Prof. Christiano Lima Santos

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1 Prof. Christiano Lima Santos
Raciocínio Lógico Prof. Christiano Lima Santos

2 Conteúdo do Curso Lógica proposicional Operações com conjuntos
Cálculos com porcentagens

3 Lógica Proposicional Parte 01

4 Sumário Proposição Tipos de proposições
Princípios fundamentais da lógica Conectivos ou operadores lógicos Operações lógicas Tautologia, contradição e indeterminação Leis de equivalência

5 Proposição É uma frase declarativa a qual pode ser atribuída o valor verdadeiro (V) ou falso (F); Exemplos de frases que são proposições: O Japão fica na África 3 + 4 = 7 Exemplos de frases que não são proposições: 3 + 4 Onde você vai?

6 Pergunta Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença bem definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a alternativa em que a sentença apresentada corresponde a uma proposição. Ele foi detido sem ter cometido crime algum? Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes prisionais. Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados. Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio. Houve fuga de presidiários, que tragédia!

7 Resposta Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença bem definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a alternativa em que a sentença apresentada corresponde a uma proposição. Ele foi detido sem ter cometido crime algum? Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes prisionais. Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados. Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio. Houve fuga de presidiários, que tragédia!

8 Tipos de proposições Proposição simples (ou atômica)
Não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma; É designada por uma letra minúscula; Ex: Carlos é careca = q Proposição composta Formada pela combinação de duas ou mais proposições (ligadas por um conectivo); É designada por uma letra maiúscula; Ex: Carlos é careca e Pedro é estudante = Q

9 Pergunta A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem com indivíduos que consumiram bebida alcoólica” é uma proposição simples. Certo Errado

10 Resposta A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem com indivíduos que consumiram bebida alcoólica” é uma proposição simples. Certo Errado

11 Princípios fundamentais da lógica
Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo; Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso; O valor lógico de uma proposição simples p é sempre indicado por V(p).Exemplo: p: O Sol é verde V(p) = F

12 Pergunta Se não corro, pulo. Se estou tranquilo, corro. Se corro, não estou tranquilo. Se não estou tranquilo, não pulo. Logo, é correto afirmar que: Não corro, não estou tranquilo e pulo. Corro, não estou tranquilo e não pulo. Não corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e pulo.

13 Resposta Se não corro, pulo. Se estou tranquilo, corro. Se corro, não estou tranquilo. Se não estou tranquilo, não pulo. Logo, é correto afirmar que: Não corro, não estou tranquilo e pulo. Corro, não estou tranquilo e não pulo. Não corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e pulo.

14 Conectivos ou Operadores lógicos
São usados para formar novas proposições a partir de outras: ~ ou ¬ (não);  (e);  (ou exclusivo)  (ou);  (se então);  (se e somente se).

15 Tabela verdade É uma estrutura tabular, isto é, formada por linhas e colunas, que lista os possíveis valores para cada proposição simples e valores resultantes para as proposições compostas pelas mesmas. Para uma proposição simples p, terá somente uma coluna contendo os valores V e F. Exemplo: p V F

16 Tabela verdade Para uma proposição composta P, teremos cada coluna representando uma proposição atômica componente ou a própria proposição P e cada linha representando os possíveis valores para as proposições atômicas e o valor resultante da proposição P; Exemplo: p q p  q V F

17 Operações lógicas Negação (~); Conjunção (); Disjunção ();
Disjunção exclusiva (); Condicional (); Bicondicional ().

18 Negação Se p é uma proposição, a negação da proposição p é denotada por ~p (p) A negação apresenta valor lógico oposto ao da proposição dada. Tabela verdade: p ~p V F

19 Exemplos de negação p ~p Nenhum homem é elegante
Algum homem é elegante Todo homem é elegante Algum homem não é elegante

20 Conjunção Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p  q” (leia “p e q”) cujo valor lógico é V quando ambas as proposições são verdadeira e F nos demais casos. V(p  q) = V(p)  V(q) Tabela verdade: p q p  q V F

21 Disjunção Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p  q” (leia “p ou q”) cujo valor lógico é V quando ao menos uma das proposições é verdadeira e F se ambas são falsas. V(p  q) = V(p)  V(q) Tabela verdade: p q p  q V F

22 Disjunção exclusiva Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p  q” (leia “p ou exclusivo q”) cujo valor lógico é V quando uma proposição é verdadeira e a outra falsa e F quando ambas são falsas ou ambas são verdadeiras. V(p  q) = V(p)  V(q) Tabela verdade: p q p  q V F

23 Condicional Chama-se proposição condicional uma proposição representada por “p  q” (leia “se p então q”) cujo valor lógico é F quando p é verdadeira e q é falsa e V nos demais casos. V(p  q) = V(p)  V(q) Tabela verdade: p q p  q V F

24 Pergunta A proposição “Quando um indivíduo consome álcool ou tabaco em excesso ao longo da vida, sua probabilidade de infarto do miocárdio aumenta em 40%” pode ser corretamente escrita na forma (P  Q) →R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas. Certo Errado

25 Resposta A proposição “Quando um indivíduo consome álcool ou tabaco em excesso ao longo da vida, sua probabilidade de infarto do miocárdio aumenta em 40%” pode ser corretamente escrita na forma (P  Q) →R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas. Certo Errado

26 Pergunta Se P, Q e R forem proposições simples e se T for a proposição composta falsa [P(¬Q)]  R, então, necessariamente, P, Q e R serão proposições verdadeiras. Certo Errado

27 Resposta Se P, Q e R forem proposições simples e se T for a proposição composta falsa [P(¬Q)]  R, então, necessariamente, P, Q e R serão proposições verdadeiras. Certo Errado

28 Pergunta Considerando que P e Q sejam proposições simples, é possível construir a tabela verdade da proposição [P  Q] [P  Q], completando a tabela: Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a [P  Q] [P  Q], na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F V F F V F F V V V V V V F F F F P Q P  Q P  Q [P  Q] [P  Q] V F

29 Resposta Considerando que P e Q sejam proposições simples, é possível construir a tabela verdade da proposição [P  Q] [P  Q], completando a tabela: Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a [P  Q] [P  Q], na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F V F F V F F V V V V V V F F F F P Q P  Q P  Q [P  Q] [P  Q] V F

30 Bicondicional Chama-se proposição bicondicional uma proposição representada por “p  q” (leia “p se e somente se q”) cujo valor lógico é V quando p e q são ambos verdadeiros ou falsos e F nos demais casos. V(p  q) = V(p)  V(q) Tabela verdade: p q p  q V F

31 Pergunta Considerando que P e Q são proposições simples, a partir da tabela abaixo, é possível construir a tabela-verdade da proposição P  Q: Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a P  Q, na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F F V F V V V F F V F F V F F V V P Q P  Q Q  P P  Q V F

32 Resposta Considerando que P e Q são proposições simples, a partir da tabela abaixo, é possível construir a tabela-verdade da proposição P  Q: Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a P  Q, na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F F V F V V V F F V F F V F F V V P Q P  Q Q  P P  Q V F

33 Tautologia É toda proposição composta cujo valor lógico é sempre verdadeiro (V) quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes; Exemplo: p  ~p p ~p p  ~p V F

34 Pergunta Considerando que P, Q e R sejam proposições simples, a partir do preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a proposição P  Q  R  P  Q é uma tautologia. Certo Errado P Q R P  Q  R P  Q P  Q  R  P  Q V F

35 Resposta Considerando que P, Q e R sejam proposições simples, a partir do preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a proposição P  Q  R  P  Q é uma tautologia. Certo Errado P Q R P  Q  R P  Q P  Q  R  P  Q V F

36 Contradição É toda proposição composta cujo valor lógico é sempre falso (F) quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes. É a negação da tautologia; Exemplo: p  ~p p ~p p  ~p V F

37 Indeterminação Uma proposição é indeterminada (ou logicamente contingente) quando não é tautologia nem contradição; Exemplo: p  q p q p  q V F

38 Leis de equivalência Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorreu uma equivalência entre P e Q quando suas tabelas-verdade forem idênticas. (P  Q) Exemplo: p q ~(p  q) V F p q ~p  ~q V F

39 Leis de equivalência É possível simplificar as proposições, utilizando as seguintes leis de equivalência: (1) Negação da negação ~ (~ p)  p (2) Negação da Conjunção ~ (p  q)  ~p  ~q (3) Negação da Disjunção ~ (p  q)  ~p  ~q Leis de Morgan

40 Leis de equivalência (4) Leis Idempotentes p  p  p p  p  p
(5) Leis complementares p  ~p   (tautologia) (V) p  ~p   (contradição) (F) (6) Leis de Identidade p    p p     p     p    p

41 Leis de equivalência (7) Leis Comutativas p  q  q  p p  q  q  p
(8) Leis Associativas p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r (9) Leis Distributivas p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

42 Leis de equivalência (10) Condicional p  q  ~(p  ~q)  ~p  q
p  q  ~q  ~p A condicional não satisfaz as leis: * idempotente: p  p  p * comutativa: p  q  q  p * associativa: (p  q)  r  p  (q  r)

43 Leis de equivalência (11) Bicondicional p  q  (p  q)  (q  p)
~ (p  q)  p  ~q  ~p  q p  q  (p  q)  (~p  ~q) ~ (p  q)  (p  ~q)  (~p  q)