Maria Isabel Ribeiro António Pascoal INTRODUÇÃO AO CONTROLO 1º semestre – 2011/2012 Cap 5 – Estabilidade Transparências de apoio às aulas teóricas Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

Objectivo e Sumário Referências Estabilidade de SLITs no sentido BIBO Definição Exemplos motivadores A estabilidade e a localização dos pólos Critério de Routh-Hurwitz Exemplos Referências Cap.3 (Secção 3.7) – do livro de Franklin, Powel, Naemi, 5ª edição (referência principal)

Exemplo motivador (controlo veloc. motor corrente contínua) Sistema de controlo de velocidade angular de um motor de corrente contínua Ea(s) Wm(s) Dinâmica da velocidade angular Esquema proposto de controlo Ea(s) Wm(s) + k _ R(s) Como é a resposta a uma entrada de comando escalão unitário ?

Exemplo motivador (controlo veloc. motor corrente contínua) Como é a resposta a uma entrada de comando escalão unitário ? Transforma de Laplace unilateral inversa para Resposta natural Resposta forçada

Exemplo motivador (controlo veloc. motor corrente contínua) Escolha do ganho k do controlador A) k = 2 B) k = -2 Resposta natural tende para infinito - sistema instável - Resposta natural tende para zero - sistema estável - Polo em +1 rads-1 (positivo) Polo em –3 rads-1 (negativo) Resposta natural + resposta forçada Resposta natural + resposta forçada

BI = Bounded Input BO = Bounded Output Sistema BIBO estável Estabilidade BIBO BI = Bounded Input BO = Bounded Output Sistema BIBO estável sse para qualquer entrada limitada, a saída é um sinal limitado

Estabilidade BIBO Y(s) limitado ilimitado U(s) Y(s) Resposta a sinais limitados (BI = Bounded Inputs) U(s) Y(s) Transformada inversa de Laplace Considera-se u(t) limitado Y(s) Pergunta: A resposta natural é limitada (BO=Bounded Output)? Localização dos pólos de G(s) determinam o comportamento qualitativo da resposta natural ESTABILIDADE INSTABILIDADE Pólos de G(s) com parte real negativa Pólos de G(s) com parte real positiva Resposta natural tende para zero Resposta natural explode limitado ilimitado

Multiplicidade superior a 1 ESTABILIDADE MARGINAL Estabilidade BIBO Resposta a sinais limitados (BI = Bounded Inputs) Pólos de G(s) com parte real = 0 Multiplicidade 1 Multiplicidade superior a 1 Resposta natural exibe termo constante (polo real) ou oscilatório (par de pólos complexos conjugados) Resposta natural explode ESTABILIDADE MARGINAL INSTABILIDADE

Sistema BIBO estável SISTEMA ESTÁVEL SISTEMA ESTÁVEL RESPOSTA NATURAL TENDE PARA ZERO SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA ESTÁVEL PÓLOS DE G(s) COM PARTE REAL NEGATIVA

Sistema BIBO instável SISTEMA INSTÁVEL SISTEMA INSTÁVEL RESPOSTA NATURAL EXPLODE (É NÃO LIMITADA) SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA INSTÁVEL PELO MENOS UM PÓLO G(s) COM PARTE REAL POSITIVA, OU PÓLOS SOBRE O EIXO IMAGINÁRIO COM MULTIPLICIDADE MAIOR DO QUE UM

Sistema BIBO marginalmente estável SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL RESPOSTA NATURAL EXIBE TERMO CONSTANTE, OU É OSCILATÓRIA (com oscilações de amplitude constante) HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA QUE PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA SAÍDA QUE PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL G(S) TEM PÓLOS COM PARTE REAL NULA E MULTIPLICIDADE 1 E NÃO TEM PÓLOS NO SPCD

Respostas naturais: exemplos Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

Respostas naturais: exemplos Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

Respostas naturais: exemplos Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

Como estudar a estabilidade BIBO dos sistemas Determinar a localização dos pólos Factorizar o polinómio denominador da F.T. Pode não ser fácil para ordens elevadas Usar Matlab É preciso saber a localização exacta dos pólos? Ou basta saber se há polos no spcd ou sobre o eixo imaginário? Critério de Routh-Hurwitz Permite concluir sobre a establidade BIBO sem factorizar o polinómio denominador de G(s)

Estabilidade BIBO Caracterizar a estabilidade do SLIT com FT G(s) Código matlab >> d=[1 4 3 2 1 4 4]; >> p=roots(d) p = -3.2644 0.6797 + 0.7488i 0.6797 - 0.7488i -0.6046 + 0.9935i -0.6046 - 0.9935i -0.8858 2 pólos no spcd SLIT instável

Estabilidade BIBO (sistema de 1ª ordem) Exemplo sistema de 1ª ordem: Sistema de controlo de velocidade angular de um motor de corrente contínua Ea(s) + Wm(s) k _ R(s) Pólo = p= -(1+k) Sistema estável sse Num sistema de primeira ordem, é condição necessária e suficiente para o sistema ser BIBO estável que os coeficientes do polinómio denominador sejam todos positivos Para k>-1, os coeficientes do polinómio denominador são positivos.

Estabilidade BIBO (sistema de 2ª ordem) Exemplo sistema de 2ª ordem: Sistema de controlo de posição angular de um motor de corrente contínua Dinâmica da velocidade angular Integrador(posição angular é o integral da velocidade angular) Ea(s) Qm(s) + Wm(s) K _ R(s) 2 pólos Hipóteses possíveis 2 pólos reais 2 pólos complexos conjugados

Estabilidade BIBO (sistema de 2ª ordem) Exemplo sistema de 2ª ordem: Sistema de controlo de posição angular de um motor de corrente contínua 2 pólos Hipóteses possíveis 2 pólos reais 2 pólos complexos conjugados Num sistema de segunda ordem, é condição necessária e suficiente para o sistema ser BIBO estável que os coeficientes do polinómio denominador sejam todos positivos NÃO É GENERALIZÁVEL PARA ORDENS SUPERIORES

Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz ESTABILIDADE: G(s) é estável sse todos os pólos tiverem parte real negativa. CONDIÇÃO NECESSÁRIA: os coeficientes do polinómio denominador devem ter todos o mesmo sinal NÃO É UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE! Se os coeficientes do polinómio denominador tiverem todos o mesmo sinal (todos positivos ou todos negativos) e estiverem todos presentes É preciso fazer ANÁLISE DE CRITÉRIOS PARA ESTUDO DE ESTABILIDADE CRITÉRIO DE HURWITZ– uma condição necessária (mas não suficiente) de estabilidade BIBO de um SLIT causal é que todos os coeficientes do polinómio denominador da FT sejam positivos (ou tenham o mesmo sinal)

Estabilidade. Critério de Hurwitz: exemplos Os coeficientes não têm todos o mesmo sinal. Sistema não estável Há um coeficiente que é nulo. O sistema não é estável Pode ser instável ou marginalmente estável Os coeficientes têm todos o mesmo sinal Só pelo critério de Hurwitz não é possível tirar conclusões sobre estabilidade

Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz Construção da tabela de Routh Y(s) U(s) TABELA INICIAL As duas primeiras linhas são construídas a partir dos coeficientes do polinómio denominador de G(s)

Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz Construção da matriz de Routh TABELA DE ROUTH COMPLETADA

Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz Um SLIT é estável sse todos os elementos da coluna pivot da tabela de Routh tiverem o mesmo sinal (*) O número de pólos no semiplano complexo direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh. (*) e, na construção da matriz de Routh, não tiver havido zeros na coluna pivot

Critério de Routh-Hurwitz: Exemplo + _ R(s) C(s) Todos os coeficientes positivos Critério de Hurwitz não permite concluir sobre establiade Na construção da tabela de Routh podemos simplificar os cálculos multiplicando todos os elementos de uma linha por uma constante positiva Critério de Routh 2 mudanças de sinal na primeira coluna da tabela 2 pólos no semiplano complexo direito: SISTEMA INSTÁVEL

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Zeros só na primeira coluna.

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Um zero só na primeira coluna da tabela de Routh EVOLUÇÃO DOS SINAIS DA COLUNA1 2 mudanças de sinal 2 pólos no semiplano complexo direito SISTEMA INSTÁVEL

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Uma linha de zeros na tabela de Routh Aplicação do Critério de Hurwitz Sistema não estável Será marginalmente estável ou instável ? A tabela de Routh permite responder a essa pergunta Sucede quando D(s) tem pólos simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Uma linha de zeros na tabela de Routh Sucede quando D(s) tem pólos simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário Código Matlab >> d=[1 2 -1 -2]; >> p=roots(d) p = 1.0000 -2.0000 -1.0000

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Uma linha de zeros na tabela de Routh As raízes deste polinómio estão simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário As raízes deste polinómio são pólos de G(s) Polinómio auxiliar 1 mudança de sinal na coluna pivot 1 polo no semiplano complexo direito SISTEMA INSTÁVEL

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 1

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 1 O comportamento da tabela de Routh depois da linha correspondente ao polinómio auxiliar Q(s) é resultado dos zeros desse polinómio auxiliar Na coluna pivot, depois do polinómio auxiliar, não há trocas de sinal O polinómio auxiliar não tem raízes no semi-plano complexo direito (SPCD) >> q=[1 0 3 0 2]; >> r=roots(q) r = 0 + 1.4142i 0 - 1.4142i 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i Por simetria, o polinómio auxiliar Q(s) não tem raízes no SPCE Q(s) tem 4 raízes no eixo imaginário

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 1 Análise das outras raizes – linhas Duas trocas de sinal 2 pólos no SPCD 2pólos no SPCE Do polinómio auxiliar 2 pares de pólos sobre o eixo imaginário SISTEMA INSTÁVEL

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 2 Controlo de um sistema instável em malha aberta Sistema a Controlar Controlador + _ Objectivo: Fazer análise de Estabilidade como função de K + _ Função de Transferência em Cadeia Fechada

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 2 Condição de estabilidade: Sistema Estável (é preciso ganho elevado para estabilizar o sistema instável!)

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 3 Controlador PI (Proporcional Integral) Sistema a Controlar + + _ + Controlador PI (Proporcional Integral) + _ Que valores de K e KI garantem que o sistema em cadeia fechada é estável?

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 3 s3 1 2+K s2 3 KI s1 s0 Condições necessárias e suficientes de estabilidade -2

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 3 Resposta a entrada escalão do sistema em cadeia fechada Ambos têm erro estático nulo KI=0 Controlador P (proporcional) Erro estático é não nulo