Álgebra de Boole Circuitos Digitais

Apresentação em tema: "Álgebra de Boole Circuitos Digitais"— Transcrição da apresentação:

1 Álgebra de Boole Circuitos Digitais
Prof. Juliano Schimiguel

2 O criador da álgebra dos circuitos digitais
Álgebra de Boole George Simon Boole ( ) O criador da álgebra dos circuitos digitais

3 Álgebra de Boole 1- A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e funciona baseada em princípios da lógica formal. 2- Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles ( AC), que publicou um tratado sobre o tema, denominado "De Interpretatione". 3- Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise Matemática da Lógica” 4- Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de mestrado no MIT) que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".

4 Álgebra de Boole Definição da Álgebra de Boole:
1- A álgebra de Boole é um sistema matemático composto por operadores, regras e teoremas. 2- A álgebra booleana usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que podem assumir apenas um de dois valores, zero (0) ou um (1). 3- A álgebra booleana trabalha com dois operadores, o operador AND, simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR é conhecido como soma lógica. As variáveis booleanas serão representadas por letras maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação f(A,B,C,D,...)

5 Operadores da Álgebra Booleana
Álgebra de Boole Operadores da Álgebra Booleana (descrição de cada um deles nas próximas páginas)

6 Operadores Booleanos Fundamentais
Álgebra de Boole Operadores Booleanos Fundamentais 1- Operador AND Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. 2- Símbolo Lógico 3- Tabela Verdade

7 Operadores Booleanos Fundamentais
Álgebra de Boole Operadores Booleanos Fundamentais 1- Operador OR Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1. 2- Símbolo Lógico 3- Tabela Verdade

8 Operadores Booleanos Fundamentais
Álgebra de Boole Operadores Booleanos Fundamentais 1- Operador NOT Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valor lógico da referida variável. 2- Símbolo Lógico 3- Tabela Verdade

9 Operadores Booleanos Secundários
Álgebra de Boole Operadores Booleanos Secundários 1- Operador NAND Definição: A operação lógica NAND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 0 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. 2- Símbolo Lógico 3- Tabela Verdade Trata-se da operação AND, com resultado negado...

10 Operadores Booleanos Secundários
Álgebra de Boole Operadores Booleanos Secundários 1- Operador NOR Definição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 0. 2- Símbolo Lógico 3- Tabela Verdade Trata-se da operação OR, com resultado negado...

11 Operadores Booleanos Secundários
Álgebra de Boole Operadores Booleanos Secundários 1- Operador EXOR (OU exclusivo) Definição: A operação lógica EXOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes). 2- Símbolo Lógico 3- Tabela Verdade

12 Operadores Booleanos Secundários
Álgebra de Boole Operadores Booleanos Secundários 1- Operador EXNOR (negativo de OU exclusivo) Definição: A operação lógica EXNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico. 2- Símbolo Lógico 3- Tabela Verdade

13 Simplificação de Expressões Booleanas
Usada para economizar componentes, tornar o circuito mais rápido, mais simples de fabricar e de manutenção, além de diminuir seu tamanho. Formas de Simplicação: Postulados da Álgebra Booleana Mapas de Karnaugh

14 Postulados da Álgebra Booleana
Identidades Booleanas A + 0 = A 1 A . 0 = A = A 9 A + 1 = A . 1 = A 6 A + A = 1 3 A . A = 0 7 A + A = A 4 A . A = A 8 Propriedade Comutativa A + B = B + A 10 A . B = B . A 11

15 Postulados da Álgebra Booleana
Propriedade Associativa (A + B) + C = A + (B + C) 12 (A. B) . C = (B. C) . A 13 Propriedade Distributiva A . (B + C) = A . B + A . C 14 Teorema de De Morgan A . B... = A + B A + B = A . B

16 Simplificação com Álgebra Booleana (exemplo 1)
Pela prop. (14), Pela prop. (3), Pela prop. (6), Soma de Produtos simplificada

17 Simplificação com Álgebra Booleana (exemplo 2)
Pela prop. (14) Pela prop. (14) Pela prop. (3) Pela prop. (3) Pela prop. (6) Pela prop. (6) Soma de Produtos simplificada (mínima, no caso)

18 Circuito Lógico Exemplo 1 sem simplificar expressão
Circuito com (lógica de ) 2 níveis

19 Circuito Lógico Exemplo 2 com simplificação expressão
B 1o nível 2o nível Circuito com (lógica de ) 2 níveis

20 Exercício 1 Criar o circuito lógico do exemplo 1 com a expressão simplificada Criar o circuito lógico do exemplo 2 sem a expressão ter sido simplificada OBS.: para cada um dos 02 exemplos, compare os circuitos lógicos produzidos, para a expressão simplificada e a não simplificada

21 Exercício 2 Construa o circuito lógico para a seguinte expressão:
Resultado próx. Pág.

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23 Exercício 3 Produza os circuitos lógicos: (A+B+C).(A+C).(B+C)
(A.B)+(A.C.B)+(A.C)+(B.C) F=X+YZ