessáriamente limitada mesmo quando a probabilidade de distribuição do consumo envolva níveis de consumo não limitados.  Aversão ao risco implica que u seja concâva e que os planos de consumo das utilidades esperadas, tendo expectativas finitas serão finitas mesmo quando u é ilimitado.

12 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 12 REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO (3)  Conceitos:  - Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois momentos (t0 e t1)  A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos estados da natureza “incertos” a serem realizados em t1  Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de incerteza a ocorrer entre t0 e t1.  Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de consumo de um bem em diversos estados da natureza  Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo: mecanismo que permite um indivíduo comparar diferentes planos de consumo  Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do indivíduo X é preferível a x´ se e só se U(x) ≥ U(x´) ou X é preferível a x´ se e só se U(x) ≥ U(x´) ou Em termos de utilidade esperada: Em termos de utilidade esperada: E[u(x)] ≥ E[u(x´)] E[u(x)] ≥ E[u(x´)]

13 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 13 Formalização do risco  A decisão do investidor é subjectiva  Existem linhas de acção a tomar  O resultado futuro é função dos estados de natureza considerados no momento da decisão.  Os estados da natureza deverão ser mutuamente exclusivos e exaustivos  Os estados da natureza encontram-se fora do controle do decisor.  Para cada linha de acção existe uma consequência  Existe uma matriz de resultados (payoff matrix)

14 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 14 Payoff matrix Estados da natureza Linhas de acção E1 E2 E3 ….. Ej ……… En A1A2...Ai...Am C11 C12 C13 …… C1j ……….C1n C21 C22 C23 …… C2j ……….C2n Ci1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….Cin Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj ……….Cmn

15 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 15 Payoff matrix Exemplo  Um vendedor de jornais vende ao preço de 5 euros uma revista que ele adquire ao preço de 3 euros. A sua experiência permite-lhe considerar que as vendas deste tipo de revista se situa em 2,3 ou 4 exemplares, sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de que vende pelo menos um exemplar.

16 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 16 Payoff matrix Exemplo Nº exemplares vendidos Nºde exemplares armazenados 1 2 3 4 5 12345 2 2 2 2 2 -1 4 4 4 4 -4 1 6 6 6 -7 -2 3 8 8 -10 -5 0 5 10

17 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 17 Payoff matrix Exemplo Qual a melhor decisão?  Critério Laplace : Não há razão q um estado da natureza seja melhor que o outro – Média aritmética de cada linha e tomar a que der média mais elevada.  Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a situação mais desfavorável e decidir pela menos desfavorável  Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela situação mais favorável e menos favorável e faz- se a media aritmética (ponderada). O factor de ponderação é efectuado pelo decisor.  Critério de regressão – Procede a um regressão entre o valor previsto e o valor obtido à posteriori. Os parâmetros obtidos pela regressão irão afectar as decisões futuras.

18 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 18 activos contingentes Terminal 1 23 Cashflow E6 E6E106 Cupões zero Terminal Valor nominal 1 1 ano E6 2 2 anos E6 3 3 anos E 106 E103 = 6.v1+6.v2+106.v3

19 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 19 Activos financeiros e a incerteza C1b>C1m> F Cash flow DívidaAcções Boa conjunt. Má conjunt. Valor mercado C1bC1m D=F.v1b +F.v1m FF A=(c1b- F).v1b+(c1m -F).v1m C1b-FC1m-F Valor da empresa com dívida=A+D =C1b.v1b+C1m.v1m =valor da empresa sem dívida C1b>C1m> F Cash flow DívidaAcções Boa conjunt. Má conjunt. Valor mercado C1bC1m D=F.v1b+C1 m.v1m FC1m A=(c1b- F).v1b C1b-F0

20 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 20 Decisão de investimento e mercado completo Preço hoje Cash flow boa conj Cash flow má conj Cupão zero unit Acção0,951,451211 Activos contingentes B Activos contingentes M Cupão zero unit 11 Acção221 0,95=1.v1b+1.v1m1,45=2.v1b+1.v1m V1b = 0,5 v1m = 0,45

21 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 21 Decisão de investimento e mercado completo  W0 = q.v1 + n.a  W1b =q+n.div1b  W1m=q+n.div1m  Q Z (tudo obrigações, q=W0/v1, N=0, rendimento certo  (w0/a).div1m A (Tudo em acções (q=0, n = W0/a); rendim incerto  q (W0/a)/.div1b

22 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 22 Decisão de investimento e mercado completo  W0 = q.v1 + n.a  W1b =q+n.div1b Posição curta em acções  W1m=q+n.div1m  Q Z (tudo obrigações, q=W0/v1, N=0, rendimento certo  (w0/a).div1m A (Tudo em acções (q=0, n = W0/a); rendim incerto  pede emprestado para comprar acções  q (W0/a)/.div1b

23 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 23 Mercado completo  V1 = v1b+v1m  A=v1b.div1b+v1m.div1m  W0=qv1+na  =(q+div1b)v1b + (q+div1m)v1m  Um portfolio composto de q zero cupões unitários e n acções é equivalente a um portfólio de títulos contingentes unitários composto de nb=q+divn de títulos b e nm=q+div1m de títulos m  W0 =nbv1b+nmv1m  W1b =nb e W1m =nm  W0 = W1v1b+W1m.v1m  W1m =(W0/v1m)-(vib/v1m).W1b

24 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 24 Mercado completo  W0/v1m declive =-(v1b/vim declive =-(v1b/vim  R futuros  declive =-(1+r)  R presentes

25 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 25 Atitude face ao risco  Indiferença (neutro ao risco)  Aversão ao risco  Propensão ao risco Nota: Há uma função de utilidade associada

26 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 26 Indiferença ao risco  Utilidade (U)

27 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 27 propensão ao risco  Utilidade  Riqueza

28 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 28 Aversão ao risco  Utilidade  Riqueza

29 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 29 Funções de utilidade e de aversão ao risco (Modelo de Arrow (1970) e de Pratt (1964) - 1  U’(R) : mede a utilidade marginal da riqueza  U’’ (R) : mede a variação da utilidade marginal em relação à variação da riqueza  Π = ½ σ 2 z (- U’’ (R) / U’(R) ) em que Π é o prémiode risco em relação a uma dada riqueza.  ARA : Absolute Risk Aversion: (- U’’ (R) / U’(R) ) (- U’’ (R) / U’(R) )

30 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 30 Funções de utilidade e de aversão ao risco - 2  RRA : Relative Risk Aversion: - R (U’’ (R) / U’(R) ) em que R é o nível de riqueza do indivíduo (hipótese razoável é que RRA seja constante) - R (U’’ (R) / U’(R) ) em que R é o nível de riqueza do indivíduo (hipótese razoável é que RRA seja constante) O normal é apresentar : d(ARA)/dR < 0 e d(RRA)/dR = 0. Quatro classes de ARA:. DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion): Função exponencial negativa. CARA (Constant Absolute Risk Aversion): função exponencial. IARA (Increasing Absolute Risk Aversion) : Função quadrática. HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion): família de funções de utilidade definida por Merton (1971) da forma: U (C,t) = e –ρt V(C) U (C,t) = e –ρt V(C) e V(C) = [ (1-μ)/ μ] [βC/(1-μ) + η] μ e V(C) = [ (1-μ)/ μ] [βC/(1-μ) + η] μ  Onde C representa o consumo. Esta função permite optimizar simultaneamente a escolha entre consumo e activos financeiros em tempo contínuo.

31 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 31 Funções de utilidade e de aversão ao risco - 3  Coeficiente de prudência absoluta (Kimball(1990)):  AP = U’’’(R) / U’’(R) : mede a propensão de um indivíduo se preparar para fazer face à incerteza (mais do que medir o prémio de risco desejado)  Standard Risk aversion : Uma função é considerada standard se os coeficientes ARA e de prudência não são crescentes com a riqueza.

32 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 32 Dominação estocástica  PROBLEMA: Em que condições podemos dizer sem ambiguidade que um indivíduo prefere um activo com risco a um outro activo com risco? (partindo da hipótese que o indivíduo é “nonsatiable” e com aversão ao risco)  Está assocoado com a dominação estocástica e com o conceito de menor risco entre os activos com risco

33 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 33 Dominação estocástica de primeiro grau  Dois activos com risco (A e B) Um activo (A é dominante sobre outro activo (B (A ≥ FSD B) se todos os indivíduos possuirem uma função d eutilidade em riqueza que seja contínua e crescente preferem A a B ou se mostrem indiferentes a A e B Um activo (A é dominante sobre outro activo (B (A ≥ FSD B) se todos os indivíduos possuirem uma função d eutilidade em riqueza que seja contínua e crescente preferem A a B ou se mostrem indiferentes a A e B O domínio encontra-se dependente dos retornos esperados face a cada estado de natureza considerado: E P(e) x ~ y ~ z ~ 1 1/3 10 10 1 2 1/3 1 2 20 3 1/3 1 1 100 Y ~ domina x ~ mas z ~ não domina y ~ e x ~ Todavia, se houver um indivíduo que prefira x ~ a z ~ é porque dá mais importância (subjectiva) ao estado de natureza (neste caso o 1).

34 21-06-2015 Economia Financeira 4ºcurso - unidade 2 34 Dominação estocástica de primeiro grau e segundo grau- definições  DEF 1 : Um activo A domina um activo B, estocásticamente de primeiro grau, se e sòmente se, para toda a U(.), independente dos estados da natureza, com u’>0, Eu(A(z ~ )) ≥ Eu(B(y ~ ))  DEf 2: Um Activo A domina um activo B estocásticamente de segundo grau se, toda a pessoa com aversão ao risco e para toda a U(.), com u’>0, continua excepto num subconjunto [0,1] e u’’ 0, continua excepto num subconjunto [0,1] e u’’<0, Eu(A(z ~ )) ≥ Eu(B(y ~ )), prefira o activo A.  E (z ~ ) = E(y ~ ) mas  S(x)= ⌡ x 0 (FA(z) – FB(z))dz <=0 todo x ε[0,1]