Relações métricas no triângulo retângulo
Hipotenusa e catetos do triângulo retângulo Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto. Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto. hipotenusa cateto cateto cateto cateto hipotenusa
Outros segmentos do triângulo retângulo a: é a hipotenusa. b e c: são os catetos h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa. m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa. n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa. b c h n m a
A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH.
Os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes. Veja: + = 90º h C B H
(I) + = 90º (II) + + 90º = 180º + = 90º Comparando (I) e (II), tem-se: + = + = . Portanto, = .
(I) + = 90º (III) + + 90º = 180º + = 90º Comparando (I) e (III), tem-se: + = + = . Portanto, = .
A Conclusão Como = e = , os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes pelo caso (AA). h B C H A B C H
1ª relação métrica h c n A H B h b m A H C m b h c h n
2ª relação métrica b c A B C a h b m A H C a b c b m h
3ª relação métrica h c n A H B b c A B C a a b c c h n
4ª relação métrica h c n A H B b c A B C a a b c c h n
Teorema de Pitágoras (5ª relação métrica) Somando, membro a membro, as duas igualdades, tem-se: b c h n m a 2ª relação: b² = m . a 3ª relação: c² = n . a Observe que a = m + n
Teorema de Pitágoras Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A b a² = b² + c² c B a C
Resumo Relações métricas: 1ª) h² = m . n 2ª) b² = m . a b c h 3ª) c² = n . a 4ª) a . h = b . c Teorema de Pitágoras 5ª) a² = b² + c² a m n h b c