ICET/CUA/UFMT Profº: Glauco Vieira de Oliveira Estatística Geral Estatística Descritiva 1: - Medidas de Posição (Medidas de tendência central) Cap. 8 – Martins, G. A. & Donaire, D. Princípios de Estatística. 1990. Cap. 29 –Dante, L. R. Matemática: contexto e aplicações . Vol. Único, 2009. Cap. 3.- Barbetta et al, Estatística para Cursos de Engenharia e Informática, 2004 ICET/CUA/UFMT Profº: Glauco Vieira de Oliveira

Medidas de posição ou medidas de tendência central Introdução Objetivo da estatística: Encontrar leis do comportamento para todo o conjunto, sem se preocupar com cada um dos dados elementos em particular. Medidas de posição ou medidas de tendência central: Valores médios (exemplos) a partir da idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo; Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só temperatura que fornece uma idéia aproximada de todo o período. Nota de vários trabalhos em um semestre: sintetizado em uma só nota USO MAIS COMUM: MÉDIA ARITMÉTICA OUTRAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MEDIANA e MODA Nota: o uso da média, moda ou mediana é mais ou menos conveniente conforme a situação Problemas de contagem - pois interessa-nos aqui, calcular quantos e não necessariamente quais.

MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS NÃO-AGRUPADOS Ex 1: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que: MA = 22 + 20 + 21 + 24 + 20 = 107 = 21,4 anos 5 5 Ex 2: registro de temperaturas em um determinado local: 14°C às 6h, 15º as 7h, 15ºC às 8h, 18º às 9h, 20º às 10h e 23º às 11h, observamos que: MA = 14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23 = 105 = 17,5ºC 6 6 Ex 3: um aluno realizou diversos trabalhos durante um bimestre e obteve as notas: 7,5; 8,5; 10,0; 7,0 Generalizando: Lembrando que n é o numero de elementos da amostra MA = x1 + x2 + x3 + ...+xn = x n n

MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS AGRUPADOS (média aritmética ponderada) Ocorre Quando: Os dados possuem “pesos” diferentes Os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüências Ex 1: média aritmética ponderada. Um aluno recebeu a seguinte pontuação no semestre: Prova: 6,5 (peso 2); Trabalho Individual: 7,0 (peso 3); debate: 6,0 (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2). Sua média será: Quando calculado a média aritmética de nº que se repetem (dados por sua frequencia absoluta): Ex 2: calcule a média aritmética de 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, e 11 MA = 2 . 6,5 + 3 . 7,0 + 1 . 6,0 + 2 . 7,0 = 54 = 6,75 2 + 3 + 1 + 2 8 Lembrando que n é o numero de elementos da amostra MA = 3 . 7 + 5 . 9 + 2 . 11 = 88 = 8,8 3 + 5 + 2 10

MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS AGRUPADOS (média aritmética ponderada) Exemplo dada a seguinte distribuição amostral: Determine a média Dispositivo Prático: Xi 1 2 3 4 Fi 5 Exemplo: Determine o peso médio de um grupo de pessoas (média de uma distribuição populacional) Peso (kg) 40 a 44 44 a 48 48 a 52 52 a 56 56 a 60 Fi 1 3 7 6 Xi Fi xiFi 1 2 3 6 5 15 4  10 26 Classes Fi Xi (PM) 40 |--- 44 1 42 44 |--- 48 3 46 48 |--- 52 7 50 52 |--- 56 6 54 56 |--- 60 58 Total 20 xiFi 42 138 350 324 174 1028 (diferenciar variável de distribuição discreta e continua) Resposta: média 51,4kg

Transformação de dados A transformação de dados é um método utilizado para facilitar e padronizar um conjunto de dados em vários tipos de procedimentos estatísticos. Um método utilizado abaixo é utilizado quando a amplitude dos dados é constante. fórmula: Onde: Xi = valores da variável X0 = constante arbitrária tomada convenientemente H = amplitude entre os valores ou intervalo de classes Zi = “valores transformados” Exemplo: Dada a distribuição abaixo calcule os zi correspondentes aos xi considerando x0 = 21, (h=2) . Xi Fi Zi 17 8 -2 19 12 -1 21 15 23 7 1 25 5 2  47 ziFi -16 -12 7 10 -11 Uma forma de padronização é a % xi 17 19 21 23 25 Fi 8 12 15 7 5

Transformação de dados Exercício 2: Recalcule o valor de zi e  ziFi, considerando x0 = Média aritmética do conjunto de dados do exemplo anterior. Utilize: Xi Fi 17 8 19 12 21 15 23 7 25 5  47 XiFi 136 228 315 161 125 965 Zi ziFi -1,77 -14,13 -0,77 -9,19 0,234 3,51 1,234 8,64 2,234 11,17 1,17 Propriedade da média aritmética “o somatório dos desvios em relação a sua média é igual a zero” considerando n elementos de uma pop ou amostra Propriedade da média aritmética “o somatório dos desvios em relação a sua média é igual a zero” considerando n elementos de uma População ou Amostra

Transformação de dados Exercício 3: Recalcule o valor de zi e  ziFi, considerando x0 = Média aritmética do conjunto de dados do exemplo anterior. Utilize: Desvio em relação a média Xi Fi xiFi Zi ziFi 17 8 136 -3,53 -28,26 19 12 228 -1,53 -18,38 21 15 315 0,47 7,02 23 7 161 2,47 17,28 25 5 125 4,47 22,34  47 965 2,34 Propriedade da média aritmética “o somatório dos desvios em relação a sua média é igual a zero” considerando n elementos de uma pop ou amostra Propriedade da média aritmética “o somatório dos desvios em relação a sua média é igual a zero” considerando n elementos de uma População ou Amostra

Média Geral A média aritmética de várias séries estatísticas diferentes chama-se de Média Geral Fórmula Em que: XG = Média geral nj = nºs de termos de cada série Xj = médias aritméticas de k séries Exemplo Sejam as séries: (Obs: MA = Média Aritmética) 4, 5, 6, 7, 8 onde n1 = 5 e MA = 6 1, 2, 3 onde n2 = 3 e MA = 2 9, 10, 11, 12, 13 onde n3 = 5 e MA = 11 A média Geral será: É uma média aritmética ponderada

Média Geométrica A média geométrica é muito utilizada para resolver problemas de que envolvem calculo de áreas ou quando os dados se desenvolvem segundo uma progressão geométrica. Fórmula Em que: Mg = Média geométrica n = Fi x1, x2, x3, ..., xn = valores de X, associados às frequencias absolutas (F1, F2, ...Fn) É uma média artmética ponderada Quando F1 = F2 = F3 = ... = Fn = 1, temos: Exemplo 1 Calcular a média geométrica dos valores 3, 6, 12, 24, 48. .

Obs. A aplicação direta da fórmula acarreta um grande nº de operações Média Geométrica Exemplo 2 Calcular a média geométrica para a distribuição: Solução 1 (aplicando a fórmula direta) Solução 2 (uso de logaritmos) Aplicando log de Mg temos: Assim: Xi 1 2 3 5 Fi 8 6 Obs. A aplicação direta da fórmula acarreta um grande nº de operações É uma média artmética ponderada log Mg = 0,2858 → utilizando a função 10x da calculadora Mg = 1,9311

Média Geométrica Exemplo 3 Apresentado os dados de determinado produto e seu respectivo consumo em um período inflacionário, calcule o preço médio por trimestre do artigo durante o ano. Solução 1 (aplicando a fórmula direta) Solução 2 (faça o cálculo de Mg aplicando a forma logarítimica) Consumo Preço 1º Trimestre 200 caixas $ 30,00 2º Trimestre 100 caixas $ 100,00 3º Trimestre $ 200,00 4º Trimestre $ 500,00 É uma média artmética ponderada

Média Harmônica A média Harmônica é particularmente recomendada para série de valores que são inversamente proporcionais, como por exemplo: velocidade média, tempo médio de escoamento de estoques, custo médio de bens comprados com uma quantia fixa etc Fórmula Em que: Mh = Média Harmônica nj = nºs de termos de cada série Xi = valores de X (x1, x2, ...xn), associados às frequencias absolutas (F1, F2, ...Fn) É uma média artmética ponderada Exemplo 1 Calcular a média harmônica para 2, 5, 8. Então: .

Para pensar: e quando as distancias percorridas não são iguais? Média Harmônica Exemplo 2 Um vendedor viaja da cidade A para a cidade B a 50 km/h e volta a 90 km/h. Determinar a velocidade de toda a viagem. Para pensar: e quando as distancias percorridas não são iguais? Exemplo 3 Em uma pesquisa sobre a duração de certa pasta dental junto a 50 famílias do mesmo tamanho e classe social os resultados foram os abaixos descritos. Calcular a duração média da pasta dental. (PM = Ponto médio) Observação: se as distancias percorridas não forem iguais, devemos utilizar a média harmônica ponderada onde as freqüências ou pesos serão respectivos as distancias. Dias Nº de famílias Xj (PM) 10/12 8 11 12/14 12 13 14/16 50 15 16/18 10 17

Média Harmônica Exemplo 4 Uma pessoa comprou em três trimestres consecutivos combustível aos seguintes preços: $ 5,00, $ 6,00 e $ 8,00 o litro respectivamente. Determinar o custo médio (CM) em todo o período considerado. Para pensar: A pergunta acima não oferece alguns dados importantes para o calculo da média, qual ou quais seriam eles? Hipótese 1: Considerando o mesmo consumo em litros (ex: 40 litros de combustível) temos: Este valor corresponde a média aritmética dos preços dos litros: Hipótese 2: Considerando o mesmo consumo monetário (ex: $240/trimestre) temos: Este valor corresponde a média harmônica dos preços dos litros: $5<$6<$8 e x>y>z sendo x, y z as quantidades de combustível comprado a $5, $6 e $7 para um determinado valor fixo.

Mediana Colocados os dados em ordem crescente ou decrescente, é o elemento que ocupa a posição central. A mediana será: a) O elemento que ocupar a posição central se n for impar; b) A média aritmética dos dois elementos que estiverem no centro se n for par Exemplo 1 Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7 Em ordem crescente temos: 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7  (7 elementos) Me (7 elementos) Como 15 é impar, o termo médio é o 8º Generalizando: - Quando n é impar a mediana será o elemento de ordem (n + 1)/2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15  posição das variáveis ordenadas É uma média artmética ponderada

Mediana Exemplo 2 As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos Em ordem crescente temos: 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17  (duas posições centrais) Como temos um nº par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, que são o 4º e o 5º termos. Logo a mediana é dada por: Me = (14 + 16)/2 = 30/2 = 15 Generalizando: - Quando n é par a mediana será a média entre os elementos centrais de ordem n/2 e (n/2 + 1). É uma média artmética ponderada

Moda A moda (Mo) é a medida de tendência central definida como valor mais frequente de um grupo de valores observados Exemplos Pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos. Mo = 2 Notas obtidas: 6,0; 7,5; 7,5; 5,0 e 6,0. Neste caso dizemos que a moda é 6,0 e 7,5, e que a distribuição é bimodal. Observação: Quando não há repetição de números, como por exemplo, para os números 7, 9, 4, 5 e 8, não há Moda. É uma média artmética ponderada

Mediana e Moda a partir das tabelas de frequencias e dados agrupados em classes Exemplo Anterior: Pesquisa sobre o “peso” (kg) de um grupo de pessoas MA = 1028/20 = 51,4 kg Moda: A maior frequencia, 7, indica que o intervalo 48 |--- 52, representado pelo ponto médio (PM = 50) logo Mo = 50 Mediana: Total das freqüências é par (20); Valores centrais estão na 10ª e 11ª posição Com auxílio da tabela abaixo Me = 50 + 50 = 50 kg 2 Fac: freq. acum. crescente Classes Fi 40 |--- 44 1 44 |--- 48 3 48 |--- 52 7 52 |--- 56 6 56 |--- 60 Total 20 Xi (PM) xiFi 42 46 138 50 350 54 324 58 174 1028 PM Fac 42 1 46 4 50 11 54 17 58 20 É uma média artmética ponderada