1 – Matrizes: Operações e Propriedades Ensino Superior Álgebra Linear 1 – Matrizes: Operações e Propriedades Amintas Paiva Afonso

Definição de Matrizes Amxn = Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Amxn = = [aij]mxn Elemento da linha i e coluna j Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna matriz A de m linhas e n colunas

Diagonal principal (i = j) TIPOS DE MATRIZES  Matriz quadrada  Diagonais m = n (x linhas = x colunas) Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas. Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j) Elementos da diagonal secundária: 2, 1 e 4 Elementos da diagonal principal: 1, 1 e 2 Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)

Matrizes Triangulares Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos.  Matriz triangular superior  Matriz triangular inferior Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também quando ambos são verdade! Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas. Esta também é uma matriz triangular!

Casos especiais de Matrizes Triangulares. Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas. Chatice hein!  Matriz identidade  Matriz diagonal A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal são todos iguais a um. Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero Chamamos a matriz acima de I3 (identidade de ordem 3) No geral, In onde n é a ordem da matriz. Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.

 Igualdade de Matrizes  Matriz nula  Igualdade de Matrizes Todos os elementos são nulos. Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos correspondentes são iguais. Então essa é O3x4 Caso ao olhar essas duas matrizes e não ver que elas são iguais, favor procurar o oculista. Chamamos a matriz nula de Omxn A Matriz nula não precisa ser quadrada!

Os elementos da transposta são os opostos da original. Transposta  troca de linha por coluna (m x n => n x m ) Matriz A transposta Simétrica  Matriz quadrada tal que At = A = Matriz A transposta Anti-Simétrica  Matriz quadrada tal que At = -A Os elementos da transposta são os opostos da original.

OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B. + = É sempre possível somar matrizes? Não! Somente quando estas forem de mesma ordem. Se liguem, o mesmo vale pra subtração.

Multiplicação por escalar Multiplicação por escalar ( número real qualquer)  multiplicamos todos os elementos da matriz por este número. Matriz A Matriz -2A

Multiplicação de matriz por matriz CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p. Ihhh... Aqui fu...! O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11. O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12. Em geral AB  BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.

Observe, multiplicamos ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o primeiro elemento da elemento com o primeiro da coluna e por aí vai... 2.(-1) + 1.4 2.1 + 1.0 4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.4 5.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4

EXEMPLO 1 12

EXEMPLO 2 13

EXEMPLO 3 14

EXEMPLO 4 15

EXEMPLO 5 16