Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas Aula 26 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas

Mudança de Variável No Cálculo I (Substituição de variável) onde e Outro modo de escrever é o seguinte:

Coordenadas Polares Onde é a região no plano que corresponde à região no plano

Mudança de variável De modo mais geral, no Cálculo II, consideremos uma mudança de variável dada pela transformação do plano no plano onde ou, como às vezes escrevemos

Transformação inversa Se é injetora, então existe uma transformação inversa do plano para o plano e pode ser possível inverter as equações para escrever em termos de

Transformação e sua Inversa

Exemplo 1 Uma transformação é definida pelas equações Determine a imagem do quadrado

Solução A transformação leva a fronteira de na fronteira da imagem. Assim, começamos por determinar a imagem dos lados de

Solução O primeiro lado, é dado por Das equações dadas, temos e portanto Então é levado no segmento de reta que liga a no plano

Solução O segundo lado, é dado por e substituindo nas equações dadas, temos Eliminando obtemos que é parte de uma parábola.

Solução Da mesma forma, é dado por cuja imagem é o arco parabólico Finalmente, é dado por cuja imagem é isto é,

Solução

Jacobiano Definição: O jacobiano da transformação dada por e é

Mudança de Variáveis em uma Integral Dupla Suponha que seja uma transformação cujo jacobiano seja não nulo e leve uma região do plano para uma região do plano Suponha que seja contínua sobre e que e sejam regiões planas do tipo I ou II. Suponha ainda que seja injetora, exceto possivelmente nos pontos de fronteira de . Então

Exemplo 2 Utilize a mudança de variáveis para calcular a integral onde é a região delimitada pelo eixo e pelas parábolas e

Solução

Solução No Exemplo 1, descobrimos que onde é quadrado A razão que nos levou a fazer a mudança de variável para calcular a integral é que é uma região muito mais simples que O jacobiano é dado por:

Solução Portanto,

Exemplo 3 Calcule a integral onde é a região trapezoidal com vértices e

Solução Como não é fácil integrar diretamente, vamos fazer a mudança de variáveis dada pela forma da função: Essas equações definem a transformação do plano para o plano .

Jacobiano

Região S Para determinar a região do plano correspondente a , observamos que os lados de estão sobre as retas e as retas imagem do plano são Então, a região é a região trapezoidal com vértices e

Solução

Solução

Mudança de variável na integral tripla Definição: O jacobiano da transformação dada por é o determinante

Mudança de variável na integral tripla Sob hipóteses semelhantes àquelas usadas para a mudança de variável na integral dupla, temos a seguinte fórmula para integrais triplas:

Exemplo 4 Utilize a fórmula anterior para deduzir a fórmula para a integração tripla em coordenadas esféricas. Solução: Aqui a mudança de variáveis é dada por

Jacobiano

Jacobiano Como temos Portanto,

Fórmula

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