Profª Juliana Schivani juliana.schivani@ifrn.edu.br NÚMEROS COMPLEXOS Profª Juliana Schivani juliana.schivani@ifrn.edu.br

Conjunto dos números complexos ℚ 𝕀 ℤ ℕ ℂ ℝ Números Complexos Profª Juliana Schivani

Números Complexos Profª Juliana Schivani Número imaginário 𝑥²+4=0 𝑥²=−4 𝑥= ± −4 𝑥= ± −1 ∙4 𝑥= ± 2𝑖 𝑥²+1=0 𝑥²=−1 𝑥= ± −1 Número imaginário i 𝑥= ± 𝑖 Números Complexos Profª Juliana Schivani

Números Complexos Profª Juliana Schivani Número imaginário 𝒊= −1 𝑖²= −1 ²=−𝟏 𝑖³=𝑖² ∙𝑖=−1 ∙𝑖=−𝒊 𝑖 4 =𝑖³ ∙𝑖=−𝑖 ∙𝑖=− 𝑖 2 =− −1 =𝟏 𝑖 5 = 𝑖 4 ∙𝑖=1∙𝑖=𝒊 𝑖 6 = 𝑖 5 ∙𝑖=𝑖∙𝑖= 𝑖 2 = −1 ²=−𝟏 𝑖 7 = 𝑖 6 ∙𝑖=−1 ∙𝑖=−𝒊 𝑖 8 = 𝑖 7 ∙𝑖=−𝑖 ∙𝑖=− 𝑖 2 =− −1 =𝟏 Números Complexos Profª Juliana Schivani

Números Complexos Profª Juliana Schivani Número imaginário A cada quatro potências consecutivas de i, iniciando com o expoente 1, o conjunto solução sempre é o mesmo {i, -1, i, 1} Para determinar o valor de potências com expoentes maiores, basta dividir o expoente por 4 e considerar o resto da divisão como o novo expoente, que será o, 1, 2 ou 3. 𝑖 2014 = ? – 2012 503 𝑖 2014 = 𝑖² = -1 2 Números Complexos Profª Juliana Schivani

z = a + bi Número complexo Um número complexo é todo número na forma Parte imaginária de z Parte real de z Quando a = 0, ⟹ z = bi Quando b = 0, ⟹ z = a Nº imaginário puro Nº real Números Complexos Profª Juliana Schivani

Representação gráfica do número complexo No plano cartesiano, podemos representar qualquer número complexo através de um ponto (x,y) onde x é a parte real e y a parte imaginária. y (reta imaginária) AFIXO de z 4 3 2 1 w = 1 + i z = 3 + 2i 1 2 3 4 x (reta dos reais) Números Complexos Profª Juliana Schivani

Números Complexos Profª Juliana Schivani Número complexo 2 + 4i → número complexo 8 - i 2 → número complexo 6i → número complexo puro 4 → número real -i → número complexo puro i² → número real Números Complexos Profª Juliana Schivani

Números Complexos Profª Juliana Schivani F = x + yi permite calcular a força de arrasto responsável pela sustentação do corpo. A partir da solução dessa equação, define-se o perfil aerodinâmico que facilita a circulação do fluido em torno da asa do avião. as setas azuis indicam a direção da velocidade do fluxo de ar em relação ao aerofólio, tanto no bordo de ataque (VLE, do inglês Leading Edge) quanto no de fuga (VTE, do inglês Trailing Edge). Números Complexos Profª Juliana Schivani

Números Complexos Profª Juliana Schivani Os aviões da Air Race seguem os mesmos princípios de todos os aviões, porém, para a realização dos malabarismos, a eficiência aerodinâmica dessas aeronaves precisam ser potencializadas e o arrasto reduzido. Números Complexos Profª Juliana Schivani

Números Complexos Profª Juliana Schivani Como rotacionar a figura abaixo em 90° no sentido anti-horário? P = (50, 60) = 50 + 60i 𝒊 × 𝟓𝟎+𝟔𝟎𝒊 =𝟓𝟎𝐢+𝟔𝟎 𝐢 𝟐 =−𝟔𝟎+𝟓𝟎𝐢 P’ = (-60, 50) (-60, 50) E se a rotação for de 180°? E 270°? Números Complexos Profª Juliana Schivani

Números Complexos Profª Juliana Schivani Um circuito elétrico que contém um resistor R, um indutor L e um capacitor C conectados em série ou em paralelo é denominado circuito RLC. A medida da resistência de um circuito RLC é chamada de impedância(Z). A corrente elétrica i (não confundir com o número imaginário) é dada por 𝑈 𝑍 , onde U é a tensão (diferença de potencial ou voltagem). Números Complexos Profª Juliana Schivani

Números Complexos Profª Juliana Schivani Z = R + j X j² = -1 (não usa i para não confundir com corrente elétrica); R é a resistência elétrica (em ohm); X é a resultante (em ohm) das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito. Números Complexos Profª Juliana Schivani

Operações com números complexos Uma fonte de tensão de 220 V alimenta uma carga de impedância Z = (10 + 10j) ohm. Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte? 𝑖= 𝑈 𝑍 = 220 10+10𝑗 = ? Números Complexos Profª Juliana Schivani

Módulo de um número complexo Por definição, o módulo é a distância do número até a sua origem. No número complexo, o módulo será a distância do seu afixo à origem. 𝒛 = 𝒂²+𝒃² 𝐄𝐱: 𝑧=1+ 3 𝑖 𝑧 = 1²+ 3 ² 𝑧 = 1+3 =2 z = a + bi b |z|  a Números Complexos Profª Juliana Schivani

Forma polar ou trigonométrica de um número complexo 𝒔𝒆𝒏𝜽= 𝒃 |𝒛| ⟹𝒃=𝒔𝒆𝒏𝜽 |𝒛| 𝒛=𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒛 +𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒛 𝒊 𝒛= 𝒛 (𝒄𝒐𝒔𝜽 +𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒊 ) 𝒄𝒐𝒔𝜽= 𝒂 |𝒛| ⟹𝒂=𝒄𝒐𝒔𝜽 |𝒛| z = a + bi b Falar dos movimentos de rotação que usa a parte trigonometrica |z|  a Números Complexos Profª Juliana Schivani

Forma polar ou trigonométrica de um número complexo Um afixo de um número complexo pode variar em uma circunferência de centro na origem e raio igual a 1. Assim, o número complexo Z tem módulo 1 e seu argumento (ângulo) varia. 𝒛 ′ =𝒛∙(𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒊) Existe uma demonstração matematica para provar que a eq. Envolve seno e cosseno da soma de dois angulos e teorema de pitagoras Números Complexos Profª Juliana Schivani

Forma polar ou trigonométrica de um número complexo Encontre as novas coordenadas do ponto A (3,4) após uma rotação de 90° no sentido anti-horário em relação a origem. 𝒛=𝟑+𝟒𝒊 𝒛′=(𝟑+𝟒𝒊)∙(𝒄𝒐𝒔𝟗𝟎°+𝒔𝒆𝒏𝟗𝟎°𝒊) 1 𝒛 ′ = 𝟑+𝟒𝒊 ∙𝒊 𝒛 ′ =𝟑𝒊+𝟒 𝒊 2 =−𝟒+𝟑𝒊 Números Complexos Profª Juliana Schivani

Z = R + j X, ou na forma polar, Z = |Z|cosf + j senf j² = -1 (não usa i para não confundir com corrente elétrica); f é o ângulo (argumento) de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito; |Z| é o módulo de Z; R é a resistência elétrica (em ohm); X é a resultante (em ohm) das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito. Números Complexos Profª Juliana Schivani

Operações com números complexos Uma fonte de tensão de 220 V alimenta uma carga de impedância Z = (10 + 10j) ohm. Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte? 𝑖= 𝑈 𝑍 = 220 10+10𝑗 = ? Números Complexos Profª Juliana Schivani

Operações com números complexos ADIÇÃO Seja 𝑧=7+8𝑖 e 𝑤=2 −5𝑖 𝑧+ 𝑤= Números Complexos Profª Juliana Schivani

Operações com números complexos ADIÇÃO Seja 𝑧=7+8𝑖 e 𝑤=2 −5𝑖 𝑧+ 𝑤= (7+2) + 8𝑖+(−5𝑖 ) Soma parte real com parte real e soma parte imaginária com parte imaginária. 𝑧+𝑤=9+3𝑖 Números Complexos Profª Juliana Schivani

Operações com números complexos SUBTRAÇÃO Seja 𝑧=7+8𝑖 e 𝑤=2 −5𝑖 𝑧− 𝑤= Números Complexos Profª Juliana Schivani

Operações com números complexos SUBTRAÇÃO Seja 𝑧=7+8𝑖 e 𝑤=2 −5𝑖 𝑧− 𝑤=7+8𝑖 −(2 −5𝑖) 𝑧− 𝑤=7+8𝑖 −2+5𝑖 Subtrai parte real com parte real e subtrai parte imaginária com parte imaginária. (7−2) 𝑧− 𝑤= + 8−(−5 )𝑖 𝑧−𝑤=5+13𝑖 Números Complexos Profª Juliana Schivani

Operações com números complexos MULTIPLICAÇÃO Seja 𝑧=7+8𝑖 e 𝑤=2 −5𝑖 𝑧 ∙ 𝑤= Números Complexos Profª Juliana Schivani

Operações com números complexos MULTIPLICAÇÃO Seja 𝑧=7+8𝑖 e 𝑤=2 −5𝑖 𝑧∙ 𝑤= 14−35𝑖 + 16𝑖 −40𝑖² 𝑧∙𝑤=14 −19𝑖+40 Aplica a propriedade da distributividade. 𝑧∙𝑤=54 −19𝑖 Números Complexos Profª Juliana Schivani

Operações com números complexos DIVISÃO Seja 𝑧=7+8𝑖 e 𝑤=2 −5𝑖 𝑧 𝑤 = 7+8𝑖 2 −5𝑖 A ideia é a mesma de quando tiramos uma raiz de um denominador. 𝑤 =2+5𝑖 Conjugado de w Números Complexos Profª Juliana Schivani

Operações com números complexos DIVISÃO Seja 𝑧=7+8𝑖 e 𝑤=2 −5𝑖 𝑧 𝑤 = 7+8𝑖 2 −5𝑖 ∙ 2+5𝑖 2+5𝑖 = 14+35𝑖+16𝑖+40𝑖² 4+10𝑖−10𝑖 −25𝑖² Multiplica numerador e denominador pelo conjugado do denominador. =− 26 29 + 51 29 𝑖 Números Complexos Profª Juliana Schivani

Conjugado de um número complexo O conjugado de 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 é 𝑧 =𝑎 −𝑏𝑖 1 𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑎 2 −𝑎𝑏𝑖+𝑎𝑏𝑖 − 𝑏 2 𝑖² 𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑎 2 + 𝑏 2 Números Complexos Profª Juliana Schivani

Operações com números complexos Uma fonte de tensão de 220 V alimenta uma carga de impedância Z = (10 + 10j) ohm. Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte? 𝑖= 𝑈 𝑍 = 220 10+10𝑗 ∙ 10−10𝑗 10−10𝑗 = 2200−2200𝑗 100+100 = 2200 200 − 2200𝑗 200 𝑖=11−11𝑗 Números Complexos Profª Juliana Schivani