DETEÇÃO E ESTIMAÇÃO Aula 18: Simulação de Monte Carlo – Parte 2

Amostragem de importância (Importance Sampling)  Objetivo: reduzir o número de amostras mantendo a acurácia do estimador de uma integral (no caso a prob. de falso alarme ou não-deteção)  Como?  Amostrar de uma distribuição alternativa  Modificar integral de acordo

Amostragem de importância

Simulação de

 Procedimento  Gerar a partir de  Estimar por

Qualidade do estimador  Valor esperado  Variância

Número de amostras necessárias Desejável minimizar. Como?

Minimizando o número de amostras  No caso geral é difícil  Ideia  Determine uma cota superior  Minimize a cota superior

Minimizando o número de amostras

 Pela desigualdade de Jensen  Com igualdade se e somente se

Minimizando o número de amostras  Logo, para minimização da cota superior  Onde

Minimizando o número de amostras

Técnicas de Monte Carlo Razão do log-verossimilhança Estatística suficiente

Técnicas de Monte Carlo  Probabilidade de falso alarme  Probabilidade de não-deteção

Técnicas de Monte Carlo  Função indicadora  Prob. de falso alarme e não-deteção

Técnicas de Monte Carlo  Procedimento de estimação da prob. De falso alarme  Simular uma amostra aleatória da estatística suficiente  Calcular o valor esperado da função indicadora considerando a distribuição da estatística suficiente quando a hipótese nula é verdadeira

Técnicas de Monte Carlo  Como gerar amostras de uma distribuição?  Depende da distribuição  Para uniforme já existem métodos implementados  Para demais distribuições, use a transformação Onde

Técnicas de Monte Carlo  Por que isso funciona?  Jacobiano da transformação  Distribuição resultante

Técnicas de Monte Carlo  No problema em questão  Gera-se um certo número de amostras da estatística suficiente  Conte o número de vezes em que a estatística suficiente excede o limiar  Mostra-se que esse valor converge para a prob. de FA

Técnicas de Monte Carlo  Estimador é não- enviasado  Variância do estimador

Técnicas de Monte Carlo  Intervalo de confiança  Prob. de estimativa estar diferir de seu valor correto por meneos de uma certa quantidade

Técnicas de Monte Carlo  Pelo teorema central do limite  Para uma gaussiana qualquer  No caso

Técnicas de Monte Carlo  Logo  Que ocorre quando  Exemplo

Técnicas de Monte Carlo  De forma similar

Técnicas de Monte Carlo  Exemplo 2.15 (cont. 2.1)

Técnicas de Monte Carlo  Solução:  1) Determinar estatística suficiente  2) Pra cada ponto da curva, determinar limiar

Técnicas de Monte Carlo  Solução:  3) Gerar amostras da estatística suficiente para H0 e H1  4) Calcular o percentual de vezes em que as amostras para H0 excedem o limiar para cálculo de PF  5) Calcular o percentual de vezes em que as amostras para H1 estão abaixo do limiar para cálculo de PM

Técnicas de Monte Carlo  Problema  Número de amostras é muito alto para Pf baixo (ex. Pf = 10^-6)

Questionário  1) O que são técnicas de Monte Carlo e para que servem?

Questionário  2) Por que Pf baixo exige muitas amostras?