Evidência e Credibilidade: Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas

Objetivo Definições Cálculo do teste Exemplo Comentários Bibliografia Evidência e Credibilidade: Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas Objetivo Definições Cálculo do teste Exemplo Comentários Bibliografia

Objetivo Apresentar uma medida de evidência bayesiana (bayesiana porque trabalha com priores e posteriores) para hipótese nula precisa. A intenção é dar uma alternativa bayesiana para testes de significância.

Definições Hipóteses precisas: Temos uma hipótese precisa quando Ho (que chamamos de hipótes nula) apresenta um valor fixo. Exemplo: Ho :  = 0.3 vs H1:   0.3 , (onde  representa a média de uma população) P-valor: medida de evidência dos dados ,dado que a hipótese nula é verdadeira Probabilidade posteriori: probabilidade condicional de  (parâmetro da distribuição) depois que observamos os dados .

Definições Fator de Bayes: O fator de Bayes consiste na divisão entre a razão das densidades posteriores de 0 e 1 pela razão das priores 0 e 1 .Essa medida é usada em favor da hipótese nula, como veremos abaixo: B= (0/x)/(1/x) 0 / 1

Definições Confiabilidade de um conjunto: Seja C um subconjunto de  tal que, C=    : (/x)  K(),onde K() é a maior constante tal que, P(C/x)  1-  P(C/x)= c (/x)d ,caso contínuo e =  (/x) , caso discreto C P(C/x) é a medida de confiabilidade do conjunto C.

Definições Medida de evidência bayesiana - Ev (H) É uma medida de evidência dos dados a favor da hipótese nula, ou seja, quanto podemos acreditar que a hipótese nula proposta pelo teste é verdadeira. Ev (H)=1 – K*

Cálculo de Ev (H) Definimos o teste de hipótese: Ho :  = 0 vs H1:   0 , 0    Rn,  - representa a média de uma população X  - espaço paramétrico Observamos uma amostra aleátoria de tamanho n da população X = (x1 , x2 ,...... , xn ) Consideramos  como uma variável aleatória e definimos uma priori para  que chamamos de 0

Cálculo de Ev (H) Depois de observar os dados calculamos a função densidade posteriori , (/x).Discutiremos nesse trabalho testes de hipótese precisa sob absoluta continuidade do modelo de probabilidade posteriore. Definimos um conjunto T como sendo um subconjunto do espaço paramétrico,cuja a densidade posteriori é maior que  .

Cálculo de Ev (H) Calculamos a confiabilidade de T : K*= T (/x), (integramos em todo  cuja posteriore é maior que ) Calculamos f* (f*=f(*) ) que é o máximo da densidade posteriore sob a hipótese nula, ou seja, encontramos o * que maximiza a posteriore de , o valor f* será o  definido anteriormente.

Cálculo de Ev (H) Temos então o nosso T como o conjunto tangente à hipótese nula,cuja confiabilidade é K*, ou seja , temos o conjunto dos ’s, cuja posteriore é maior que f*=  . Calculamos Ev (H)=1- K* e podemos concluir que : se temos T com alta probabilidade, significa uma baixa probabilidade para a região da hipótese nula.

Cálculo computacional de Ev (H) Calculamos a medida de evidência em dois passos: 1. Calculamos * que maximiza a posteriori sob a hipótese nula . 2. Calculamos K*=  (/x) , onde (/x) é igual a zero para todo , cuja (/x)  f(*) ou .

Mostraremos um teste de proporção: Exemplo Mostraremos um teste de proporção: Seja uma variável aleatória X com distribuição binomial (20,) , seja “S” o número de sucessos observados. O espaço paramétrico será  = 0    1 Usaremos como priori Pr =p=0.5 e a densidade Uniforme para sob a hipótese alternativa. Teste : H0:  = 0.5 vs H1:   0.5 Avaliaremos a medida de evidência apresentada no trabalho, o fator de Bayes, p-valor e PP(probabilidade posteriori de H0)

Exemplo Tabela de resultados:

Comentários A Medida de evidência em relação a Hipótese nula Ev(H) traz grandes vantagens por ter ser cálculo baseado nos dados da amostra, ou seja, dados observados, porém devemos levar em consideração a definição da priori dos parâmetros que deve ser adequada. O p-valor tem a restrição de supor que a hipótese nula é verdadeira e não temos garantias para esta suposição.

Comentários O valor da probailidade posteriori está diretamente ligada a priori definida para o parâmetro, tendo como vantagem ser uma medida calculada depois de observar os dados. O fator de Bayes quando definimos uma priori igual a 1 pode ser considerada como uma razão de verossimilhanças que é bem aceito pela teoria frequentista,caso contrário precisamos definir prioris adequadas.

Bibliografia James O. Berger: Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Carlos alberto de Bragança Pereira and Julio Michael Ster: Evidence and Credibility-Full Bayesian Significance Test for Precise. José M Bernardo and Raúl Rueda: Hypotheses Bayesian Hypothesis testing.