GEOMETRIA DE POSIÇÃO Matemática Dorta

CONCEITOS PRIMITIVOS As noções geométricas, em geral, são estabelecidas através de definições. Em particular, as primeiras noções, os conceitos primitivos da Geometria, são adotados sem definição.

ADOTAREMOS SEM DEFINIR OS CONCEITOS DE PONTO, RETA E PLANO.

Ponto (representado por letra maiúscula)

Reta (representações usuais: letra minúscula ou da outra forma indicada abaixo)

Plano (representado normalmente por uma letra grega minúscula)

GEOMETRIA DE POSIÇÃO No plano: estudo das posições relativas de pontos e retas de um mesmo plano; Espacial: estudo das posições relativas de pontos, retas e planos do espaço.

PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS As proposições (propriedades) geométricas são aceitas mediante demonstrações. Em particular, as proposições primitivas ou postulados ou axiomas são aceitos sem demonstração.

Postulados da existência Da reta; Do plano.

Postulado da existência da reta Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.

Postulado da existência do plano Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.

Postulados da determinação Da reta Do plano

Postulado da determinação da reta Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

Postulado da determinação do plano três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.

Postulado da Inclusão Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida neste mesmo plano.

Postulado da intersecção Se dois planos distintos tem um ponto comum, então a intersecção desses planos é uma única reta que passa por aquele ponto.

Observação: Postulado da intersecção

Postulados de separação Da reta Do plano Do espaço

Postulado de separação da reta Um ponto O de uma reta r divide-a em duas semi-retas de origem O.

Postulado de separação do plano Uma reta r de um plano alpha divide-o em dois semiplanos de origem r.

Postulado de separação do espaço Um plano alpha separa o espaço em dois semi-espaços de origem alpha.

Posições Relativas De ponto e reta; De ponto e plano; De uma reta e um plano; De duas retas no espaço; De dois planos no espaço.

Posição Relativa de ponto e reta Dado um ponto P e uma reta r, temos:

Posição Relativa de ponto e plano Dado um ponto P e um plano α, temos:

Posição Relativa de uma reta e um plano

Posição Relativa de uma reta e um plano

Posição Relativa de uma reta e um plano

Posição Relativa de duas retas no espaço duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas. retas coplanares que não tem ponto comum são chamadas de retas paralelas distintas. retas coplanares que têm um único ponto comum são chamadas de retas concorrentes. dadas duas retas, quando não existe um plano que contém as duas, elas são chamadas de retas reversas (ou não coplanares).

Posição Relativa de duas retas no espaço: resumo coplanares paralelas Distintas concorrentes: perpendiculares ou não reversas: ortogonais ou não Coincidentes (paralelas iguais)

Posição Relativa de dois planos no espaço dois planos que não têm ponto comum são chamados planos paralelos distintos

Posição Relativa de dois planos no espaço dois planos distintos que têm uma reta comum são chamados planos secantes.

Posição Relativa de dois planos no espaço: resumo

Assinale a alternativa correta: EXERCÍCIOS – AULA 30 EXERCÍCIO 1 Assinale a alternativa correta:

EXERCÍCIO 1 Se duas retas não tem ponto em comum, então elas são reversas. RESPOSTA: Falso. Podem ser paralelas distintas.

EXERCÍCIO 1 b) Duas retas que formam ângulo reto são perpendiculares. RESPOSTA: Falso. Podem ser ortogonais (reversas + ângulo reto).

OBSERVAÇÃO: RETAS REVERSAS Duas retas são denominadas reversas se, e somente se, não existe um plano que as contém. Se as retas reversas formam um ângulo reto, então elas são ortogonais.

EXERCÍCIO 1 c) Três pontos distintos determinam um plano. RESPOSTA: Falso. Além de distintos devem ser não colineares, para determinar um plano.

EXERCÍCIO 1 d) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si. RESPOSTA: Falso, não necessariamente. No exemplo, s e t são perpendiculares r, mas não são paralelas entre si.

EXERCÍCIO 1 e) Duas retas ortogonais formam ângulo reto. RESPOSTA: Verdadeiro. Ortogonais = reversas + ângulo reto.

EXERCÍCIOS – AULA 30 EXERCÍCIO 2 A figura representa um cubo ABCDEFGH. Assinale a alternativa falsa.

a) As retas BC e FG são paralelas. EXERCÍCIO 2 a) As retas BC e FG são paralelas. RESPOSTA: Verdadeiro

EXERCÍCIO 2 b) As retas AC e CH são concorrentes. RESPOSTA: Verdadeiro. As retas se intersectam no ponto C.

EXERCÍCIO 2 c) As retas BC e HG são ortogonais. RESPOSTA: Verdadeiro. As retas são reversas e é possível perceber o ângulo reto pela perspectiva proporcionada pela segunda figura da esquerda para direita

EXERCÍCIO 2 d) As retas AC e BD são perpendiculares. RESPOSTA: Verdadeiro. Como estas retas são as diagonais de uma das faces de um cubo, que é um quadrado, elas se interceptam formando um ângulo reto. Observe na perspectiva da figura 2.

EXERCÍCIO 2 e) As retas AB e CH são concorrentes. RESPOSTA: Falso. Observe nas figuras, que as referidas retas não se interceptam.

EXERCÍCIOS – AULA 31 EXERCÍCIO 1 Considere o cubo representado na figura: Assinale a alternativa falsa.

EXERCÍCIO 1 A reta GB é secante ao plano ADC. RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1 b) A reta DB está contida no plano ABC. RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1 c) A reta EG é paralela ao plano ABC. RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1 d) A reta AF é paralela ao plano HGC. RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1 e) As retas EG e DB são paralelas RESPOSTA: Falso. São reversas.

Considere as proposições seguintes: EXERCÍCIOS – AULA 31 EXERCÍCIO 2 Considere as proposições seguintes:

EXERCÍCIO 2 Se duas retas são paralelas a um mesmo plano, então elas são paralelas entre si. RESPOSTA: Falso.

EXERCÍCIO 2 Dois planos secantes tem como intersecção uma reta. RESPOSTA: Verdadeiro

EXERCÍCIO 2 III. Dois planos paralelos não tem ponto em comum. RESPOSTA: Falso, podem ser coincidentes.

EXERCÍCIO 2 IV.

EXERCÍCIOS – AULA 32 EXERCÍCIO 1 Considere o cubo representado na figura: Assinale a alternativa falsa.

EXERCÍCIO 1 a) A reta FB é perpendicular ao plano ADC. RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1 b) A reta BC é perpendicular ao plano DHG. RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 1 c) As retas FB e DB são perpendiculares. RESPOSTA: Verdadeiro, observe as figuras em perspectivas diferentes.

EXERCÍCIO 1 d) As retas BC e HC são perpendiculares. RESPOSTA: Verdadeiro, observe as figuras em perspectivas diferentes.

EXERCÍCIO 1 e) A reta FD é perpendicular ao plano ABC. RESPOSTA: Falso.

Assinale V (verdadeiro) ou F (falso). EXERCÍCIOS – AULA 32 EXERCÍCIO 2 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso).

EXERCÍCIO 2 a) Se dois planos são perpendiculares entre si, então eles são secantes. RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 2 RESPOSTA: Verdadeiro. b) Se um plano contém uma reta perpendicular a um outro plano, esses planos são perpendiculares. RESPOSTA: Verdadeiro.

EXERCÍCIO 2 RESPOSTA: falso. c) Se dois planos são perpendiculares entre si, então toda reta de um deles é perpendicular à intersecção desses planos. RESPOSTA: falso.

EXERCÍCIO 2 d) Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta é perpendicular a um deles, essa reta é paralela ao outro. RESPOSTA: falso, pois essa outra reta pode estar contida nesse outro plano. Podemos utilizar a figura do item (a), exercício 2, para visualizar a justificativa.

EXERCÍCIO 2 e) Se dois planos são perpendiculares a um outro plano, esses dois planos são paralelos entre si. RESPOSTA: falso.