Análise de circuitos CA em regime permanente: Fasores Circuitos Elétricos Prof. Carlos Yujiro Shigue EEL USP, Lorena

Sinal senoidal Forma geral da função senoidal:

Sinal senoidal

Fonte: Wikipedia

Sinal senoidal Fonte: Wikipedia

Diferença de ângulo de fase Período:Diferença de fase:

Valor médio e valor eficaz Valor médio: Valor eficaz:

Função senoidal Função seno Substituindo a relação trigonométrica: e

Variável complexa Variável complexa Z em coordenadas retangulares: Módulo: Ângulo de fase:

Variável complexa: Componentes da variável complexa Z: Componente real Z’ = Re(Z): Componente imaginária Z” = Im(Z): Variável complexa

Variável complexa Z em coordenadas polares: Forma exponencial (polar) da variável complexa Z: Identidade de Euler:

Identidade de Euler Demonstre-a!

Variável complexa Variável complexa: Módulo: Variável complexa conjugada:

Variável complexa Variável complexa conjugada Z* em coordenadas polares: Forma exponencial (polar) da variável complexa Z conjugada: Variável complexa Z em coordenadas polares:

Variável complexa Fatoração de variáveis complexas Seja a variável complexa: Fatoramos dividindo e multiplicando Z pelo complexo conjugado X - jY: De modo que: No qual: e

Fasores Charles Proteus Steinmetz Matemático e engenheiro eletricista + Breslau, Prússia: 9 de abril de 1865 * Schenectady, New York: 26 de outubro de 1923 Grandezas elétricas como variáveis complexas

Fasores Charles Proteus Steinmetz revolucionou a teoria e análise de circuito de corrente alternada em regime permanente (CA) ao propor o uso de variáveis complexas na comunicação "Complex quantities and their use in electrical engineering" apresentada em julho de 1893 no Encontro Anual do American Institute of Electrical Engineers (AIEE). Steinmetz simplificou os métodos de cálculo anteriormente baseados no cálculo diferencial por simples cálculos algébricos. Ele sistematizou o uso de números complexos para o cálculo do que foi batizado como representação fasorial em textos didáticos de engenharia elétrica.

Fasores Quantidade física que é expressa como uma variável complexa: Notação polar do fasor Z: Coordenadas retangulares Coordenadas polares

Fasores Quantidade física que é expressa como uma variável complexa: Notação polar do fasor Z: Coordenadas retangulares Coordenadas polares

Fasores Função senoidal na forma complexa:

Fasores

Relação de Fasores para Elementos de Circuito Circuito Resistivo Circuito Capacitivo Circuito Indutivo

Fasores de circuito RLC Fonte: Wikipedia

Fasores para o circuito resistivo Forma fasorial:

Fasores para o circuito resistivo Forma de onda temporal Diagrama fasorial

Fasores para o circuito capacitivo Forma fasorial:

Fasores para o circuito capacitivo Forma de onda temporal Diagrama fasorial

Fasores para o circuito indutivo Forma fasorial:

Fasores para o circuito indutivo Forma de onda temporal Diagrama fasorial

Impedância Definição: (Ohm = 

Impedância Componente real ou ativa: Componente imaginária ou reativa: Impedância na forma polar (Reatância) (Resistência)

Impedância na qual:

Impedância da resistência Resistência, R

Impedância da capacitância Capacitância, C Reatância capacitiva:

Impedância de indutância Indutância, L Reatância indutiva:

Impedância de circuito RC em série Impedância na forma retangular: Impedância na forma polar:

Impedância de circuito RL em série Impedância na forma retangular: Impedância na forma polar:

Admitância: inverso da impedância Definição de admitância: Admitância como fasor: Susceptância: Condutância: (siemens = S 

Impedância equivalente Associação em série de impedâncias:

Impedância equivalente Associação em paralelo de impedâncias:

Impedância equivalente Exemplo nº 1: associação em série de impedâncias Impedância na forma retangular:

Impedância equivalente Exemplo nº 1: associação em série de impedâncias (cont.) Impedância na forma polar:

Impedância equivalente Exemplo nº 2: associação em paralelo de impedâncias

Impedância equivalente Exemplo nº 2: associação em paralelo de impedâncias (cont.)

Função de transferência Representação de um circuito com 4 terminais Representação simplificada de um circuito com terra comum:

Função de transferência Representação interna de um circuito com 3 terminais

Função de transferência Razão de transferência, A V : Circuito divisor de tensão ca

Função de transferência Razão de transferência, A V : Circuito divisor de tensão resistivo (cc)

Função de transferência Razão de transferência, A V : Circuito RC em série Razão A V = |A V |

Função de transferência Razão de transferência, A V : Circuito RC em Série Razão A V = |A V |

Função de transferência Razão de transferência, A V : Circuito RL em série Razão A V = |A V |

Função de transferência Razão de transferência, A V : Circuito RL em série Razão A V = |A V |

Resposta em frequência Constante de tempo: |A V | = f(  )  = f(  ) Circuito RC Filtro passa baixa (frequência) Razão de transferência:

Resposta em frequência Constante de tempo: |A V | = f(  )  = f(  ) Circuito RL filtro passa baixa (frequência) Razão de transferência:

Resposta em frequência Diagrama de Bode: diagrama de resposta em frequência

Resposta em frequência Circuito RC filtro passa alta (frequência) Constante de tempo: |A V | = f(  )  = f(  ) Razão de transferência:

Resposta em frequência Circuito RL filtro passa alta (frequência) Constante de tempo: |A V | = f(  )  = f(  ) Razão de transferência:

Resposta em frequência Diagrama de Bode: diagrama de resposta em frequência

Resposta em frequência Frequência de corte,  c Frequência na qual: X 1 = X 2 ou ou  = 45 o

Resposta em frequência Frequência de corte do circuito RC em série

Resposta em frequência Diagrama de Bode para o filtro passa baixa

Resposta em frequência Diagrama de Bode para o filtro passa alta

Aplicação de circuitos filtro Aplicação do circuito RC filtro passa baixa Sinal com ruído Sinal de baixa frequência filtrado