MATEMATICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 3ª ano Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento

PLANO CARTESIANO O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si, tendo a origem comum no ponto O. Chamamos de eixo das abscissas ao eixo horizontal (eixo dos x). Chamamos de eixo das ordenadas ao eixo vertical (eixo dos y). Esses eixos dividem o plano em quatro regiões que chamamos de quadrantes.

PLANO CARTESIANO y Eixo das ordenadas 2º quadrante 1º quadrante Origem Eixo das abscissas 3º quadrante 4º quadrante

COORDENADAS NO PLANO A localização de um ponto P(xp, yp) no plano cartesiano é feita pelas suas coordenadas (abscissa e ordenada). y P(3, 4) P 4 3 é a abscissa de P; 4 é a ordenada de P; 3 e 4 são as coordenadas de P; O 3 x Em geral: P(x, y)

SINAIS NO PLANO y + + x = 0 y = 0 + – x – + O( 0, 0) – –

BISSETRIZES DOS QUADRANTES y 2ª bissetriz 1ª bissetriz x = y (abscissa = ordenada) x = – y (abscissa = - ordenada) x

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO Dados dois pontos quaisquer, A e B, de coordenadas (xA, yA) e (xB, yB), respectivamente, a distância entre os pontos A e B pode ser obtida pela aplicação do teorema de Pitágoras. y Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: A yA (AB)2 = (BC)2 + (AC)2 B C yB (AB)2 = |xB – xA|2 + |yB – yA|2 x xA xB

EXEMPLO (UFC) Se o triângulo de vértices nos pontos A(0,0); B(3,1) e C(2,k) é retângulo em B, então k é igual a: A(0,0) B(3,1) C(2,k) Usando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: (dAC)² = (dAB)² + (dBC)² (2-0)² + (k-0)² = (3-0)² + (1-0)² + (3-2)² + (1-k)² (Operando os quadrados e termos semelhantes): 2k = 8  k = 4

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Observe que o ponto M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes: AM e MB. As projeções de A, M e B nos eixos Ox e Oy formam segmentos que mantêm as mesmas relações. y Determinando a abcissa xM do ponto médio M, temos: A yA xM = xA + xB 2 M yM B yB Determinando a ordenada yM do ponto médio M, temos: x xA xM xB yM = yA + yB 2

EXEMPLO 1 (FMU-SP) As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades A(5,-2) e B(-1, -4) são: Seja M(xM, yM) o ponto médio, então: xM = xA + xB 2 = 5 + (-1) = 2 yM = yA + yB = -2 + (-4) = -3 M(2,-3)

Resolvendo os sistemas, temos: EXEMPLO 2 (U.Juiz Fora -MG) Se (2,1); (3,3) e (6,2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices? No triângulo, usaremos a fórmula do ponto médio em cada um de seus lados: xA + xC = 2 yA + yc = 1 2 2 xA + xB = 3 yA + yB = 3 2 2 xB + xC = 6 yB + yC = 2 A (3,3) (2,1) (6,2) B C Resolvendo os sistemas, temos: A(1,2), B(7, 4) e C(5,0)

EXEMPLO 3 Encontrar o ponto simétrico de P(1, –1) em relação ao ponto Q(–2, 3). R(a, b) Q(–2, 3) P(1, –1) a + 1 –2 = ⇒ a + 1 = – 4 ⇒ a = – 5 2 ⇒ R (–5, 7) b – 1 3 = ⇒ b – 1 = 6 ⇒ b = 7 2

MEDIANA Segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e divide o lado oposto ao meio. G A(xA , yA) B(xB , yB) C(xC , yC) M1 M2 M3 G é chamado BARICENTRO (ponto de encontro das medianas) do Triângulo. AG = 2/3 AM1 GM = 1/3 AM1 G(xG , yG) xG = xA + xB + xC 3 yG = yA + yB + yC

EXEMPLO (FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1), (3,1) e (-1,3) calcular o seu baricentro. O baricentro G(xG , yG) é o ponto de encontro das medianas, logo: xG = xA + xB + xC = 1 + 3 + (-1) = 1 3 3 yG = yA + yB + yC = 1 + 1 + 3 = 5/3 3 3 G(1;5/3)

APLICAÇÕES - ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Considere os pontos A(xA , yA), B(xB , yB) , C(xC , yC) e x y C B A xA xB xC yC yB yA xA yA 1 xB yB xC yC D = D = 0  A, B e C são colineares, isto é, estão alinhados D  0  A, B e C formam um triângulo.

EXEMPLO 1 (PUC) Os pontos A(-1,2), B(3,1) e C(a,b) são colineares. Para que C esteja sobre o eixo das abscissas, quanto valem a e b? C sobre o eixo das abcissas C(a, 0) A, B e C são colineares  det = 0 Portanto: = 0 a = 7 C(7;0) -1 2 1 3 a

EXEMPLO 2 (PUC) Os pontos A(k, 0), B(1,-2) e C(3,2) são vértices de um triângulo. Calcular k. A, B e C são pontos não alinhados  det  0, ou seja:  0  k  2 k 1 -2 3 2

APLICAÇÕES - ÁREA DE UM TRIÂNGULO Se A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são os vértices de um triângulo. Para calcular a área do triângulo ABC, utilizando determinantes, devemos fazer: Calcular o seguinte determinante, a partir das coordenadas dos vértices. xA xB xC yA yC yB y x C B A xA yA 1 xB yB xC yC D = A área do triângulo é metade do módulo desse determinante. AABC = |D| 2

EXEMPLO Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um triângulo. Como podemos calcular a área desse triângulo, a partir das coordenadas de seus vértices? x y 4 1 A B C 2 6 3 5

AT = AMNP – (AT1 + AT2 + AT3) y AMNP = AM . AP = 4 . 4 = 16 P C N 5 ② ① AT1 = (CP . AP)/2 = (4 . 2)/2 = 4 B 3 AT2 = (CN . BN)/2 = (2 . 2)/2 = 2 ③ A M 1 AT3 = (AM . BM)/2 = (4 . 2)/2 = 4 2 4 6 x AT = 16 – (4 + 2 + 4) AT = 6

2 1 1 2 1 y 6 3 1 6 3 P C N 5 4 5 1 4 5 ② ① B 3 –12 –10 –6 +6 +4 +30 ③ A M 1 D = – 28 + 40 = 12 2 4 6 x |D| |12| Área = = = 6 2 2

QUESTÕES http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif

1) (FGV) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P(0,0), Q(6,0) e R(3,5), é:   a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo.

2) (Fuvest–SP) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano cartesiano x0y vale: b) 13 c) 12 d) 9 e) 8  

3) (PUC-SP) A(3,5), B(1,-1) e C(x,-16) pertencem a uma mesma reta, se x for igual a: a) -5 b) -1 c) -3 d) -4 e) -2

4) (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), (–2, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares é: b) 9 c) 11 d) 10 e) 5

5) (Vunesp) Os pares ordenados A (0, 0); B (4, 0); C (4, 4) e D (0, 4) são os vértices de um quadrado. O ponto M divide a diagonal BD em dois segmentos congruentes. Então, M é:   a) (2, 2) b) (0, 4) c) (5, 6) d) (2, 4) e) (4, 0)

6) (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para facilitar a localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema cartesiano de coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações nos pontos A (0, 0),B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da expedição pretende acampar em um ponto equidistante dos locais de escavação determine as coordenadas do local do acampamento. P(15/2 ; 15/2)

EXTRAS GEOGEBRA Utilizar o software geogebra para a representação geométrica e algébrica de ponto e reta, bem como o cálculo de distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento. Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

REFERÊNCIAS Sites: Livros: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm http://www.brasilescola.com/matematica/ponto-medio-um-segmento-reta.htm http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/ponto-medio-um-seguimento-reta.htm Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.