Campus de Caraguatatuba Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 10 Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 5: Matrizes (2)

Determinante (1) Seja uma matriz quadrada A, então pode-se estabelecer seu determinante, que é um escalar denotado por |A| e é definido como se segue, Onde o elemento é o j-ésimo elemento da i-ésima linha e |Aij| é a matriz obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. (i = 1). Obs.: Pode-se eliminar qualquer linha.

Determinante (2) Exemplo 1: Seja a matriz A ao lado. Eliminando-se a primeira linha.

Determinante (3) Há alguns casos especiais de cálculo de determinantes. Matriz A de ordem 2. Exemplo 2: Cálculo do |A|.

Determinante (4) Matriz A de ordem 3: Exemplo 3: Cálculo do |A|.

Determinante (5) Sintetizando, Determinante de uma Matriz A de ordem 2. Determinante de uma Matriz A de ordem 3.

Operações Elementares em Linhas (1) Há três operações elementares realizadas nas linhas de uma matriz. Permuta da i-ésima linha pela j-ésima linha (Li ⇔ Lj) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k (Li ⇒ k.Li)

Operações Elementares em Linhas (2) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (Li ⇒ Li + k.Lj) Matrizes Equivalentes: Dadas duas matrizes A e B, de ordem m x n, diz-se que B é linha equivalente a A, se B é obtida de A por meio de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A, e denota-se isso por A ⇒ B ou A ∼ B.

Operações Elementares em Linhas (3) Seja A uma matriz m x n. Diz-se que a matriz A está em Forma de Escada (ou em Escada de Linhas) se, para cada linha da matriz se verifica: Caso 1 – Se a linha i é nula Então para todo r > i, a linha r é nula; e Caso 2 – Se a linha i não é nula Então se ais é o primeiro elemento não nulo da linha i (chamado de pivot) então para todo l > i e para todo c ≤ s, alc = 0. A matriz A está na Forma Condensada (ou em Escada de Linhas Reduzida) se está em forma de escada e para cada linha i O pivot é a identidade; e Se ais é o pivot, então para todo l < i, als = 0.

Operações Elementares em Linhas (4) Exemplo 4: A matriz apresentada a seguir está em forma de escada. Exemplo 5: A matriz apresentada a seguir está em forma condensada.

Operações Elementares em Linhas (5) Propriedade de uma matriz qualquer: Toda matriz pode ser transformada, por meio de operações elementares, numa matriz em forma de escada ou em uma matriz condensada. Exemplo 6: Transformação para a forma condensada.

Matriz Inversa (1) Se |A| = 0, denomina-se a matriz A de Matriz Singular. Caso contrário, ela é chamada de Matriz Não Singular. Seja A uma matriz quadrada de ordem n não singular, como apresentada a seguir. Há uma matriz A-1, chamada de Matriz Inversa de A, de tal forma que AA-1 = A-1A = In, onde In é a Matriz Identidade de ordem n.

Matriz Inversa (2) Exemplo 7: Seja as matrizes A e A-1, dadas a seguir. Então tem-se que

Matriz Inversa (3) Caso Especial: Inversa de uma matriz A de ordem 2. Exemplo 8: Seja a matriz A dada a seguir. Encontrar A-1.

Matriz Inversa (4) Exemplo 9: Achar a inversa de matriz A de ordem 3, apresentada a seguir. Pode-se achar a inversa dessa matriz fazendo-se uso da seguinte informação: Uma matriz A de ordem n é inversível se e somente se A é linha equivalente a I (matriz identidade) e, nesse caso, toda sequência de operações elementares que transforma A em I também transforma I em A-1. Caso se posicione as matrizes A e I lado a lado, formando a matriz [A I] então as operações elementares nessa matriz produzem operações idênticas em A e I. Ou existem operações elementares que transformam A em I e I em A-1 ou, a matriz A não é inversível.

Matriz Inversa (5) O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito, como se segue, O objetivo agora é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1. Com essa operação, consegue-se 1 no elemento a11 (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda, como se segue. E os elementos  a12  e  a13  tornaram-se nulos.

Matriz Inversa (6) Fazer as próximas operações: 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1. 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2. Com as operações acima, os elementos a12  e  a13 tornaram-se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária. 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3. Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade.

Matriz Inversa (7) Fazer as próximas operações: 3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1. Multiplicação executada para fazer 1 no elemento a12 da matriz esquerda. 2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1. Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada matriz identidade no lado esquerdo.

Matriz Inversa (8) Finalmente,  a matriz inversa é a parte da direita da matriz [I A-1]

Matriz Inversa (9) Há algumas propriedades especiais para matrizes inversas (as matrizes A, B e C são tais que as suas inversas existam e os produtos sejam definidos). (A−1)T = (AT)−1 (AB)−1 = A−1 + B−1 Se a inversa de uma matriz A existe, então |A| �= 0.

Matriz Ortogonal (1) Uma matriz quadrada A é denominada ser uma Matriz Ortogonal se suas linhas, consideradas como vetores, são mutuamente perpendiculares e de comprimento 1, o que equivale a dizer que AAT = I. Exemplo 10: Seja a matriz A apresentada a seguir. Ela é uma matriz ortogonal. Obs.: Uma matriz A é ortogonal, se e somente se, AT = A−1.

Matriz Ortogonal (2) Exercício 1: Seja a matriz A apresentada a seguir. Mostrar que ela é uma matriz ortogonal. Lembrar que uma matriz ortogonal, AAT = I.

Rank de Matriz (1) O rank (posto) de uma matriz A de ordem m x n é fornecido pelo número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes (LI) da matriz A. Exemplo 11: Seja a matriz A apresentada a seguir. Neste exemplo, todas as colunas ou linhas da matriz A são linearmente independentes (LI).

Rank de Matriz (2) Exemplo 12: Seja a matriz B apresentada a seguir. Neste exemplo, a primeira coluna da matriz B é uma combinação linear das demais, ou seja, essa coluna não é linearmente independentes (LI).

Rank de Matriz (3) Uma outra forma de se determinar o rank de uma matriz A é contabilizar o número de linhas nulas que se obtém a partir de uma nova matriz B em forma de escada que possa ser obtida a partir de A por meio de operações elementares. Exemplo 13: A matriz apresentada a seguir tem rank = 2, pois está em forma de escada e tem duas linhas não nulas.

Rank de Matriz (4) Exemplo 14: Determinar o rank da matriz A apresentada a seguir. Para contabilizar o rank, da matriz A, deve-se transforma- la, por meio de operações elementares, numa matriz em forma de escada. Faz-se então as seguintes operações: L2 ⇒ L2 + L1 ⇒ (1/2)(L2 + L1) L3 ⇒ L3 + (-1)L1

Rank de Matriz (5) Na matriz B faz-se então as seguintes operações: L1 ⇒ L1 + (-2)L2, L3 ⇒ (1/8)L3 L1 ⇒ L1 + 3L3, L2 ⇒ L2 + (-2)L3 Obtém-se então 3 linhas não nulas. Logo, o rank da matriz A é 3.

Traço de Matriz (1) Seja uma matriz quadrada A de ordem k, então pode-se definir o traço de A, denotado por tr(A), como sendo dado pela soma dos elementos de sua diagonal principal. Exemplo 15: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir. )

Traço de Matriz (2) Há algumas propriedades envolvendo o traço de uma matriz. Propriedades: Seja  um escalar, A e B matrizes, então tr(A) = tr(A); tr(A ± B) = tr(A) ± tr(B); tr(AB) = tr(BA); tr(B−1 AB) = tr(A); e tr(AA′) =� .