Prof. Roberto Mauro Moura

Apresentação em tema: "Prof. Roberto Mauro Moura"— Transcrição da apresentação:

1 Prof. Roberto Mauro Moura
Função Afim matematicaaki-com.webnode.com

2 introdução 𝒔𝒂𝒍á𝒓𝒊𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍=𝟏𝟓𝟎𝟎+𝟎,𝟎𝟔 . (𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒂𝒔 𝒗𝒆𝒏𝒅𝒂𝒔 𝒏𝒐 𝒎ê𝒔)
Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1500,00 e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 6% (0,06) sobre o total das vendas que ele faz durante um mês. Nestas condições, podemos dizer que: 𝒔𝒂𝒍á𝒓𝒊𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍=𝟏𝟓𝟎𝟎+𝟎,𝟎𝟔 . (𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒂𝒔 𝒗𝒆𝒏𝒅𝒂𝒔 𝒏𝒐 𝒎ê𝒔) Podemos escrever essa função usando variáveis (letras minúsculas do nosso alfabeto. 𝒔𝒂𝒍á𝒓𝒊𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍=𝒔 𝒙 𝒐𝒖 𝒇 𝒙 𝒐𝒖 𝒚. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒂𝒔 𝒗𝒆𝒏𝒅𝒂𝒔 𝒏𝒐 𝒎ê𝒔=𝒙 𝒔 𝒙 =𝟏𝟓𝟎𝟎+𝟎,𝟎𝟔𝒙 𝒐𝒖 𝒇 𝒙 =𝟏𝟓𝟎𝟎+𝟎,𝟎𝟔𝒙 𝒐𝒖 𝒚=𝟏𝟓𝟎𝟎+𝟎,𝟎𝟔𝒙 𝑬𝒔𝒔𝒆 é 𝒖𝒎 𝒆𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒂𝒇𝒊𝒎.

3 Definição de Função Afim
𝑈𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓:𝐼𝑅→𝐼𝑅 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎−𝑠𝑒 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝒂 𝑒 𝒃 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝒇 𝒙 =𝒂𝒙+𝒃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝒙 𝝐 𝑰𝑹. 𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠: 𝑓 𝑥 =2𝑥+1 →𝑎=2 𝑒 𝑏=1 𝑓 𝑥 =−𝑥+4 →𝑎=−1 𝑒 𝑏=4 𝑓 𝑥 = 1 3 𝑥−5 →𝑎= 1 3 𝑒 𝑏=−5 𝑓 𝑥 =4𝑥 →𝑎=4 𝑒 𝑏=0 𝑓 𝑥 =− →𝑎=0 𝑒 𝑏=−3

4 Casos particulares importantes da função afim 𝒇 𝒙 =𝒂𝒙+𝒃
1º) função identidade 𝑓:𝐼𝑅→𝐼𝑅 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝒇 𝒙 =𝒙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝜖 𝐼𝑅. 𝑁𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜, 𝑎=1 𝑒 𝑏=0. 2º) função linear 𝑓:𝐼𝑅→𝐼𝑅 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝒇 𝒙 =𝒂𝒙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝜖 𝐼𝑅. 𝑁𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜, 𝑏=0. 𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠: 𝑓 𝑥 =−2𝑥 𝑓 𝑥 = 1 5 𝑥 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 𝑓 𝑥 =0 ;𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 é 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑢𝑙𝑎. 3º) função constante 𝑓:𝐼𝑅→𝐼𝑅 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝒇 𝒙 =𝒃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝜖 𝐼𝑅 𝑎=0. 𝐴𝑙𝑔𝑢𝑛𝑠 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠: 𝑓 𝑥 = 3 4 𝑓 𝑥 =3 𝑓 𝑥 =−2 𝑓 𝑥 = 2 4º) Translação (da função identidade) 𝑓:𝐼𝑅→𝐼𝑅 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝒇 𝒙 =𝒙+𝒃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝜖 𝐼𝑅 𝑒 𝑏≠0. 𝑁𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜, 𝑎=1. 𝒇 𝒙 =𝒙+𝟐 𝒇 𝒙 =𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒇 𝒙 =𝒙− 𝟑 𝟓

5 valor de uma Função Afim valor Inicial da Função Afim
𝑂 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑚 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥= 𝑥 0 é 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓 𝑥 0 =𝑎 𝑥 0 +𝑏. Exemplo: 𝑓 𝑥 =5𝑥+1, determinar: 𝑓 1 =5.1+1→𝑓 1 =6 𝑓 −3 =5. −3 +1→𝑓 −3 =−14 𝑓 = →𝑓 =2 𝑓 𝑥+ℎ =5. 𝑥+ℎ +1→𝑓 𝑥+ℎ =5𝑥+5ℎ+1 valor Inicial da Função Afim 𝑁𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑚 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏=𝑓 0 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎−𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓. Por exemplo: 𝑂 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓 𝑥 =−2𝑥+3 é 3, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑓 0 =−2.0+3=3.

6 Determinação de uma função afim 𝒇 𝒙 =𝒂𝒙+𝒃
Uma função afim 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 fica inteiramente determinada quando conhecemos dois de seus valores 𝑥 1 𝑒 𝑓 𝑥 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑥 1 𝑒 𝑥 2 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 1 ≠ 𝑥 2 . Por exemplo: 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑎 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑚 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏, 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓 2 =−2 𝑒 𝑓 1 =1. 2𝑎+𝑏=−2 𝑎+𝑏=1 2𝑎+𝑏=−2 −2𝑎−2𝑏=−2 𝑎+𝑏=1 𝒇 𝒙 =𝒂𝒙+𝒃 .(−𝟐) 𝑎+4=1 𝒇 𝒙 =−𝟑𝒙+𝟒 −𝑏=−4 .(−1) 𝑎=1−4 𝑏=4 𝑎=−3 Taxa de Variação da função afim 𝒇 𝒙 =𝒂𝒙+𝒃 𝑂 𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝒂 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑚 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 é 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑜𝑢 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡ê−𝑙𝑜𝑠 , 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟, 𝑝𝑜𝑟é𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑠. 𝑥 1, 𝑓( 𝑥 1 ) 𝑒 𝑥 2 , 𝑓 𝑥 2 , 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑓 𝑥 1 =𝑎 𝑥 1 +𝑏 𝑒 𝑓 𝑥 2 =𝑎 𝑥 2 +𝑏, 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓 𝑥 2 -𝑓 𝑥 1 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑓 𝑥 2 -𝑓 𝑥 1 =𝑎 𝑥 2 +𝑏 − 𝑎 𝑥 1 +𝑏 →𝑓 𝑥 2 −𝑓 𝑥 1 =𝑎 𝑥 2 − 𝑥 1 →𝒂= 𝒇 𝒙 𝟐 −𝒇 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 𝑥 2 ≠ 𝑥 1 𝑓 𝑥 =5𝑥+2, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 é 𝑎=5. 𝑓 𝑥 =−2𝑥+3, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 é 𝑎=−2.

7 caracterização da Função Afim
𝐿𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓:𝐴→𝐼𝑅 𝑐𝑜𝑚 𝐴⊂𝐼𝑅 é: 𝑪𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆:𝑠𝑒 𝑥 1 < 𝑥 2 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 𝑥 1 <𝑓 𝑥 2 ; 𝑫𝒆𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆:𝑠𝑒 𝑥 1 < 𝑥 2 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 𝑥 1 >𝑓 𝑥 2 . É possível provar que: 𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓:𝐼𝑅→𝐼𝑅, 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐𝒖 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝑠𝑒 𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇 𝒙 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝒉 𝑚𝑎𝑠 𝑛ã𝑜 𝑑𝑒 𝒙, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝒇 é 𝑢𝑚𝑎 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒂𝒇𝒊𝒎. Exemplo: 𝑓 𝑥 =3𝑥−4 é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 1 =2 𝑒 𝑥 2 =3 𝑐𝑜𝑚 2<3 ∴ 𝑓 2 =2 𝑒 𝑓 3 =5 Logo 𝑓 2 < 𝑓 3 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑥 1 𝑒 𝑥 2 , 𝑠𝑒 𝑥 1 < 𝑥 2 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 3 𝑥 1 −4<3 𝑥 2 −4 𝑒 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 = 3 𝑥+ℎ −4 − 3𝑥−4 →3𝑥+3ℎ−4−3𝑥+4=3ℎ 𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 =3ℎ. 𝐴 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝟑𝒉 𝑛ã𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝒙, 𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝒉 ∴ 𝑓 𝑥 =3𝑥−4 é 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑚