Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Aula 25 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas
Coordenadas Esféricas Outro sistema de coordenadas tridimensionais útil é o sistema de coordenadas esféricas. Ele simplifica o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas e cones.
Coordenadas Esféricas
Coordenadas Esféricas O sistema de coordenadas esféricas é útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto.
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Relação entre Coordenadas esféricas e retangulares
Conversão Para converter de coordenadas esféricas para retangulares, usamos as equações Para converter de coordenadas retangulares para esféricas, usamos a equação
Exemplo 1 O ponto é dado em coordenadas esféricas. Marque o ponto e encontre suas coordenadas retangulares. Solução:
Exemplo 1 Logo, o ponto em Coordenadas retangulares é
Exemplo 2 O ponto está dado em coordenadas retangulares. Encontre coordenadas esféricas para este ponto.
Exemplo 2 Da equação temos logo
Exemplo 2 Obs: Logo, as coordenadas esféricas do ponto dado são
Integrais Triplas em coordenadas esféricas Nesse sistema de coordenadas à caixa retangular é uma cunha esférica onde
Integrais Triplas em coordenadas esféricas
Fórmula para Integração Tripla em coordenadas cilíndricas onde é um cunha esférica dada por
Extensão da fórmula A fórmula anterior pode ser estendida para incluir regiões esféricas mais gerais, como
Exemplo 3 Calcule onde é a bola unitária:
Exemplo 3 Solução: como a fronteira de é uma esfera, utilizaremos coordenadas esféricas: Além disso, as coordenadas esféricas são convenientes, pois
Exemplo 3
Exemplo 3 Seria extremamente complicado calcular a integral sem coordenadas esféricas. Com coordenadas retangulares, a integral seria
Exemplo 4 Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado pelo cone e pela esfera (veja a figura).
Exemplo 4
Exemplo 4
Solução Note que a esfera passa pela origem e tem centro em Escrevemos a equação da esfera em coordenadas esféricas como
Solução A equação do cone pode ser escrita como Isto dá ou Logo, a descrição do sólido em coordenadas esféricas é
Solução
Solução
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