Teoria de Jogos e Leilões David Henriques 3º ano LMAC, IST

Jogos Várias opções (jogadas possíveis) para cada jogador Pagamento associado a um tuplo de jogadas (payoff) Independência e simultaneidade das jogadas Objectivo de maximizar ganho próprio

Estratégias e Vectores de Estratégia Probabilidade de escolha de cada jogada Vector de Probabilidade: Entradas entre 0 e 1 Soma de todas as entradas igual a 1 Espaço compacto

Notação Matricial 4 1 1 4 (4,1) (0,0) (1,4) Payoffs para o jogador  Payoffs para a jogadora  Jogadora  joga nas colunas  vai ao futebol  vai à ópera 4 1  vai ao futebol  vai à opera  vai à ópera Jogador  joga nas linhas 1 4 (4,1) (0,0) (1,4)

Jogadas independentes Valor Esperado Valor esperado: Com notação matricial: Jogadas independentes ...

Equilíbrio de Nash Melhor Resposta (a uma estratégia q*): Uma estratégia p* para o jogador 1 diz-se melhor resposta a q* (estratégia para o jogador 2) sse para toda a outra estratégia p possível para jogador 1 se tem Equilíbrio de Nash: Um par de estratégias p*,q* (uma para cada jogador) diz-se um equilíbrio de Nash sse são melhores respostas mútuas, i.e: e

Teorema de Nash (1951) Todo o Jogo com um número finito de estratégias puras tem pelo menos um equilíbrio de Nash Teorema do Ponto Fixo de Brouwer: Uma função contínua definida de um espaço compacto e convexo em si mesmo tem necessariamente um ponto fixo.

Leilões Leilão Inglês: Incrementos finitos O jogador que licita mais alto recebe o lote e paga o preço que ofereceu. Leilão de segundo pagamento: O jogador que licita mais alto recebe o lote e paga o preço que o segundo jogador com licitação mais alta ofereceu. Leilão Holandês: Decréscimos finitos O primeiro jogador a licitar recebe o lote e paga o preço que ofereceu.

Assumpções Cada jogador i valoriza o lote de forma publica em vi Cada jogador faz apenas uma licitação bi As licitações são secretas, independentes e simultâneas Sob estas condições, os 3 leilões anteriores são o mesmo jogo! (embora com payoffs diferentes)

Payoffs ... ... ... ... ... ... ... ...

Equilíbrios em Leilões V1 = v2 V1 = v2+2 Onde as entradas não nulas correspondem a licitar v1-2 e v1-1 Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2 e v2+1 Onde yn corresponde a licitar v2-n e V1 > v2+2 Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2 e v2+1 V1 = v2+1 Onde yn corresponde a licitar v2-n e Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2-1 e v2