PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA E.E. Dona Antônia Valadares Matemática 1º Ano TEORIA DOS CONJUNTOS PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA http://donaantoniavaladares.comunidades.net

Conjuntos: Não existe uma definição formalizada do que vem a ser um conjunto. O que temos é uma ideia ou uma noção do que vem a ser um conjunto. De uma maneira geral, temos que um conjunto é tudo aquilo que nos dá uma ideia de lista,coleção, agrupamento ou classe de objetos bem definidos Objetos: Qualquer coisa: números, pessoas, letras, rios, etc... . Elementos ou membros de um conjunto Prof: Alexsandro de Sousa

Exemplo Os números 1, 3, 7 e 10 2. As vogais do alfabeto: a, e, i, o e u 3. As pessoas que habitam a Terra 4. Os alunos que faltaram à aula 5. Os times de futebol do estado de Minas Gerais 6. Os números 2, 4, 6, 8, ... Prof: Alexsandro de Sousa

Conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8...  infinito Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma classe torcem: Brasiliense, Gama, Ceilândia  finito Conjunto dos dias em que uma pessoa pratica natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira  finito Conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8...  infinito Prof: Alexsandro de Sousa

Notação: Conjuntos: Letras maiúsculas: A, B, X, Y, ... Elementos: Prof. Alexsandro de Sousa Notação: Conjuntos: Letras maiúsculas: A, B, X, Y, ... Elementos: Letras minúsculas: a, b, c, d ... Por Extensão, Tabular ou Enumerativa: Descrição pela citação dos elementos: Por Propriedade Característica: A = { x I x é uma pessoa que habita a Terra } Representamos o conjunto através de uma propriedade característica de seus elementos. B = { x I x é um rio do Brasil } X = { x I x é um número primo positivo } Prof: Alexsandro de Sousa

Diagrama de Euler - Venn: o u B 1 3 7 10 Prof: Alexsandro de Sousa

RELAÇÃO DE PERTENÊNCIA Para indicar que um elemento pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10} ... se lê 2 pertenece ao conjunto M ... se lê 5 não pertenece ao conjunto M Prof: Alexsandro de Sousa

a pertence ao conjunto A b A b NÃO pertence ao conjunto A e A w A 2 X 8 X X = { x I x é um número primo positivo } 13 X 1 X 1 Não é um número primo Prof: Alexsandro de Sousa

A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio” ou “A é o conjunto nulo “ CONJUNTOS ESPECIAIS CONJUNTO VAZIO: É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { } A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio” ou “A é o conjunto nulo “ Exemplos: M = { números maiores que 9 e menores que 5 } P = { x / } Prof: Alexsandro de Sousa

É o conjunto que tem um só elemento. CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que tem um só elemento. Exemplos: F = { x / 2x + 6 = 0 } G = ; CONJUNTO FINITO É o conjunto com limitado número de elementos. Exemplos: E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 } N = { x / x2 = 4 } Prof: Alexsandro de Sousa

S = { x / x é um número par } CONJUNTO INFINITO É o conjunto com ilimitado número de elementos. Exemplos: R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par } CONJUNTO UNIVERSAL É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente se representa pela letra U Exemplo: de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS. Prof: Alexsandro de Sousa

RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS INCLUSÃO Um conjunto A está incluso em outro conjunto B, se e somente se, todo elemento de A for também elemento de B. NOTAÇÃO : Se lê : A está incluso em B, A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA : B A Prof: Alexsandro de Sousa

I) Todo conjunto está incluido em si mesmo. PROPRIEDADES: I) Todo conjunto está incluido em si mesmo. II) O conjunto vazio se considera incluido em qualquer conjunto. III) A está incluido em B ( ) equivale a dizer que B contém A ( ) IV) Se A não está incluido em B ou A não é subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A não pertence a B. ( ) V) Simbolicamente: Prof: Alexsandro de Sousa

Conjuntos Iguais : Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos Ex: A = { a, b, c, d, e } B = { a, b, c, d, e } A = B A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 3, 1, 4, 2 } A = B C = D C = { 5, 6, 5, 7 } D = { 7, 5, 7, 6 } A 1 5 7 9 10 B 1 5 7 8 10 A ≠ B Prof: Alexsandro de Sousa

Subconjuntos : A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B . A é subconjunto de B A 1 5 7 9 10 B U A é subconjunto de B A está contido em B B contém A Prof: Alexsandro de Sousa

U B c d A a b e A é subconjunto de B A está contido em B B contém A C não é subconjunto de D C não está contido em D Prof: Alexsandro de Sousa

Conjunto das Partes: Chamamos de conjunto das Partes do conjunto A e representamos por P(A), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. Escrever todos os subconjuntos do conjunto A = {0, 5, 7, 9}. -Subconjunto com nenhum elemento: -Subconjuntos com um elemento: {0}; {5}; {7}; {9} -Subconjuntos com dois elementos: {0,5}; {0,7}; {0,9}; {5,7}; {5,9}; {7;9} -Subconjuntos com três elementos: {0,5,7}; {0,5,9}; {0,7,9}; {5,7,9} -Subconjuntos com quatro elementos: {0,5,7,9} O número total de subconjuntos é igual a 16. Prof: Alexsandro de Sousa

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS União: Dados dois conjuntos A e B chama-se união (ou reunião) entre A e B ao conjunto formado pelos elementos de A ou B. Exemplo: Prof: Alexsandro de Sousa

Diagramas de Venn representativos da união entre A e B. Prof: Alexsandro de Sousa

Intersecção: Dados dois conjuntos A e B chama-se intersecção entre A e B ao conjunto formado pelos elementos comuns entre A e B, isto é, pelos elementos que Pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Exemplo: Prof: Alexsandro de Sousa

Diagramas de Venn representativos da intersecção entre A e B. Prof: Alexsandro de Sousa

Diferença: Dados dois conjuntos A e B chama-se diferença entre A e B ao conjunto formado pelos elementos do conjunto A que não pertencem ao conjunto B. Exemplo: Prof: Alexsandro de Sousa

Diagramas de Venn representativos de A - B. Diagramas de Venn representativos de B - A. Prof: Alexsandro de Sousa

Complementar: Exemplo: MATEMÁTICA Prof. Alexsandro de Sousa

Diagrama de Venn para Prof. Alexsandro de Sousa

Problemas Envolvendo Conjuntos. MATEMÁTICA Prof. Alexsandro de Sousa Problemas Envolvendo Conjuntos. Exemplos: As provas de recuperação em matemática e física de uma escola foram feitas no mesmo dia e durante a prova, observou-se a pre- sença de 42 alunos. Sabendo-se que 25 alunos fizeram a prova de matemática e 32 fizeram a de física, determine: O número de alunos que fizeram as duas provas; O número de alunos que fizeram apenas a prova de matemática; O número de alunos que fizeram apenas a prova de física. Prof: Alexsandro de Sousa

Numa pesquisa sobre a qualidade dos serviços oferecidos pelas empresas de fornecimento de água (A), energia elétrica (E) e TV por assinatura (T) de um bairro, obteve-se um grande número de reclamações. A tabela a seguir expressa o número de reclamações de 300 entrevistados durante a pesquisa. MATEMÁTICA Prof. Alexsandro de Sousa Com base na tabela, determine: O número de pessoas que não reclamaram de nenhum serviço; O número de entrevistados que reclamaram apenas do serviço oferecido pela empresa de fornecimento de água; c) O número de entrevistados que reclamaram de apenas um serviço; d) O número de entrevistados que reclamaram de pelo menos dois serviços. Prof: Alexsandro de Sousa