Análise de Deformação por Thin Plate Splines

Apresentação em tema: "Análise de Deformação por Thin Plate Splines"— Transcrição da apresentação:

1 Análise de Deformação por Thin Plate Splines
Fernando J. Von Zuben Departamento de Engenharia de Computação e Automação Industrial DCA/FEEC/Unicamp

2 Que atributos adotar para realizar a classificação de formas?

3 Exemplo: análise de contornos

4 Exemplo: análise de contornos

5 Variabilidade de formas

6 Uma vez definidos os atributos, resultam problemas de análise multivariada (extração de informação a partir de pontos distribuídos num espaço multidimensional)

7 Atributo escolhido: número de lados

8 Problemas quando os atributos não discriminam as classes (Iris)

9 A forma da esquerda é mais próxima de qual forma da direita?

10 Comparar apenas aquilo que é comparável.

11 Quando há a possibilidade de definição de homologias, adotam-se pontos de referência (marcos)

12 Medir a deformação a partir do deslocamento relativo de marcos homólogos.

13 Critérios para a definição de marcos

14 Transformações de similaridade para uma forma específica com marcos já definidos

15 Transformação afim

16 Técnicas para casamento de marcos homólogos entre duas formas

17 Transformações com deformação nula

18 Como medir deformações a partir do deslocamento relativo de marcos homólogos?

19 Mecânica contínua: deformação em uma lâmina.

20 Deforme uma lâmina inicialmente plana para que ela interpole os 5 pontos

21 Solução e energia de deformação associada

22 Quatro pontos em distribuição planar

23 Adição de um quinto ponto

24 Adição de um sexto ponto

25 Adição de um sétimo ponto

26 O que a deformação de uma lâmina para se ajustar a pontos em 3 dimensões tem a ver com a deformação envolvendo marcos homólogos em duas dimensões?

27 Este é o slide mais importante da apresentação
Mapeia cada marco à esquerda no valor de x do marco homólogo à direita Mapeia cada marco à esquerda no valor de y do marco homólogo à direita

28 Níveis de suavidade de interpolações e aproximações

29

30

31

32 Mapeamentos com parâmetros de suavidade distintos

33 Qual é a diferença entre interpolação e aproximação?

34 Exemplo de interpolação

35 Exemplos de aproximação a partir de dados amostrados com ruído

36 Aproximação a partir de dados amostrados com ruído

37 Retorno ao problema de medida de deformação a partir de marcos homólogos.

38 Deformação expressa na forma de um “esgarçamento” de uma grade inicialmente uniforme

39 Spatial Normalisation
Original image Spatially normalised Spatial Normalisation Template image Deformation field

40 Morphometric approaches based on deformation fields
Deformation-based Morphometry looks at absolute displacements. Tensor-based Morphometry looks at local shapes

41 Quem deformou mais?

42 Tópicos da Apresentação
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)

43 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
Problema a ser resolvido: A partir de um conjunto de amostras de dados de entrada- saída, propor uma função que mapeie os dados de entrada nos respectivos dados de saída.

44 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
Modelo de regressão linear Dados de entrada-saída

45 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
Problema de otimização resultante Estratégia de Solução: Método dos Quadrados Mínimos (LMS)

46 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
do Cálculo Elementar sabe-se que a aplicação da condição de otimalidade (restrições atendidas pelos pontos de máximo e mínimo de uma função diferenciável) permite obter a solução ótima do problema de otimização , na forma: diferencie a função em relação aos parâmetros ajustáveis; iguale estas derivadas parciais a zero; resolva o sistema de equações resultante.

47 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
no caso em questão, os parâmetros livres são os coeficientes da combinação linear, dados na forma do vetor de pesos o sistema de equações resultante é dado na forma: , j=1,...,m.

48 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
separando-se os termos que envolvem a incógnita f(), resulta: , j=1,...,m. portanto, existem m equações para obter as m incógnitas

49 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
para encontrar esta solução única do sistema de equações lineares, é interessante recorrer à notação vetorial:

50 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
como existem m equações, resulta: definindo a matriz H, com sua j-ésima coluna dada por hj, temos:

51 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros

52 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
o i-ésimo componente do vetor f pode ser apresentado na forma: permitindo expressar f em função da matriz H, de modo que: f = Hw

53 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
substituindo no sistema de equações lineares, resulta a solução ótima para o vetor de coeficientes da combinação linear: esta equação de solução do problema dos quadrados mínimos é conhecida como equação normal. Para que exista a inversa de HTH, basta que a matriz H tenha posto completo, já que m  N.

54 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
o modelo de regressão linear mais simples é a reta, aplicada nos casos em que a entrada é escalar:

55 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
suponha que foram amostrados, na presença de ruído, três pontos da curva y = x, gerando o conjunto de amostragem: obviamente, não se conhece a equação da curva, mas apenas estes três pontos amostrados.

56 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
para estimar w1 e w2, vamos proceder de acordo com os passos do método dos quadrados mínimos.

57 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
para o mesmo conjunto de dados amostrados, suponha agora que: enquanto no caso anterior tínhamos m < N, agora temos m = N.

58 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
o efeito da adição da função-base extra h3(x) representa a adição de uma coluna junto à matriz H, e a solução assume a forma:

59 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
observe que ambos os modelos (com 2 ou 3 funções-base) são lineares nos parâmetros (daí a denominação de regressão linear), embora para m = 3 tenhamos um modelo não-linear. modelo não-linear, mas linear nos parâmetros.

60 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
funções de base radial como funções-base Pontos amostrados: (1,2); (3,7); (5,6)

61 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros

62 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
funções de base radial como funções-base Pontos amostrados: (1,2); (3,7); (5,6); (8,1)

63 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros

64 O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
determinação dos centros e aberturas das funções de base radial modelo não-linear nos parâmetros

65 Tópicos da Apresentação
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)

66 Thin Plate Splines - 2D

67 Thin Plate Splines - 2D

68 Thin Plate Splines - 2D

69 Thin Plate Splines - 2D Interpole os pontos pi, i=1,...,5, apresentados a seguir, de tal modo que a função interpolada seja totalmente plana para |x|   e minimize o seguinte critério:

70 Thin Plate Splines - 2D

71 Thin Plate Splines - 2D função de interpolação que minimiza o critério: superfície planar para |x|  :

72 Thin Plate Splines - 2D resulta, então, o seguinte sistema de equações lineares, a ser resolvido em modelo não-linear, mas linear nos parâmetros.

73 Thin Plate Splines - 2D

74 Thin Plate Splines - 2D o sistema linear pode ser expresso em uma forma mais condensada, tomando- se os vetores y e w e matriz L a seguir:

75 Thin Plate Splines - 2D

76 Tópicos da Apresentação
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)

77 Thin Plate Splines - 3D

78 Thin Plate Splines - 3D

79 Thin Plate Splines - 3D Interpole os pontos pi, i=1,...,4, apresentados a seguir, de tal modo que a função interpolada seja totalmente plana para (|x|,|y|)  (,) e minimize o seguinte critério:

80 Thin Plate Splines - 3D função de interpolação que minimiza o critério: superfície planar para (|x|,|y|)  (,):

81 Thin Plate Splines - 3D resulta, então, o seguinte sistema de equações lineares, a ser resolvido em

82 Thin Plate Splines - 3D pode ser expresso em uma forma mais condensada, tomando-se os vetores z e w e matriz L a seguir:

83 Thin Plate Splines - 3D

84 Thin Plate Splines - 3D tem-se agora uma ferramenta poderosa para gerar superfícies de interpolação que minimizam uma dada medida de deformação; isto implica que, sob o ponto de vista da medida de deformação adotada, a superfície obtida é a mais suave possível, dentre aquelas que interpolam pontos no 3; sendo assim, é possível empregar estas superfícies de interpolação para explicar deformações produzidas por deslocamentos em marcos, os quais constituem um conjunto finito de pontos no 2;

85 Thin Plate Splines - 3D conjunto de n marcos de consenso:
conjunto arbitrário de marcos homólogos: como explicar o que ocorre com todos os demais pontos no 2 quando se desloca os marcos de consenso até que eles coincidam com os marcos arbitrários (ou vice-versa)?

86 Thin Plate Splines - 3D este mapeamento do 2 para o 2 será decomposto em dois mapeamentos do 2 para o 1 tal que: mapeamento 1: é tal que deve realizar os mapeamentos, i=1,...,n, além de minimizar a mesma medida de deformação considerada acima mapeamento 2: é tal que deve realizar os mapeamentos, i=1,...,n, além de minimizar a mesma medida de deformação considerada acima

87 Thin Plate Splines - 3D sendo assim, os dois mapeamentos acima vão produzir as mais suaves dentre as superfícies que interpolam pontos no 3, sob o ponto de vista da medida de deformação adotada; os pontos a serem interpolados certamente vão indicar o quanto a superfície no 3 deve se deformar para ser capaz de realizar a interpolação; sendo assim, é intuitivo que qualquer medida de deformação que indique o que acontece quando se desloca os marcos de consenso até que eles coincidam com os marcos arbitrários (ou vice-versa) seja dada pela soma da deformação nas 2 superfícies no 3;

88 Thin Plate Splines - 3D marcos de consenso: marcos homólogos:
Observa-se que não houve deslocamento no eixo x, mas apenas no eixo y. É evidente, portanto, que o mapeamento 1, definido acima, vai produzir um hiperplano, enquanto o mapeamento 2 vai apresentar uma deformação para possibilitar a correspondente interpolação.

89 Thin Plate Splines - 3D

90 Thin Plate Splines - 3D

91 Thin Plate Splines - 3D

92 Thin Plate Splines - 3D

93 Tópicos da Apresentação
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)

94 Os limites da interpolação polinomial
Considere uma função f  C[a,b] e um polinômio pn(x) que interpole f(x) exatamente em n+1 pontos no intervalo [a,b]. Tomando uma seqüência de polinômios pn(x), com n  , não é possível garantir que pn(x) convirja para f(x) em [a,b]. Repare que, quando se toma n  , o que se busca é interpolar todos os pontos de f, o que equivale à tentativa de se aproximar a função f pelo polinômio de ordem infinita pn.

95 Tópicos da Apresentação
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)

96 Splines polinomiais suavizantes
para aumentar a flexibilidade de processos de aproximação utilizando polinômios, é interessante trabalhar com polinômios de ordem reduzida e dividir o intervalo de aproximação em subintervalos menores. Apesar de permitir um ganho natural de flexibilidade, a aproximação polinomial por partes não mais assegura a suavidade, nem mesmo a continuidade da aproximação. splines polinomiais suavizantes:

97 Tópicos da Apresentação
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)

98 Análise de Componentes Principais (PCA)
a seqüência de componentes principais de um conjunto de dados no p fornecem as melhores aproximações lineares para os dados. tomando q < p componentes principais de um conjunto de N pontos no p, representados na forma , então a melhor aproximação linear destes N pontos é dada por: onde   p é um vetor deslocamento, os componentes principais são ortonormais entre si, e   q.

99 Análise de Componentes Principais (PCA)
f() é a representação paramétrica de um hiperplano no q. as figuras a seguir ilustram, para q = 1 e q = 2, as melhores aproximações lineares para p = 2 (pontos distribuídos no 2) e p = 3 (pontos distribuídos no 3), respectivamente.

100 Análise de Componentes Principais (PCA)

101 Análise de Componentes Principais (PCA)
nas figuras acima, os hiperplanos minimizam a soma do quadrado da distância de cada um dos N pontos no p ao respectivo hiperplano. isto implica que os componentes principais, ainda não obtidos, resolvem o seguinte problema de quadrados mínimos: Problema: como obter os componentes principais de uma distribuição de pontos ?

102 Análise de Componentes Principais (PCA)
1. expresse os N pontos no p na forma de uma matriz 2. obtenha a decomposição em valores singulares de X, dada por 3. para qualquer q < p, os q componentes principais correspondem às q primeiras colunas de V. Exemplo: Redução de dimensão e compressão de dados Considere um conjunto de dados composto por N = 130 números ‘3’ escritos à mão e armazenados em escala de cinza num grid 1616.

103 Análise de Componentes Principais (PCA)

104 Análise de Componentes Principais (PCA)
cada uma das imagens pode ser entendida como um ponto no calculando os 2 primeiros componentes principais, resulta: