Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade I Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp.br www.marcelobotelho.com

Distribuições Discretas de Probabilidade Capítulo 5

Distribuições Discretas de Probabilidade Variáveis aleatórias Distribuições Discretas de Probabilidade Valores Esperados e Variância Distribuição Binomial Distribuição de Poisson Distribuição Hipergeométrica 0,10 0,20 0,30 0,40 0 1 2 3 4

Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória é a descrição numérica do resultado de um experimento Uma variável aleatória discreta pode assumir um número finito de valores ou uma sequência infinita de valores Uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou em uma coleção de intervalos

Exemplo: JSL Eletrodomésticos Variável aleatória discreta com um número finito de valores Seja x = número de TVs vendidas na loja em um dia, em que x pode tomar 5 valores (0, 1, 2, 3, 4)

Exemplo: JSL Eletrodomésticos Variável aleatória discreta com um número infinito de valores Seja x = número de número de clientes que vão até a loja em um dia, em que x pode assumir os valores 0, 1, 2,... Podemos contar os clientes que chegam, mas não há nenhum limite superior finito no número que podemos chegar

Variáveis Aleatórias Questão Variável Aleatória x Tipo Tamanho da família x = Número de dependentes indicados no imposto de renda Discreta Distância de casa até a loja x = Distância em quilômetros de casa até o local da loja Contínua Ter cachorro ou gato x = 1 se não possui animal de estimação; = 2 se possui cachorro(s) apenas; = 3 se possui gato(s) apenas; = 4 se possui cachorro(s) e gato(s);

Distribuições Discretas de Probabilidade A distribuição de probabilidade para uma variável aleatória descreve como as probabilidades são distribuídas ao longo dos valores da variável aleatória Podemos descrever uma distribuição de probabilidade discreta com uma tabela, gráfico, ou equação

Distribuições Discretas de Probabilidade A distribuição de probabilidade é definida por uma função probabilidade, denotada por f(x), que fornece a probabilidade para cada valor da variável aleatória As condições necessárias para uma função probabilidade discreta são: 𝑓(𝑥)≥0 𝑓 𝑥 =1

Distribuições Discretas de Probabilidade Usando dados históricos sobre as vendas de TV, ... uma representação tabular da distribuição de probabilidade para as vendas de TV foi desenvolvida Número Unid. Vend. de Dias 0 80 1 50 2 40 3 10 4 20 200 x f(x) 0 0,40 1 0,25 2 0,20 3 0,05 4 0,10 1,00 80/200

Distribuições Discretas de Probabilidade Representação gráfica da Distribuição de Probabilidade 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0 1 2 3 4 Valores da Variável Aleatória x (vendas de TV) Probabildade

Distribuição de Probabilidade Discreta Uniforme A distribuição de probabilidade discreta uniforme é o exemplo mais simples de uma distribuição de probabilidade discreta dada por uma fórmula A função de probabilidade discreta uniforme é: 𝑓 𝑥 =1/𝑛 Onde: n = o número de valores que a variável aleatória pode assumir os valores da variável aleatória são igualmente prováveis

Valor Esperado e Variância O valor esperado, ou média, de uma variável aleatória é uma medida da sua localização central 𝐸 𝑥 =𝜇= 𝑥𝑓(𝑥) A variância resume a variabilidade dos valores de uma variável aleatória 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎 2 = (𝑥−𝜇) 2 𝑓(𝑥) O desvio padrão, σ, é definido como a raiz quadrada positiva da variância

Valor Esperado e Variância Valores Esperados Número esperado de TVs vendidas em um dia x f(x) xf(x) 0 0,40 0,00 1 0,25 0,25 2 0,20 0,40 3 0,05 0,15 4 0,10 0,40 E(x) = 1,20

Valor Esperado e Variância Variância e Desvio Padrão 1 2 3 4 -1,2 -0,2 0,8 1,8 2,8 1,44 0,04 0,64 3,24 7,84 0,40 0,25 0,20 0,05 0,10 0,576 0,010 0,128 0,162 0,784 x - μ (x - μ)2 f(x) (x - μ)2f(x) Variância das Vendas Diárias = s 2 = 1,660 x TVs ao quadrado Desvio padrão das vendas diárias = 1,2884 TVs

Distribuição Binomial Quatro propriedades de um experimento binomial A experiência consiste de uma sequência de n ensaios idênticos Dois resultados, sucesso e fracasso, são possíveis em cada ensaio A probabilidade de um sucesso, denotado por p, não muda de ensaio para ensaio Os ensaios são independentes pressuposto de estacionariedade

Distribuição Binomial O nosso interesse é o número de sucessos que ocorrem nos n ensaios Seja x denotar o número de sucessos ocorrem nos n ensaios

Distribuição Binomial Função de Probabilidade Binomial 𝑓 𝑥 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 (1−𝑝) (𝑛−𝑥) Onde: f(x) = a probabilidade de x sucessos em n ensaios n = número de ensaios p = a probabilidade de sucesso em um ensaio

Distribuição Binomial Função de Probabilidade Binomial 𝑓 𝑥 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 (1−𝑝) (𝑛−𝑥) Probabilidade de uma determinada sequência de resultados dos ensaios com x sucessos em n tentativas Número de resultados experimentais que fornecem exatamente x sucessos em n ensaios 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 (1−𝑝) (𝑛−𝑥)

Distribuição Binomial Exemplo: Evans Eletrônicos Evans está preocupado com uma taxa de retenção baixa para os funcionários. Nos últimos anos, a gestão tem visto um turnover de 10% dos funcionários horistas anualmente. Assim, para qualquer empregado horista escolhidos de forma aleatória, a Administração estima uma probabilidade de 0,1 de que a pessoa não estará na empresa no próximo ano

Distribuição Binomial Usando a Função de Probabilidade Binomial Escolhendo 3 funcionários horistas de forma aleatória, qual é a probabilidade de que um deles vai deixar a empresa este ano? Seja: p = 0,10, n = 3, x = 1 𝑓 𝑥 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 (1−𝑝) (𝑛−𝑥) 𝒇 𝟏 = 𝟑! 𝟏! 𝟑−𝟏 ! (𝟎,𝟏𝟎) 𝟏 (𝟎,𝟗𝟎) 𝟐 =𝟑 𝟎,𝟏 𝟎,𝟖𝟏 =𝟎,𝟐𝟒𝟑

Distribuição Binomial Diagrama de Árvore 1o Funcion. 2o Funcion. 3o Funcion. x Prob. Sair (0,1) Ficar (0,9) 3 2 Sair (0,1) F (0,9) Ficar (0,9) S (0,1) 0,0010 0,0090 0,7290 1 0,0810

Distribuição Binomial Usando Tabelas de Probabilidades Binomiais p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 3 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 1 0,1354 0,2430 0,3251 0,3840 ,4219 0,4410 0,4436 0,4320 0,4084 0,3750 2 0,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2389 0,2880 0,3341 0,0001 0,0010 0,0034 0,0080 0,0156 0,429 0,0640 0,0911

Distribuição Binomial Valores Esperados 𝐸 𝑥 =𝜇=𝑛𝑝 Variância 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎 2 =𝑛𝑝(1−𝑝) Desvio Padrão 𝜎= 𝑛𝑝(1−𝑝)

Distribuição Binomial Valores Esperados 𝐸 𝑥 =𝜇=3 0,10 =0,30 fucionários que deixam a empresa, de 3 Variância 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎 2 =3 0,10 0,9 =0,27 Desvio Padrão 𝜎= 3 0,10 0,9 =0,52 funcionários

Distribuição de Poisson A variável aleatória com distribuição de Poisson é frequentemente útil para estimar o número de ocorrências em um intervalo especificado de tempo ou espaço É uma variável aleatória discreta que pode assumir uma sequência infinita de valores (x = 0, 1, 2, ...)

Distribuição de Poisson Exemplos de uma variável aleatória com Distribuição de Poisson: o número de buracos em 14 metros lineares de placas de pinho o número de veículos que chegam em um posto de pedágio em uma hora

Distribuição de Poisson Duas propriedades de um Experimento de Poisson A probabilidade de um ocorrência é a mesma para dois intervalos quaisquer de igual comprimento A ocorrência ou não-ocorrência em determinado intervalo é independente da ocorrência ou não ocorrência em outro intervalo

Distribuição de Poisson Função de Probabilidade de Poisson 𝑓 𝑥 = 𝜇 𝑥 𝑒 −𝜇 𝑥! Em que f(x) = a probabilidade de x ocorrências em um intervalo μ = valor esperado, ou número médio, de ocorrências e = 2,71828

Distribuição de Poisson Exemplo: Santa Casa de Misericórdia Os pacientes chegam na emergência da Santa Casa, a uma taxa média de 6 por hora, nas noites de fim de semana Qual é a probabilidade de 4 chegadas em 30 minutos em uma noite de fim de semana? MERCY

Distribuição de Poisson MERCY Distribuição de Poisson Usando a Função de Probabilidade de Poisson μ = 6/horas = 3/meia-hora, x = 4 𝑓 4 = 3 4 (2,71929) −3 4! =0,1680

Distribuição de Poisson MERCY Distribuição de Poisson Usando a tabela de Probabilidade de Poisson μ x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 0,1225 0,1108 0,1003 0,0907 0,0021 0,0743 0,0672 0,0608 0,0550 0,0498 1 0,2572 0,2438 0,2306 0,2177 0,2052 0,1931 0,1815 0,1703 0,1596 0,1494 2 0,2700 0,2681 0,2652 0,2613 0,2565 0,2510 0,2450 0,2384 0,2314 0,2240 3 0,1890 0,1966 0,2033 0,2090 0,2138 0,2176 0,2205 0,2225 0,2237 4 0,0992 0,1082 0,1169 0,1254 0,1336 0,1414 0,1488 0,1557 0,1622 0,1680 5 0,0417 0,0476 0,0538 0,0602 0,0668 0,0735 0,0804 0,0872 0,0940 0,1008 6 0,0146 0,0174 0,0206 0,0241 0,0278 0,0319 0,0362 0,0407 0,0455 0,0504 7 0,0044 0,0055 0,0068 0,0083 0,0099 0,0118 0,0139 0,0163 0,0188 0,0216 8 0,0011 0,0015 0,0019 0,0025 0,0031 0,0038 0,0047 0,0057 0,0081

Distribuição de Poisson MERCY Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson das chegadas Probabilidade de Poisson 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de Chegadas em 30 Minutos Probabilidade Na verdade a sequência continua: 11, 12, …

Distribuição de Poisson Uma propriedade da Distribuição de Poisson é que a média e a variância são iguais 𝜇= 𝜎 2

Distribuição de Poisson MERCY Distribuição de Poisson Variância do número de chegadas durante um período de 30 minutos 𝜇= 𝜎 2 =3

Distribuição Hipergeométrica A distribuição de probabilidade hipergeométrica relaciona-se restritamente com a distribuição de probabilidade binomial Entretanto, para a distribuição hipergeométrica: Os experimentos não são independentes A probabilidade de sucesso se modifica de experimento para experimento

Distribuição Hipergeométrica Função de Probabilidade Hipergeométrica 𝑓 𝑥 = 𝑟 𝑥 𝑁−𝑟 𝑛−𝑥 𝑁 𝑛 para 0≤𝑥≤𝑟 Em que f(x) = probabilidade de x sucessos em n ensaios n = número de experimentos N = número de elementos da população r = número de elementos da população rotulados com sucesso

Distribuição Hipergeométrica Função de Probabilidade Hipergeométrica 𝑓 𝑥 = 𝑟 𝑥 𝑁−𝑟 𝑛−𝑥 𝑁 𝑛 para 0≤𝑥≤𝑟 Representa o número de maneiras pelas quais n – x fracassos pode ser relacionado de um total de N – r fracassos na população Número de maneiras pelas quais x sucessos podem ser relacionados de um total de r sucessos na população quais uma amostra de tamanho n pode ser relacionada de uma população de tamanho N

Distribuição Hipergeométrica Exemplo: Neveready Bob Neveready retirou duas baterias sem carga de uma lanterna e, inadvertidamente, mistura-os com as duas baterias boas que ele separado para substituir. As quatro baterias parecem idênticas Bob agora seleciona aleatoriamente duas das quatro baterias. Qual é a probabilidade que ele tem de selecionar as duas baterias boas? ZAP

Distribuição Hipergeométrica Usando a Função da Distribuição Hipergeométrica 𝑓 𝑥 = 𝑟 𝑥 𝑁−𝑟 𝑛−𝑥 𝑁 𝑛 = 2 2 2 0 4 2 = 2! 2!0! 2! 0!2! 4! 2!2! = 1 6 =0,167 Onde x = 2 = número de baterias boas selecionadas n = 2 = número de baterias selecionadas N = 4 = número de baterias total r = 2 = número de baterias boas no total

Distribuição Hipergeométrica Média 𝐸 𝑥 =𝜇=𝑛 𝑟 𝑁 Variância 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎 2 =𝑛 𝑟 𝑁 1− 𝑟 𝑁 𝑁−𝑛 𝑁−1

Distribuição Hipergeométrica Média 𝜇=𝑛 𝑟 𝑁 =2 2 4 =1 Variância 𝜎 2 =2 2 4 1− 2 4 4−2 4−1 = 1 3 =0,333

Distribuição Hipergeométrica Considere um distribuição hipergeométrica com n experimentos e seja p = (r/n) indicando a probabilidade de sucesso no primeiro experimento Se o tamanho da população é grande, o termo (N – n)/(N – 1) se aproxima de 1 O valor esperado e a variância podem ser descritos como E(x) = np e Var(x) = np(1 – p) Note que estas são as expressões para o valor esperado e variância de uma distribuição binomial

Distribuição Hipergeométrica Quando o tamanho da população é grande, uma distribuição hipergeométrica pode ser aproximada por uma distribuição binomial com n experimentos e uma probabilidade de sucesso p = (r / N)

Exercícios Capítulo 5 Exercícios: 2, 4, 7, 8, 14, 17, 22, 26, 30, 34, 38, 40, 42, 43, 46, 48, 51, 52

Obrigado pela Atenção!!! Lista de Exercícios do Capítulo 5 Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp.br www.marcelobotelho.com