Profª Juliana Schivani MEDIDAS

Profª Juliana Schivani Medidas Medidas de tendência central São medidas de posição que tendem a se agrupar em torno dos valores centrais de uma distribuição, tendo a capacidade de representá-la como um todo. As mais utilizadas são: Média Aritmética Mediana Moda

Profª Juliana Schivani Medidas Moda (Mo) Mo é o valor que ocorre com mais frequência na distribuição, isto é, o valor que mais se repete. Quando há dois valores que se repetem na mesma quantidade, chamamos a série de BIMODAL. Analogamente, para a TRIMODAL e POLIMODAL. Se todos os valores se repetirem na mesma quantidade então a série é AMODAL, isto é, não existe moda.

Profª Juliana Schivani Medidas Moda (Mo) Mo 1 = 5 e Mo 2 = 9 → Série Bimodal Mo 1 = 4, Mo 2 = 7 e Mo 3 = 9 → Série Trimodal Não existe moda → Série Amodal Mo 1 = 60 Mo 2 = 70 Série Bimodal

Profª Juliana Schivani Medidas Moda (Mo) No caso da tabela em classes, sabemos que a moda está entre o limite inferior e superior de uma classe, mas não há como saber o seu valor exato. É possível encontrar sua aproximação por meio de vários procedimentos.  Moda Bruta Será o ponto médio da classe de maior frequência. MAIORIA A MAIORIA dos alunos tiraram 35 pontos.

Profª Juliana Schivani Medidas Moda (Mo) No caso da tabela em classes, sabemos que a moda está entre o limite inferior e superior de uma classe, mas não há como saber o seu valor exato. É possível encontrar sua aproximação por meio de vários procedimentos.  Moda de King Leva em conta a influência das classes adjacentes à classe modal, "deslocando" a moda em direção a aquelas.

Profª Juliana Schivani Medidas Moda (Mo) No caso da tabela em classes, sabemos que a moda está entre o limite inferior e superior de uma classe, mas não há como saber o seu valor exato. É possível encontrar sua aproximação por meio de vários procedimentos.  Moda de Czuber Leva em conta não somente a influência das classes adjacentes à modal, mas também a própria frequência modal.

Profª Juliana Schivani Medidas Média (X ou µ)

Profª Juliana Schivani Medidas Média (X ou µ)  Média aritmética Se os dados estiverem em ROL, basta somar todos e dividir pelo o total da amostra. Se os dados estiverem agrupados, o somatório será do produto de cada variável pela sua respectiva frequência. Trata-se de uma média aritmética ponderada.

Profª Juliana Schivani Medidas Média (X ou µ)  Média aritmética A MÉDIA da turma V foi de 57 pontos.

Profª Juliana Schivani Medidas Média (X ou µ)  Média aritmética

Profª Juliana Schivani Medidas Média (X ou µ)  Média aritmética Nos dados em classe, usa- se o ponto médio de cada classe como variável.

Profª Juliana Schivani Medidas Média (X ou µ)  Média geométrica É a raiz n-ésima do produto de todos os elementos de uma série. No caso dos dados agrupados:

Profª Juliana Schivani Medidas Média (X ou µ)  Média harmônica É o inverso da média aritmética dos inversos.

Profª Juliana Schivani Medidas Média (X ou µ)  Média harmônica É o inverso da média aritmética dos inversos.

Profª Juliana Schivani Medidas Média (X ou µ)

Profª Juliana Schivani Medidas Mediana (Me) Me é o valor central da distribuição que a divide em duas partes iguais.

Profª Juliana Schivani Medidas Mediana (Me) Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total da amostra (n). Se “n” for par: Como n=50, ou seja, um número par, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais. Estes valores estão na 25ª e 26ª posição.

Profª Juliana Schivani Medidas Mediana (Me) Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total da amostra (n). Se “n” for par: Para saber que variável está na posição 25ª e 26ª, precisamos da frequência acumulada “abaixo de”.

Profª Juliana Schivani Medidas Mediana (Me) Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total da amostra (n). Se “n” for par:

Profª Juliana Schivani Medidas Mediana (Me) Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total da amostra (n). Se “n” for ímpar: Como n=59, ou seja, um número ímpar, a mediana será a variável que estiver na posição 59+1/2, ou seja, 30ª posição.

Profª Juliana Schivani Medidas Mediana (Me) Na tabela de frequência em classes, utiliza-se uma fórmula originada da regra de três simples, para determinar a Me aproximada.

Profª Juliana Schivani Medidas Mediana (Me) n=49, então a Me está na 24,5ª posição, ou seja, na 2ª classe. = 12,15

Profª Juliana Schivani Medidas Mediana (Me)

Profª Juliana Schivani Medidas Simetria da distribuição X = Me = Mo 50%

Profª Juliana Schivani Medidas Simetria da distribuição Me 50% XMo

Profª Juliana Schivani Medidas Simetria da distribuição Me 50% Mo X

Profª Juliana Schivani Medidas

Profª Juliana Schivani Medidas Separatrizes São medidas que dividem (separam) a distribuição em partes iguais. Podem ser Quartis (Divide a distribuição em 4 partes iguais) Percentis (Divide a distribuição em 100 partes iguais)

Profª Juliana Schivani Medidas Quartis Existem três quartis: Primeiro quartil (Q 1 ) – valor em que 25% dos dados da distribuição são menores que ele e 75% são maiores. Segundo quartil (Q 2 ) – valor igual o da Mediana, já que está no meio da distribuição. Terceiro quartil (Q 3 ) – valor na distribuição situado de tal modo que 75% dos demais valores são menores que ele e 25% são maiores. 25%

Profª Juliana Schivani Medidas Quartis Para encontrar um quartil no ROL é como encontrar três Medianas. Exemplo: Calcule os quartis da série: {5,11,2, 6, 9,10,13,15} ROL: {2, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 15}

Profª Juliana Schivani Medidas Quartis Para encontrar um quartil no ROL é como encontrar três Medianas. Exemplo: Calcule os quartis da série: {5,11,2, 6, 9,10,13,15} ROL: {2, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 15} 25% dos dados estão abaixo de 5,5 ou 75% dos dados estão acima de 5,5 50% dos dados estão abaixo de 9,5 ou 50% dos dados estão acima de 9,5 75% dos dados estão abaixo de 12 ou 25% dos dados estão acima de 12

Profª Juliana Schivani Medidas Percentis Existem 99 percentis, cada um, divide a distribuição em duas partes.

Profª Juliana Schivani Medidas Separatrizes O cálculo de qualquer separatriz em dados agrupados em classes é o mesmo da Mediana. Através da regra de três, resulta na fórmula:

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Profª Juliana Schivani Medidas Medidas de dispersão São medidas que se distanciam (dispersam) da média, dizendo se a distribuição é mais homogênea ou mais heterogênea. Ex.: “Se uma pessoa comeu dois frangos e a outra não comeu nenhum, qual a média de frango comido, por pessoa?” A média seria de um frango por pessoa. Mas como fica a pessoa que não comeu nenhum frango? As mais utilizadas são a Variância e o Desvio padrão

Profª Juliana Schivani Medidas Medidas de dispersão Em uma escola há três turmas (A, B e C) em que a média das idades em cada turma é igual a 16 anos. TURMA A IDADEALUNOS ∑21 TURMA B IDADEALUNOS ∑21 TURMA C IDADEALUNOS ∑21 Na turma B e C só há 1 aluno com 16 anos, embora esta seja a média de idade na escola.

Profª Juliana Schivani Medidas Medidas de dispersão Qual das turmas é mais homogênea? TURMA A IDADEALUNOS ∑21 TURMA B IDADEALUNOS ∑21 TURMA C IDADEALUNOS ∑21

Profª Juliana Schivani Medidas Medidas de dispersão ≈ 0,28 anos²

Profª Juliana Schivani Medidas Medidas de dispersão ≈ 1,81 anos²

Profª Juliana Schivani Medidas Medidas de dispersão ≈ 4,95 anos² TURMA C IDADEALUNOS(DESVIO)(DESVIO)² – 16 = -2(-2)² = – 16 = -1(-1)² = – 16 = 00² = – 16 = 11² = – 16 = 22² = – 16 = 33² = – 16 = 44² = 16 ∑21--

Profª Juliana Schivani Medidas Medidas de dispersão TURMA V A 0,280,53 B 1,811,35 C 4,952,22 Isso nos diz que, a turma que mais se aproxima da média de 16 anos é a A, pois apresenta menor desvio. Já a turma C, com maior desvio, é a que mais se distancia da média e, portanto, tem maior variabilidade, isto é, trata-se de uma turma mais heterogênea.

Profª Juliana Schivani Medidas Variância É o somatório de cada quadrado da diferença da variável pela média, dividido pelo total da amostra. Quanto maior a variância, mais heterogênea é a distribuição, isto é, os dados estão espalhados por uma gama de valores. Mas se a variância for baixa, então os dados estão próximos à média.

Profª Juliana Schivani Medidas Desvio padrão É a raiz quadrada da variância. Isso tira o quadrado da unidade estudada, deixando a medida mais direta com a realidade. Da mesma forma que a variância, quanto menor o desvio, mais homogênea é a distribuição, isto é, os dados estão próximos à média.

Profª Juliana Schivani Medidas Na preparação para os jogos Olímpicos de Atenas, três atletas do salto em altura ao realizarem um treinamento diário, consideraram seus quatro melhores saltos em centímetros. Veja: Dentre os atletas, a melhor média foi a do Atleta Z, veja: Atleta X = ( ) / 4 = 150,75 Atleta Y = ( ) / 4 = 151,25 Atleta Z = ( ) / 4 = 152 Atleta W = ( ) / 4 = 151,75

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Profª Juliana Schivani Medidas ATLETA X 12,44 cm Y 12,07 cm Z 11,02 cm W 9,47 cm O atleta que obteve o menor Desvio Padrão deve ser considerado o de melhor regularidade em resultados. Dessa forma, temos que o atleta W se enquadra nessa condição de melhor regularidade.

Profª Juliana Schivani Medidas Referência CRESPO, A. A. Estatística fácil. 8.ed. ref. atual. São Paulo. Saraiva IEZZI, Gelson... [et al.]. Matemática: Ciência e Aplicações, 3. São Paulo: Saraiva, STOCCO, Kátia; DINIZ, Maria. Matemática 3. São Paulo: Saraiva, SILVA, Marcos. Mundo Educação – Matemática – Variância e Desvio Padrão. Disponível em: padrao.htm Acesso em: ago. de padrao.htm